引言

　　過(guò)去聽(tīng)起來(lái)高深莫測(cè)的網(wǎng)絡(luò)流算法，現(xiàn)在已飛入尋常百姓家了，對(duì)于每一個(gè)OIER，網(wǎng)絡(luò)流是一個(gè)神圣的東西（個(gè)人見(jiàn)解），但神圣的同時(shí)，它并不是那樣抽象，最形象的模型就是水流，從長(zhǎng)江源點(diǎn)無(wú)限的向外流水，而大海（匯點(diǎn)）則在不斷地‘喝水’，當(dāng)然，你也可以不把它想成水，或者是其他一切可以流動(dòng)的東西。而事實(shí)上，有些東西的流動(dòng)比較流暢，而某些東西可能相對(duì)而言比較粘稠，流速更慢，因此，就產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題，單位時(shí)間內(nèi)的總流量最多多少，這里會(huì)根據(jù)流速給定單位時(shí)間內(nèi)的流量，這就是最先開(kāi)啟網(wǎng)絡(luò)流之門(mén)的最大流算法，它的解決方式將在后面談到，再想一下，如果水管是另一個(gè)物流公司所有，那么你會(huì)根據(jù)從哪里運(yùn)到哪里付出一定的代價(jià)，?為了你自己的利潤(rùn)，顯然要找一個(gè)在運(yùn)的東西最多的前提下有最小費(fèi)用的方案，這就引出了下一個(gè)問(wèn)題，最小費(fèi)用最大流。再引用某牛一句話(huà)“當(dāng)然也有有錢(qián)沒(méi)處花的傻子，去求最大費(fèi)用最大流”，而事實(shí)上，題目會(huì)出現(xiàn)這個(gè)模型，為了避免你成為傻瓜，現(xiàn)在你要給它一個(gè)新的定義：最大收益流，這時(shí)的你，變成了物流公司的經(jīng)理，而客戶(hù)的路線(xiàn)由你規(guī)劃，為了你的錢(qián)包，最大收益必不可少。

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正文

　第一部分.概念性問(wèn)題(基本定理及定義)

?? ? ? ?對(duì)于一些網(wǎng)絡(luò)流新手來(lái)說(shuō)，有必要知道一些基本定義和基本定理，這些雖然看起來(lái)理論價(jià)值不大，但是現(xiàn)在的許多網(wǎng)絡(luò)流描述需要這些專(zhuān)業(yè)性的詞語(yǔ)，所以還是　　有些了解為好。

?? ? ??首先對(duì)于圖G

?? ????G?的流是一個(gè)實(shí)值函數(shù)?f，?f?(u,?v)?表示頂點(diǎn)?u?到頂點(diǎn)?v?的流，它可以為正， 為零，也可以為負(fù)，且滿(mǎn)足下列三個(gè)性質(zhì)：

1.容量限制：對(duì)所有u,?v??V?，要求?f?(u,?v)?￡?c(u,?v)?。?反對(duì)稱(chēng)性：對(duì)所有u,?v??V?，要求?f?(u,?v)?=-?f?(v,?u)?。

2.流守恒性：對(duì)所有u??V?-{s,?t}?，要求???f?(u,?v)?=?0?。

3.整個(gè)流網(wǎng)絡(luò)?G?的流量?f?=???f?(s,?v)?或?f=???f?(u,?t)?。

接下來(lái)定義各種算法中都要用到的一些東東：

1.殘留網(wǎng)絡(luò)

給定一個(gè)流網(wǎng)絡(luò)G?=?(V?,?E)?和流?f，由?f?壓得的?G?的殘留網(wǎng)絡(luò)Gf=?(V?,?E?f?)?，定義?c?f?(u,?v)?為殘留網(wǎng)絡(luò)G?f??中邊?(u,?v)?的容量。如果弧?(u,?v)???E?或弧?(v,?u)???E?，則?弧?(u,?v)???E?f?，且?c?f?(u,?v)?=?c(u,?v)?-?f?(u,?v)?。

??殘留網(wǎng)絡(luò)又被稱(chēng)為剩余圖。

2.點(diǎn)的高度和層次，這是兩個(gè)相對(duì)的概念，高度的定義為到匯點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度，而層次則是指到源點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度（這里的路徑長(zhǎng)度按照各個(gè)邊的長(zhǎng)度都為1算），這兩個(gè)量是在最大流算法中貫穿始末的利器。

