問題：

? ? ? ?寫一個函數，計算4 000 000 000 以內的最大的那個f(n)=n的值，函數f的功能是統計所有0到n之間所有含有數字1的數字和。比如：f(13)= 6，因為“1”在“1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13”中的總數是6（1,10,11,12,13）。

分析：

? ? ? ?一、簡單算法 — 枚舉

? ? ? ?采用“枚舉法”對每個數都計算一遍1的個數，直到枚舉完給定范圍所有數，找到符合f(n)=n的數。此方法，代碼效率極低，運算所需時間巨大。

python版本代碼如下：

# -*- coding:utf-8 -*- # 問題：寫一個函數，計算4 000 000 000 以內的最大的那個f(n)=n的值， # 函數f的功能是統計所有0到n之間所有含有數字1的數字和。比如：f(13)= 6， # 因為“1”在“1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13”中的總數是6（1,10,11,12,13）。 # by chasdmeng import time def Calculation_One_Times(n):res = 0while n > 0:if n == 1:res +=1n /=10return resif __name__ == '__main__':times = 0i = 0gMAX = 4000000000Lstart = time.time()while i < gMAX:times +=Calculation_One_Times(i)if times ==i:print "f(", i, ") = ", timesi +=1end = time.time()print "time:",end - start

? ? ? ? 二、高效算法 — 剪枝

? ? ? ?主要采用剪枝算法對代碼執行效率進行優化。求解MAX(f(n)=n)具體算法構建分析如下：

? ? ? ?1、求數字“0~n”中“1”的個數

? ? ? ?基本思想：

? ? ? ?t位數字n，求0到n所有數字“1”的數字和，可對1到t位（1對應個位），每個位置上“1”出現的次數分別統計，然后求和。

? ? ? ?假設，0到n之間的自然數范圍內，統計第m位為“1”的個數和，可以分四步驟。第一步驟，假設第二、三步驟的前提條件為第1到第m-1位內各位數字取固定值a。第二步驟，求大于m位的數字中有多少個數字第m位為“1”。第三步驟，求等于m位的數字中有多少個數字第m位為“1”。第四步驟，把第1到第m-1位內各位數字變化考慮進去。如下圖所示。

? ? ? ?在第二步驟中，需要分兩種情況考慮：

? ? ? （a）給定數n的第m位非0

? ? ? ?大于m位的數字中第m位為“1”的數字個數是n/10^m。

????????（b）給定數n的第m位為0
????? ?對于m位的數字中第m位為“1”的數字個數為（n/10^m）-1。這里舉例說明，n=300，m=2，由于300的第2位為0，此時n/10^m=3，若按（a）中方法求解得出在第1位固定取a 的條件下（第一步驟中規定的）大于2位的數字中第2位為“1”的數字個數是3，這顯然是錯誤的，因為在0到300中這樣的數只有“11a”、“21a”，此時正確個數應該是n/10^m-1=2。
????? （c）合并考慮

???????大于m位的數字中第m位為“1”的數字個數為(n/(10^(m-1))-1)/10。構造了一個通用公式可以包含（a）、（b）兩種情況。原理是，n/10^m=(n/(10^(m-1)))/10，由于是對n做除是向下取整運算，在給定數n第m位非0情況下，n/10^m=(n/(10^(m-1)))/10=(n/(10^(m-1))-1)/10；而當給定數n第m位為0情況下，(n/10^m)-1=(n/(10^(m-1))-1)/10。可以舉具體數字對其驗證。
???????在第三步驟中，由于在第一步驟假定的前提條件，滿足求等于m位的數字中第m位為“1”的個數只有1個。這里舉例說明，n=300，m=2，2位數字中第2位為“1”的數僅有“1a”。
? ? ? ?在第四步驟中，綜合第一、二、三步驟后，在第1到第m-1位內各位數字取固定值a的條件下，第m位為“1”的個數和為(n/(10^(m-1))- 1)/10+1。下面把第1到第m-1位內各位數字變化考慮進去，由于在第1到第m-1位中每一位可以放0~9之間任意數，m-1位數共有“10^m-1”個。最終，0到n之間的自然數范圍內，第m位為“1”的個數和((n/(10^(m-1))- 1)/10+1）*(10^(m-1))。
? ? ? ?小結：對以上分析結果給予公式化定義。Cm=((n/i - 1)/10 + 1)*i，其中i=10^(m-1)，n為任意自然數，Cm為0到n的數中第m位為1 的 個數和。

