數學物理方法

• 行波法（直接求通解，無界問題）
• • 用行波法求解無界弦的強迫振動
  • • 一維一般強迫振動的解（疊加原理）：
    • 一維純強迫振動的解（沖量原理）
  • 用行波法求解半無界弦的自由振動
• 分離變量法（直接求特解，有界問題）
• • 二維圓盤的狄氏問題求解
  • • 傅里葉級數（分離變量法求系數時基本都會用到）
    • 分離變量法求解圓盤狄氏問題
    • 電像法求解圓盤狄氏問題
• 格林函數
• • 求四分之一平面的狄氏問題
• 傅氏變換與拉氏變換
• • 性質對比
  • 常用變換式
  • 一階與二階常微分方程的解（變換時常涉及）
  • • 一階常微分方程的解
    • 二階常微分方程的解
    • • 范定方程的解
      • 初值問題的解（拉氏變換）
  • 解析延拓
• 每天增加一點常識

解題策略：一定要先看清方程屬于哪一類（時間二階導波動方程、時間一階導熱傳導方程、跟時間項無關的泊松方程），給的哪一類邊界條件。

行波法（直接求通解，無界問題）

注意：方程中都是二階偏導才能用達氏公式。

用行波法求解無界弦的強迫振動

無界弦的自由振動問題：即范定方程為齊次方程，采用行波法（又叫達朗貝爾公式、特征線法）。

對特征線法的初步理解：先對范定方程因式分解，然后引入兩個新變量作為原范定方程中變量的變量，利用鏈式法則求解出利用兩新變量表示的原范定方程的變量，然后再用原范定方程的兩變量表示引入的新變量，實現回代。

對于純強迫振動問題：（1)先將有源問題按沖量原理化為無源問題；（2）再利用達氏公式求解。
無界：是指空間變量的無界。
行波法的核心思想：先求通解再求特解。所以并不一定得無界才能利用這種思想求解，而是利用特征線法的思想進行變換求解。

一維一般強迫振動的解（疊加原理）：

考點：

疊加原理

達朗貝爾公式（方程齊次）

沖量原理（邊界齊次）
特別注意：用達式公式時一定是在兩類初始條件下才能用，一定要先看清給的何種形式的條件，才能判斷是否能用達式公式。

一維純強迫振動的解（沖量原理）

用行波法求解半無界弦的自由振動

自我提示：自由運動即方程是齊次的。
公式依舊是利用達朗貝爾公式，關鍵是需要對$x?at$的大小進行判斷。當$x?at$大于等于0時，解與無界弦的自由運動相同；當$x?at$小于0時，解要進行相應的變號。
注意：這是由于$u(0,t)=0$。當$u(0,t)=f(t)$時，當$x?at$大于等于0時(1)公式不變；當$x?at$小于0時，（2）式加上$f(t?x/a)$。根據P175習題9.2的解來猜測的。

分離變量法（直接求特解，有界問題）

思路：兩端固定的弦形成駐波，故可用駐波法（即分離變量法）求解。
設原方程的特解為$u(x,t)=X(x)T(t)$，代入原方程將范定方程轉換為兩個分別關于$X$和$T$的方程。同時，將邊界條件也轉換為關于$X$或$T$的邊界條件。
第一步：解本征值問題（先解關于$X$的方程）
注意：分離變量法中求和時$n$的取值從$0$還是$1$開始取決于求出的本征函數，本征函數為正弦函數則從$1$開始，本征函數為余弦函數則從$0$開始。

本征值問題：求齊次方程帶有齊次邊界條件的本征值和本征函數的問題

二階齊次常微分方程采用特征線法求解。

二維圓盤的狄氏問題求解

狄氏問題為第一類邊界條件
考點：

• 坐標變換
• 分離變量法
• 本征函數法
• 傅里葉級數
• 歐拉型公式的解
• 引入周期性邊界條件和有界性邊界條件

傅里葉級數（分離變量法求系數時基本都會用到）

設以$2l$為周期的函數$f(x)$在$[?l,l]$上可以展開為傅里葉級數。（二維圓盤狄氏問題采用分離變量法求解本征值問題時引入了周期性邊界條件，所以最后得到本征函數形式與傅氏級數形式是相同的）。

分離變量法求解圓盤狄氏問題

注意：歐拉型公式的每一導數都是連續降階的。

電像法求解圓盤狄氏問題

在物理上，格林函數$G(M,M_0)$表示位于$M_0$點的點源，在一定邊界條件下在$M$點產生的場。
注意：$r$與${\rho }_0$和$a$都有關

格林函數

求四分之一平面的狄氏問題

傅氏變換與拉氏變換

性質對比

常用變換式

一階與二階常微分方程的解（變換時常涉及）

一階常微分方程的解

一階齊次與非齊次常微分方程的解

二階常微分方程的解

范定方程的解

二階齊次常微分方程用特征線法，非齊次考慮為$P_m(x)e^{\lambda }$形式時，當非齊次項中$\lambda$與特征線法解出的特征值不相等時，設一個特解為$cx+b$代入方程求解出系數$c$和$b$。

初值問題的解（拉氏變換）

解析延拓

對于半無界問題，如$u(0,t)=f(t),t>0$：先將$f(t)$延拓為$f(t)H(t)$，并將$x$看成參數來求解。$H(t)$為階躍函數 ，是連接半無界問題的橋梁。

每天增加一點常識

調和級數是發散的。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学物理方法复习的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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