接下來(lái)引入最大流最小割定理

?對(duì)了，可能有同學(xué)還不知道什么是最小割，在這里提一下

?流網(wǎng)絡(luò)?G?=?(V?,?E)?的割?(S?,T?)?將V?劃分成?S?和T?=?V?-?S?兩部分，使得?s???S?，t??T?。定義割?(S?,T?)?的容量為?c(S?,T?),

??對(duì)?于?最?小?的?c?，?它?是?最?小?割?。

3. ?最?大?流?最?小?割?定?理

?　　?在?流?網(wǎng)??絡(luò)?中，最?小?割?的?容?量?等?于?最?大?流?的?流?量?。（證?明?再?次?略?過(guò)?）

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???第二部分.最大流的算法

下面步入與實(shí)際問(wèn)題更加接近的算法實(shí)現(xiàn)部分，首先給出問(wèn)題，給定一個(gè)流網(wǎng)絡(luò)，求源到匯在單位時(shí)間內(nèi)的最大流量。

最簡(jiǎn)單而效率較好的算法 是基于增廣路的算法，這類(lèi)算法在王欣上大牛的論文中有詳細(xì)介紹，但我仍然想談?wù)勎业南敕?#xff0c;希望能起到拋磚引玉的作用?；谠鰪V路的算法主要有兩種:MPLA,Dinic,SAP.其中最簡(jiǎn)單的是MPLA,最實(shí)用最簡(jiǎn)潔也是最多人用的是Dinia,SAP的范圍也很廣，加上GAP優(yōu)化后的效率也讓人咋舌，這也是最近SAP大泛濫的原因吧！個(gè)人比較喜歡Dinic，數(shù)據(jù)變態(tài)就用最高標(biāo)號(hào)預(yù)流推進(jìn)，SAP用的比較少，當(dāng)然，用什么算法還是看你自己的感覺(jué)吧。有些人認(rèn)為增廣路算法格式低效，于是想出了對(duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)操作的算法，這類(lèi)算法以預(yù)留推進(jìn)為頂梁柱，MPM也勉強(qiáng)歸入這一類(lèi)吧。

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1.MPLA算法

即最短路徑增值算法，可以有一個(gè)簡(jiǎn)單的思想，每次都找一條從源到匯的路徑來(lái)增廣，直到不能增廣為止，之中算法的正確性是可以保證的，但效率不盡如人意，有些時(shí)候，把事情格式化反而有益，這里的MPLA就是這樣，它只在層次圖中找增廣路，構(gòu)建出層次圖之后，用BFS不斷增廣，直到當(dāng)前層次圖中不再有增廣路，再重新構(gòu)建層次圖，如果匯點(diǎn)不在層次圖內(nèi)，則源匯不再連通，最大流已經(jīng)求出，否則繼續(xù)執(zhí)行增廣，如此反復(fù)，就可以求出最大流，在程序?qū)崿F(xiàn)時(shí)層次圖不用被構(gòu)建出來(lái)，只需要BFS出各點(diǎn)的距離標(biāo)號(hào)，找路徑時(shí)判斷對(duì)于f(u,v)是否有d[u]+1=d[v]即可。

如果每建一次層次圖成為一個(gè)階段，則在最短路徑增值算法中，最多有N個(gè)階段，證明再次略過(guò)。

因此在整個(gè)算法中，最多有N個(gè)階段，每個(gè)階段構(gòu)建層次圖的BFS時(shí)間復(fù)雜度為O(m),建N次，因此構(gòu)建層次圖的總時(shí)間為O(mn),而在增廣過(guò)程中，每一次增廣至少刪除一條邊，因此增廣m次，加上修改流量的時(shí)間，每一階段的增廣時(shí)間為O(m*(m+n)),共有N個(gè)階段，所以復(fù)雜度為O(n*m*(m+n))=O(nm^2),這也是該算法的時(shí)間復(fù)雜度。