? ? ? ?求數字“0~n”中“1”個數的GetTimes()函數，python版代碼如下：

def GetTimes(n):temp = ntemp2 =1ret = 0i = 1while temp/i:ret +=(((temp/i-1)/10)+1)*iif(((temp/i)%10) == 1):ret -=iret +=temp2i*=10temp2=n%i+1return ret

? ? ? ?2、從0到n位最大數之間1的總個數，尋找數學規律

? ? ? ?當n=1,2,3,...,6,...時，分別計算從0到n位最大數之間1的總個數，部分數據如下：

? ? ? ?0~9 ? ? ? ? ?：1
? ? ? ?0~99 ? ? ? ?：20 = 10*1 + 10
? ? ? ?0~999 ? ? ?：300 = 10*20 + 100
? ? ? ?0~9999 ? ?：4000 = 10*300 + 1000
? ? ? ?0~99999 ?：50000 = 10*4000 + 10000
? ? ? ?0~999999：600000 = 10*50000 + 100000
? ? ? ?… ? ? ? ? ? ? ? ? ??…

? ? ? ?從中，可以發現如下規律：

? ? ? ?a1 = 1
? ? ? ?a2 = 10*a1 + 10
? ? ? ?…
? ? ? ?an = 10*an - 1 + 10^(n - 1)
? ? ? ?即0~9…9（n個9）之間1的個數為an=10*an-1+10^(n-1)個。

? ? ? ?這樣，當計算任意一個數字n的0到n之間所有數字1的個數和時，可以采用將數字n拆分成0~9、0~99... 等部分進行之間計算。例如：n=123，可將n拆分為0~99和100~123計算：(1)0~99對應1的個數和直接可知為20；(2)百位數1的個數為23+1個；(3)剩下的0~23繼續拆分為0~9、10~19、20~23，共兩個0~9個數為2；(4)因為23中十位數2>1，十位為1的個數10；(5)現在就剩下20~23了，個數為1。所以，0~123中1的個數為20+24+2+10+1=57。

? ? ? ?因此，在求任意數0~n內所有1的個數和時，可以首先建立“int ?gTable[10]”結構用于存放a1、a2、a3、...、a9、a10，其中an表示0~n內所有1的個數，然后將數n拆分為0~9、0~99... 等部分直接使用gTable的值進行計算。這種方式可以提高算法效率。

? ? ? ?生成gTable[]結構的TimesTable()函數，python版代碼如下：

def TimesTable(n):return [GetTimes(10**(i+1) - 1) for i in xrange(n)]

? ? ? ?3、采用剪枝算法搜索0~n之間滿足f(q)=q的數

? ? ? ?由于若對0~n的所有數據進行枚舉驗證f(q)=q，當n值很大時運算相當費時，從本文開頭給出的“最簡單方法”中可以感受到代碼效率有多么低。為了優化算法提高效率可采用減枝算法，其思想是對0~n之間所有數建立搜索樹，對不符合條件的搜索樹進行剪枝，這樣就可以極大縮小搜索范圍，提高算法效率。如何構建剪枝規則呢？首先對這個問題進行數學化描述：

? ? ? ?定義1：設 f（x）=y，其中x∈ （0，n），f為x與對應的（0，x）上所有數字1的個數總和y的映射。

? ? ? ?先觀察下f(n)的特點，可以發現f(n)是一個單調遞增函數，這樣可以歸納出它的特性：

? ? ? ?性質1：若有f（m）=a，f（t）=b，且m<t，則存在q∈（m，t）滿足f（q）=q成立的條件是：b>m 且a< t。

? ? ? ?現在就可以應用“性質1”進行減枝操作。具體來說通過“性質1”可知，當對0~n的所有數據進行枚舉驗證f(q)=q時，若當f(t)=b<m或f(m)=a>n，則在[m，t]范圍內不存在滿足f(q)=q成立的數q，這樣就可忽略掉[m，t]內這些自然數，直接跳到n+1往后繼續枚舉。在應用剪枝算法枚舉符合條件的f(q)=q時，是以t-m為步長在0~n內逐段排查是否可剪枝，若t-m范圍內不滿足剪枝條件則進行枚舉搜索。因此在進行剪枝算法時[m，t]的范圍取多大適合呢？這是需要慎重考慮的問題，合理的[m，t]取值能讓大幅提升算法執行效率。下面就對[m，t]步長L取值進行分析。