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2.Dinic算法

MPLA雖然簡(jiǎn)單，但經(jīng)常會(huì)點(diǎn)超時(shí)，我們把增廣過(guò)程中的BFS改成DFS，效率會(huì)有比較大的提高么？答案是肯定的，至此我們已經(jīng)得到了Dinic的算法流程，只是將MPLA的增廣改為DFS，就能寫(xiě)出那美妙的Dinic了，同樣，分析一下時(shí)間，在DFS過(guò)程中，會(huì)有前進(jìn)和后退兩種情況，最多前進(jìn)后退N次，而增廣路最多找M次，再加上N個(gè)階段，所以Dinic的復(fù)雜度就是O(mn^2)，事實(shí)上，它也確實(shí)比MPLA快很多，簡(jiǎn)潔而比較高效，這也是許多OIER選擇Dinic的理由了吧，畢竟，寫(xiě)它可能會(huì)節(jié)省出較長(zhǎng)時(shí)間來(lái)完成其他題目.

1 2 program dinic(input,output); 3 var 4 f : array[0..1000,0..1000] of longint; 5 number : array[0..1000] of longint; 6 q : array[0..10000] of longint; 7 n,m,ans,s,t : longint; 8 procedure init; 9 var 10 x,y,c : longint; 11 i : longint; 12 begin 13 readln(m,n); 14 s:=1; 15 t:=n; 16 fillchar(f,sizeof(f),0); 17 for i:=1 to m do 18 begin 19 readln(x,y,c); 20 inc(f[x,y],c); 21 end; 22 end; { init } 23 function min(aa,bb :longint ):longint; 24 begin 25 if aa<bb then 26 exit(aa); 27 exit(bb); 28 end; { min } 29 function bfs(): boolean; 30 var 31 head,tail : longint; 32 now,i : longint; 33 begin 34 fillchar(number,sizeof(number),0); 35 head:=0; 36 tail:=1; 37 q[1]:=s; 38 number[s]:=1; 39 while head<tail do 40 begin 41 inc(head); 42 now:=q[head]; 43 for i:=1 to n do 44 if f[now,i]>0 then 45 if number[i]=0 then 46 begin 47 number[i]:=number[now]+1; 48 inc(tail); 49 q[tail]:=i; 50 end; 51 end; 52 if number[t]=0 then 53 exit(false); 54 exit(true); 55 end; { bfs } 56 function dfs(now,flow :longint ):longint; 57 var 58 tmp,i : longint; 59 begin 60 if now=t then 61 exit(flow); 62 for i:=1 to n do 63 if number[i]=number[now]+1 then 64 if f[now,i]>0 then 65 begin 66 tmp:=dfs(i,min(flow,f[now,i])); 67 if tmp<>0 then 68 begin 69 inc(f[i,now],tmp); 70 dec(f[now,i],tmp); 71 exit(tmp); 72 end; 73 end; 74 exit(0); 75 end; { dfs } 76 procedure main; 77 var 78 tmp : longint; 79 begin 80 ans:=0; 81 while bfs() do 82 begin 83 tmp:=dfs(s,maxlongint>>2); 84 while tmp<>0 do 85 begin 86 inc(ans,tmp); 87 tmp:=dfs(s,maxlongint>>2); 88 end; 89 end; 90 writeln(ans); 91 end; { main } 92 begin 93 init; 94 main; 95 end.

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3.SAP算法

??? SAP也是找最短路徑來(lái)增廣的算法，有這樣一句話(huà)：SAP算法更易理解，實(shí)現(xiàn)更簡(jiǎn)單，效率更高，而也有測(cè)試表明，SAP加上重要的GAP優(yōu)化后，效率僅次于最高標(biāo)號(hào)預(yù)流推進(jìn)算法，因此如果你想背一個(gè)模板，SAP是最佳選擇。SAP在增光時(shí)充分的利用了以前的信息，當(dāng)按照高度找不到增廣路時(shí)，它會(huì)對(duì)節(jié)點(diǎn)重新標(biāo)號(hào)，h[i]=min{h[j]}+1(c[i,j]>0)，這也是SAP比較核心的思想，而根據(jù)這個(gè)我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)高度出現(xiàn)間隙時(shí)，一定不會(huì)存在增廣路了，算法已經(jīng)可以結(jié)束，因此，這里引入間隙優(yōu)化(GAP),即出現(xiàn)間隙時(shí)結(jié)束算法。

????在算法實(shí)現(xiàn)中，初始標(biāo)號(hào)可以全部置為0，在增廣過(guò)程中在逐漸提升高度，時(shí)間上可能會(huì)有常數(shù)的增加，但不改變漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度。同時(shí)為了簡(jiǎn)潔，SAP實(shí)現(xiàn)時(shí)用遞歸，代碼不過(guò)80行左右。

1 View Code 2 program sap(input,output); 3 var 4 c : array[0..1000,0..1000] of longint; 5 h,vh : array[0..1000] of longint; 6 flow,n,m,ans : longint; 7 tmpflow : longint; 8 can : boolean; 9 procedure init; 10 var 11 i,j : longint; 12 xx,yy,cc : longint; 13 begin 14 fillchar(c,sizeof(c),0); 15 fillchar(h,sizeof(h),0); 16 ans:=0; 17 readln(m,n); 18 for i:=1 to m do 19 begin 20 readln(xx,yy,cc); 21 inc(c[xx,yy],cc); 22 end; 23 end; { init } 24 procedure dfs(now : longint ); 25 var 26 min,tmp : longint; 27 i : longint; 28 begin 29 min:=n-1; 30 tmp:=tmpflow; 31 if now=n then 32 begin 33 can:=true; 34 inc(ans,tmpflow); 35 exit; 36 end; 37 for i:=1 to n do 38 if c[now,i]>0 then 39 begin 40 if h[i]+1=h[now] then 41 begin 42 if c[now,i]<tmpflow then 43 tmpflow:=c[now,i]; 44 dfs(i); 45 if h[1]>=n then 46 exit; 47 if can then 48 break; 49 tmpflow:=tmp; 50 end; 51 if h[i]<min then 52 min:=h[i]; 53 end; 54 if not can then 55 begin 56 dec(vh[h[now]]); 57 if vh[h[now]]=0 then 58 h[1]:=n; 59 h[now]:=min+1; 60 inc(vh[h[now]]); 61 end 62 else 63 begin 64 dec(c[now,i],tmpflow); 65 inc(c[i,now],tmpflow); 66 end; 67 end; { dfs } 68 begin 69 init; 70 fillchar(vh,sizeof(vh),0); 71 vh[0]:=n; 72 while h[1]<n do 73 begin 74 tmpflow:=maxlongint>>2;; 75 can:=false; 76 dfs(1); 77 end; 78 writeln(ans); 79 end.

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4.MPM算法

????這個(gè)算法我還沒(méi)有實(shí)踐過(guò)，因?yàn)樗膶?shí)現(xiàn)過(guò)程比較繁瑣，而且時(shí)間效率不高，是一個(gè)只具有理論價(jià)值的算法，這個(gè)算法每次都處理單獨(dú)節(jié)點(diǎn)，記每個(gè)節(jié)點(diǎn)入流和與出流和的最小值作為thoughput(now)（定義在非源匯點(diǎn)），每次先從now向匯推大小為thoughput(now)的流量，在從點(diǎn)now向源點(diǎn)拉大小為thoughput(now)的流量，刪除該節(jié)點(diǎn)，繼續(xù)執(zhí)行直到圖中只剩下源匯。時(shí)間復(fù)雜度為O(n^3)，但時(shí)間常數(shù)較大，時(shí)間效率不高。

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5.預(yù)留推進(jìn)算法

????以上的算法中，基本上都需要從大體上來(lái)把握全局，而預(yù)留推進(jìn)算法則是將每一個(gè)頂點(diǎn)看作了一個(gè)戰(zhàn)場(chǎng)，分別對(duì)他們進(jìn)行處理，在處理過(guò)程中，存在某些時(shí)間不滿(mǎn)足流量收支平衡，所以對(duì)預(yù)先推出的流叫做預(yù)流，下面來(lái)看算法如何將預(yù)流變成最大流的。