? ? ? ?[m，t]的取值依據是能最大化提升算法效率，由于在“2、從0到n位最大數之間1的總個數，尋找數學規律。”中設置了“int ?gTable[10]”結構用于計算f(n)，gTable分別表示0~9中1個數和1、0~99中1個數和20、0~999中1的個數和300...，可見是以10^p倍增長，而且f(n)還需要使用gTable去求解，因此初步考慮將[m，t]步長L=10^p，雖然[m，t]取10的倍數，但p具體取多少，還需要繼續分析。

? ? ? ? 對于任意s位數m，設s位數的最大值為max(s)，則f(max(s))=gTable[s-1]，假定取[m，t]步長L=10^s也就是 t=m+10^s，設f(m)=a、f(m+10^s)=b，則有m<max(s)<m+10^s，由于f()為單調增函數，推出gT[s-1]=f(max(s))<f(m+10^s)=b，a<gTable[s-1]，又因為在0~10^10-1的范圍內有max(s)>gTable[s-1]（可以舉例驗證），推出a<gTable[s-1]<max(s)<10+10^s，即a<m+10^s。f(m+10^s)=f(10^s-1)+m+1+f(m)=b，即b>m，因此根據性質1可知m=d*10^s時，取[m，t]步長L=10^s恒不滿足減枝條件，同理步長L=10^(s+1)也無法滿足剪枝條件，因此只能往下取值。對于任意s位數m，取步長L<=10^(s-1)某些數內可以滿足減枝條件，舉例來說，m=20，s=2，L=10^(s-1)=10，則在[20，30]內f(20)=12、f(30)=13，根據性質1可以剪枝掉[20，30]范圍內的數。綜上所述，對任意s位數m，m∈ （0，n），剪枝算法初始步長L=10^(s-1)? ?。

? ? ? ?性質2：若有f（m）=a，f（t）=b，且m<t，滿足b>m 且a< t時，有f(q)=q，且q∈（m，b]。

? ? ? ?性質2是由性質1推到而來，性質2中將原來性質1中q∈（m，t）縮小為q∈（m，b）。首先在0~10^10-1的范圍內滿足性質1條件下可知b∈（m，t]，設f(b+1)=c，則在(b+1，t)內f(b+1)=c、f(t)=b根據性質1不存在q∈（b+1，t）使f(q)=q成立。所以，在（m，t）內使f(q)=q成立的q∈（m，b]。

? ? ? ? 剪枝算法整體思想是：n位數m，步長L=10^(n-1)，在區間（m-1，m+L-1）判斷是否滿足f(m-1)>boundary或f(m+L-1)<m ，滿足就直接跳到m=m+L計算，否則在區間（m-1，f(m+L-1)+L-1）上置步長L=L/10遞歸重復執行剪枝判斷，當遞歸到步長L=1時，進行逐值枚舉f(number)是否等于number。由于算法中m是從0開始枚舉取值，以10的倍數遞增，因此所有的m都應滿足abc*10^s格式，也就是說，m取到的是10的倍數。因此有如下性質。

? ? ? ?性質3：m=abc*10^(n-1)，L=10^(n-1)，可知f(m-1+L)=f(m-1)+gTable[n-2]+count_one_m*L，其中count_one_m=f(m)-f(m-1)，也就是代表數字m本身包含1的個數。

? ? ? ?剪枝算法CalculationTimes()函數，python版代碼如下 ：?

def CalculationTimes(number, weight, count_one, count, table):if weight == 0:count += count_oneif number == count:print "f(", number, ") = ", numberreturn countL=10**weightmaxcount = count + table[weight - 1]maxcount += count_one*Lif count > (number + L -1):return maxcountif maxcount < number:return maxcountL /= 10for i in range(10):if i == 1:count = CalculationTimes(number + i*L, weight - 1, count_one + 1, count, table)elif i == maxcount/n - 9:return maxcountelse:count = CalculationTimes(number + i*L, weight - 1, count_one , count, table)return count