????預(yù)留推進(jìn)算法有兩個(gè)主過(guò)程，push和relabel，即推進(jìn)和重標(biāo)號(hào)，它是在模擬水流的過(guò)程，一開(kāi)始先讓源的出弧全部飽和，之后隨著時(shí)間的推移，不斷改變頂點(diǎn)的高度，而又規(guī)定水流僅能從高處流向低處，所以在模擬過(guò)程中，最終會(huì)有水流入?yún)R，而之前推出的多余的水則流回了源，那么我們每次處理的是什么節(jié)點(diǎn)呢？把當(dāng)前節(jié)點(diǎn)內(nèi)存有水的節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為活躍節(jié)點(diǎn)，每次對(duì)活躍節(jié)點(diǎn)執(zhí)行推流操作，直到該節(jié)點(diǎn)不再活躍，如果不能再推流而當(dāng)前節(jié)點(diǎn)仍未活躍節(jié)點(diǎn)，就需要對(duì)它進(jìn)行重新標(biāo)號(hào)了，標(biāo)號(hào)后再繼續(xù)推流，如此重復(fù)，直到網(wǎng)絡(luò)中不再存在活躍節(jié)點(diǎn)為止，這時(shí)源的流出量就是該網(wǎng)絡(luò)的最大流。注意，對(duì)于活躍節(jié)點(diǎn)的定義，不包括源匯，否則你會(huì)死的很慘。

????樸素的預(yù)留推進(jìn)的效率還過(guò)得去，最多進(jìn)行nm次飽和推進(jìn)和n^2m次不飽和推進(jìn)，因此總的時(shí)間復(fù)雜度為O(mn^2)

????事實(shí)上，如同增廣路算法引入層次圖一樣，定下一些規(guī)則，可以讓預(yù)留推進(jìn)算法有更好的時(shí)間效率，下面介紹相對(duì)而言比較好實(shí)現(xiàn)的FIFO預(yù)留推進(jìn)算法，它用一個(gè)隊(duì)列來(lái)保存活躍節(jié)點(diǎn)，每次從隊(duì)首取出一個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行推進(jìn)，對(duì)一個(gè)節(jié)點(diǎn)relabel之后把它加到隊(duì)尾，如此執(zhí)行，直到隊(duì)列為空，這樣一來(lái)，預(yù)留推進(jìn)算法的時(shí)間復(fù)雜度降為O(n^3),實(shí)現(xiàn)的時(shí)候，可以加上同樣的間隙優(yōu)化，但注意，出現(xiàn)間隙時(shí)不要馬上退出，將新標(biāo)號(hào)的的高度置為n+1，繼續(xù)執(zhí)行程序，這樣會(huì)讓所有的剩水流回源，滿(mǎn)足流量收支平衡，以便最后的統(tǒng)計(jì)工作。

1 View Code 2 program preflow(input,output); 3 var 4 f,c : array[0..2000,0..2000] of longint; 5 q,h,vh,e : array[0..2000] of longint; 6 m,n,s,t : longint; 7 flow : longint; 8 procedure init; 9 var 10 i,j : longint; 11 xx,yy,cc : longint; 12 begin 13 readln(m,n); 14 fillchar(f,sizeof(f),0); 15 fillchar(c,sizeof(c),0); 16 fillchar(e,sizeof(e),0); 17 for i:=1 to m do 18 begin 19 readln(xx,yy,cc); 20 inc(c[xx,yy],cc); 21 end; 22 s:=1; 23 t:=n; 24 end; { init } 25 procedure main; 26 var 27 i,j : longint; 28 head,tail : longint; 29 now,tmp,tmph : longint; 30 begin 31 flow:=0; 32 h[s]:=n; 33 head:=0; 34 tail:=0; 35 for i:=1 to n do 36 begin 37 e[i]:=c[s,i]; 38 f[s,i]:=c[s,i]; 39 f[i,s]:=-f[s,i]; 40 if (e[i]>0)and(i<>t) then 41 begin 42 inc(tail); 43 q[tail]:=i; 44 inc(vh[h[i]]); 45 end; 46 end; 47 while head<tail do 48 begin 49 inc(head); 50 now:=q[head]; 51 for i:=1 to n do 52 if (c[now,i]>f[now,i])and(h[now]=h[i]+1)and(e[now]>0) then 53 begin 54 tmp:=c[now,i]-f[now,i]; 55 if tmp>e[now] then 56 tmp:=e[now]; 57 inc(f[now,i],tmp); 58 dec(f[i,now],tmp); 59 dec(e[now],tmp); 60 inc(e[i],tmp); 61 if (e[i]=tmp)and(i<>s)and(i<>t) then 62 begin 63 inc(tail); 64 q[tail]:=i; 65 end; 66 end; 67 if (e[now]>0)and(now<>s)and(now<>t) then 68 begin 69 tmph:=h[now]; 70 dec(vh[tmph]); 71 h[now]:=$FFFF; 72 for i:=1 to n do 73 if (c[now,i]>f[now,i])and(h[now]>h[i]+1) then 74 h[now]:=h[i]+1; 75 inc(tail); 76 q[tail]:=now; 77 inc(vh[h[now]]); 78 if vh[tmph]=0 then 79 for i:=1 to n do 80 if (h[i]>tmph)and(h[i]<n) then 81 begin 82 dec(vh[h[i]]); 83 h[i]:=n; 84 inc(vh[n]); 85 end; 86 end; 87 end; 88 flow:=0; 89 for i:=1 to n do 90 inc(flow,f[s,i]); 91 end; { main } 92 begin 93 init; 94 main; 95 writeln(flow); 96 end.

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????下面介紹最后一個(gè)，也是編程難度最大，時(shí)間表現(xiàn)不同凡響的算法，最高標(biāo)號(hào)預(yù)流推進(jìn)，它的思想是既然水是從高處向低處流的，那么如果從低處開(kāi)始會(huì)做許多重復(fù)工作，不如從最高點(diǎn)開(kāi)始流，留一次就解決問(wèn)題。再直觀(guān)一些，引用黑書(shū)上的話(huà)“讓少數(shù)的節(jié)點(diǎn)聚集大量的盈余，然后通過(guò)對(duì)這些節(jié)點(diǎn)的檢查把非飽和推進(jìn)變成一串連續(xù)的飽和推進(jìn)”。在程序現(xiàn)實(shí)現(xiàn)時(shí)，用一個(gè)表list來(lái)儲(chǔ)存所有的活躍節(jié)點(diǎn)，其中list(h)存儲(chǔ)高的為h的活躍節(jié)點(diǎn)，同時(shí)記錄一個(gè)level,為最高標(biāo)號(hào)，每次查找時(shí)依次從level,level-1……查找，直到找到節(jié)點(diǎn)為止，這時(shí)從表內(nèi)刪掉這個(gè)節(jié)點(diǎn)，對(duì)它進(jìn)行Push,Relabel操作，直到該節(jié)點(diǎn)不再活躍，繼續(xù)進(jìn)行，直到表內(nèi)不在存在活躍節(jié)點(diǎn)。

?????它的復(fù)雜度為O(n^2*m^(1/2)),時(shí)間效率很優(yōu)秀（當(dāng)然，如果你刻意構(gòu)造卡預(yù)留推進(jìn)的數(shù)據(jù)，它比MPLA還慢也是有可能的）。