? ? ? ?其中，對應前面剪枝算法思想，這里number代表m，weight代表步長L=10^(s-1)?中的s-1，count_one表示數n中各個位置上1的個數，比如n=112，這count_one=2，table代表gTable[]，count代表f(m-1)。具體解釋如下：

if weight == 0:count += count_oneif number == count:print "f(", number, ") = ", numberreturn count 此部分代碼判斷當前步長L若為1（L=10^weight）計算f(number)，f(number)通過count+=count_one實現，這是由于在步長L=1前提下，f(number)等于f(number-1)加上數字mumber本身1的個數count_one，既f(number)=f(number-1)+count_one，若f(number)=number，則輸出，否則返回當f(number)。

L=10**weightmaxcount = count + table[weight - 1]maxcount += count_one*Lif count > (number + L -1):return maxcountif maxcount < number:return maxcount

此部分代碼功能執行剪枝操作，首先設置步長L=10^weight，根據性質3得f(number+L-1)=count+table[weight-1]+count_one*L，然后根據性質1判斷是否可以剪枝，若符合條件直接忽略（number-1，number+L-1）范圍內數字并跳轉到number+L再計算。

L /= 10for i in range(10):if i == 1:count = CalculationTimes(number + i*L, weight - 1, count_one + 1, count, table)elif i == maxcount/n - 9:return maxcountelse:count = CalculationTimes(number + i*L, weight - 1, count_one , count, table)return count 若不滿足剪枝條件執行此部分代碼。 首先根據前面描述的 剪枝算法整體思想 將步長縮短L=L/10，然后 根據性質2僅需遞歸計算（ number-1，f(number+L-1)） 范圍內數即可，當i==1時，number+i*L這個數本身將多出一個”1“需要將count_one值加1，當i==maxcount/n-9時，number+i*L將超出范圍終止計算。

? ? ? ?最后，給出整體實現代碼。

# -*- coding:utf-8 -*- # 問題：寫一個函數，計算4 000 000 000 以內的最大的那個f(n)=n的值， # 函數f的功能是統計所有0到n之間所有含有數字1的數字和。比如：f(13)= 6， # 因為“1”在“1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13”中的總數是6（1,10,11,12,13）。 # by chasdmeng import time def GetTimes(n):temp = ntemp2 =1ret = 0i = 1while temp/i:ret +=(((temp/i-1)/10)+1)*iif(((temp/i)%10) == 1):ret -=iret +=temp2i*=10temp2=n%i+1return ret def TimesTable(n):return [GetTimes(10**(i+1) - 1) for i in xrange(n)] def CountOne(n):count = 0while n:if (n%10) == 1:count +=1n /=10return count def CalculationTimes(number, weight, count_one, count, table):if weight == 0:count += count_oneif number == count:print "f(", number, ") = ", numberreturn countL=10**weightmaxcount = count + table[weight - 1]maxcount += count_one*Lif count > (number + L -1):return maxcountif maxcount < number:return maxcountL /= 10for i in range(10):if i == 1:count = CalculationTimes(number + i*L, weight - 1, count_one + 1, count, table)elif i == maxcount/n - 9:return maxcountelse:count = CalculationTimes(number + i*L, weight - 1, count_one , count, table)return countif __name__ == '__main__':n = 0weight = 0count = 0count_one = 0gMAX = 4000000000Lstart = time.time()table = TimesTable(10)while n < gMAX:count = CalculationTimes(n, weight, count_one , count, table)L = 10**weightn += Lif (n/L)/10 == 1: weight +=1count_one = CountOne(n)end = time.time()print "time:",end - start

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?by ? ? ? chasdmeng

參考文獻：

? ? ? 博客：http://blog.csdn.net/livelylittlefish/article/details/2768348

? ? ? 書籍：《程序員面試寶典（第4版）》P240，面試例題5

總結

以上是生活随笔為你收集整理的计算4000000000以内最大的f(n)=n的值---字符串问题python实现（五）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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