1 View Code 2 program hign_node_flow(input,output); 3 var 4 c : array[0..1000,0..1000] of longint; {保存原圖} 5 f : array[0..1000,0..1000] of longint; {保存當(dāng)前的預(yù)流圖} 6 h : array[0..1000] of longint; {保存各個(gè)節(jié)點(diǎn)當(dāng)前高度} 7 vh : array[0..1000] of longint; {保存各個(gè)高度節(jié)點(diǎn)的數(shù)量} 8 e : array[0..1100] of longint; {保存各個(gè)節(jié)點(diǎn)的盈余} 9 level : longint; {當(dāng)前所有活躍節(jié)點(diǎn)的最高高度} 10 l : array[0..1000,0..1000] of longint; {保存活躍節(jié)點(diǎn)的表,l[i,0]表示高度為i的活躍節(jié)點(diǎn)數(shù)，這也是不能用vh數(shù)組的原因} 11 n,m,s,t : longint; {節(jié)點(diǎn)數(shù)，邊數(shù)，源，匯} 12 listsum : longint; {記錄當(dāng)前在表內(nèi)的元素個(gè)數(shù)} 13 flow : longint; {記錄流量} 14 inlist : array[0..1000] of boolean; {節(jié)點(diǎn)是否在表內(nèi)} 15 q : array[0..10000] of longint; {用于BFS擴(kuò)展的隊(duì)列} 16 procedure init; 17 var 18 i,xx,yy,cc : longint; 19 begin 20 readln(m,n); 21 fillchar(f,sizeof(f),0); 22 fillchar(c,sizeof(c),0); 23 fillchar(e,sizeof(e),0); 24 fillchar(h,sizeof(h),0); 25 fillchar(vh,sizeof(vh),0); 26 for i:=1 to m do 27 begin 28 readln(xx,yy,cc); 29 inc(c[xx,yy],cc);{注意某些情況下有重邊，這樣處理比較保險(xiǎn)} 30 end; 31 s:=1; 32 t:=n; 33 end; { init } 34 procedure insect(now :longint ); {在活躍節(jié)點(diǎn)表內(nèi)插入節(jié)點(diǎn)now} 35 begin 36 inlist[now]:=true; {標(biāo)記now節(jié)點(diǎn)在表內(nèi)} 37 inc(listsum); {表中元素增加1} 38 inc(l[h[now],0]); {高度為h[now]的活躍節(jié)點(diǎn)數(shù)增加1} 39 l[h[now],l[h[now],0]]:=now; {表中高度為h[now]的第l[h[now],0]個(gè)活躍節(jié)點(diǎn)為now} 40 if h[now]>level then {更新活躍節(jié)點(diǎn)最高高度} 41 level:=h[now]; 42 end; { insect } 43 procedure bfs(); {利用BFS(反向的)，求的各個(gè)節(jié)點(diǎn)的高度} 44 var 45 head,tail,i : longint; 46 begin 47 head:=0; 48 tail:=1; 49 q[1]:=t; 50 h[t]:=1; {匯點(diǎn)的高度為1} 51 while head<tail do 52 begin 53 inc(head); 54 for i:=1 to n do 55 if c[i,q[head]]>0 then {存在邊} 56 if h[i]=0 then {i節(jié)點(diǎn)高度沒(méi)有求出} 57 begin 58 h[i]:=h[q[head]]+1; {求的節(jié)點(diǎn)i的高度} 59 inc(tail); 60 q[tail]:=i; 61 end; 62 end; 63 end; { bfs } 64 procedure previous(); {預(yù)流推進(jìn)的預(yù)處理} 65 var 66 i : longint; 67 begin 68 for i:=1 to n do 69 begin 70 e[i]:=c[s,i]; {讓源點(diǎn)的出弧飽和，則弧的指向點(diǎn)的盈余要改變} 71 f[s,i]:=c[s,i]; {源點(diǎn)出弧飽和} 72 f[i,s]:=-f[s,i]; {反向弧的處理} 73 if (e[i]>0)and(i<>t)and(not inlist[i]) then {節(jié)點(diǎn)i成為活躍節(jié)點(diǎn),且不是匯點(diǎn)，沒(méi)有在表內(nèi)(其實(shí)也不可能在表內(nèi))} 74 insect(i); 75 end; 76 h[1]:=n; 77 for i:=1 to n-1 do 78 inc(vh[h[i]]); 79 end; { previous } 80 function find(level :longint ):longint; {傳入當(dāng)前活躍節(jié)點(diǎn)集合的最高高度} 81 var 82 i : longint; 83 begin 84 for i:=level downto 1 do {枚舉節(jié)點(diǎn)集合} 85 if l[i,0]<>0 then {存在節(jié)點(diǎn)} 86 begin 87 find:=l[i,l[i,0]]; {返回表的尾元素} 88 inlist[l[i,l[i,0]]]:=false; {返回節(jié)點(diǎn)不再表內(nèi)} 89 dec(l[i,0]); 90 dec(listsum); {表中元素個(gè)數(shù)減一} 91 while (l[level,0]=0)and(level>0) do {更新level的值} 92 dec(level); 93 exit; 94 end; 95 exit(0); {沒(méi)有找到節(jié)點(diǎn)就返回0} 96 end; { find } 97 procedure push(now :longint ); {推流操作} 98 var 99 i : longint; 100 tmp : longint; 101 begin 102 for i:=1 to n do 103 if (c[now,i]>f[now,i])and(h[now]=h[i]+1)and(e[now]>0) then {如果當(dāng)前節(jié)點(diǎn)有盈余且有出弧不飽和} 104 begin 105 tmp:=c[now,i]-f[now,i]; {tmp記錄對(duì)弧而言能增廣的量} 106 if tmp>e[now] then {這里能增廣的量=min(tmp,盈余)} 107 tmp:=e[now]; 108 inc(f[now,i],tmp); {增廣操作} 109 dec(f[i,now],tmp); 110 inc(e[i],tmp); {修改節(jié)點(diǎn)盈余} 111 dec(e[now],tmp); 112 if (not inlist[i])and(e[i]=tmp)and(i<>t) then {接受流的節(jié)點(diǎn)一定成為活躍節(jié)點(diǎn)且不再表內(nèi)，又不是匯點(diǎn)} 113 insect(i); 114 end; 115 end; { push } 116 procedure relable(now : longint ); {重新標(biāo)號(hào)} 117 var 118 i : longint; 119 tmph : longint; 120 begin 121 tmph:=h[now]; {tmph保存未重新標(biāo)號(hào)前now節(jié)點(diǎn)的高度} 122 dec(vh[tmph]); {高度為h[now]的節(jié)點(diǎn)數(shù)減一} 123 h[now]:=$ffff; {高度要取min(j)c[now,j]>0,則先賦值最大} 124 for i:=1 to n do 125 if (c[now,i]>f[now,i])and(h[now]>h[i]+1) then 126 h[now]:=h[i]+1; {更新標(biāo)號(hào)的過(guò)程} 127 inc(vh[h[now]]); {新產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)的高度記錄進(jìn)去} 128 if vh[tmph]=0 then {GAP優(yōu)化，如果存在間隙，則最大流已求出} 129 for i:=1 to n do 130 if (h[i]>tmph)and(h[i]<n) then {讓各個(gè)節(jié)點(diǎn)均抬高到n} 131 begin 132 dec(vh[h[i]]); 133 h[i]:=n; 134 inc(vh[n]); 135 end; {不能直接退出，否則會(huì)無(wú)限執(zhí)行且不滿(mǎn)足流量平衡} 136 if (now<>s)and(now<>t) then 137 insect(now);{now經(jīng)過(guò)PUSH過(guò)程已經(jīng)不再活躍節(jié)點(diǎn)內(nèi)了，且一定有盈余,但一定要保證now不是源，匯} 138 end; { ralable } 139 procedure main; 140 var 141 tmp : longint; 142 begin 143 while listsum<>0 do {當(dāng)表中存在活躍節(jié)點(diǎn)時(shí)} 144 begin 145 tmp:=find(level); {找到最高標(biāo)號(hào)點(diǎn)} 146 push(tmp); {推進(jìn)} 147 if e[tmp]>0 then {如果推進(jìn)后該節(jié)點(diǎn)還有盈余} 148 relable(tmp); {重新標(biāo)號(hào)該節(jié)點(diǎn)} 149 end; 150 end; { main } 151 procedure print; 152 var 153 i : longint; 154 begin 155 flow:=0; 156 for i:=1 to n do {累加源的出流量} 157 inc(flow,f[s,i]); 158 writeln(flow); 159 end; { print } 160 begin 161 init; 162 bfs(); 163 previous; 164 main; 165 print; 166 end.

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小結(jié)：

網(wǎng)絡(luò)流的最大流算法種類(lèi)繁多，時(shí)間效率編程復(fù)雜度也不盡相同，對(duì)于不同的流網(wǎng)絡(luò)，選擇相應(yīng)的算法，需要在不斷實(shí)踐中摸索，這也是一個(gè)菜鳥(niǎo)到大牛的必經(jīng)之路。在一般題目中，選用Dinic是一個(gè)不錯(cuò)的想法，但當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)特別稠密時(shí)，FIFO的預(yù)留推進(jìn)算法就要派上用場(chǎng)了，而時(shí)間比較緊但題目數(shù)據(jù)弱，我們甚至可以采用搜索找增廣路的算法。

提供最大流測(cè)試網(wǎng)址：http://hzoi.openjudge.cn/never/1003/

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?????第三部分??最小費(fèi)用最大流問(wèn)題

?學(xué)習(xí)了網(wǎng)絡(luò)流的最大流算法，一定有一種十分興奮的感覺(jué)，那么，就讓你借著這股興奮勁兒，來(lái)學(xué)習(xí)這一章的最小費(fèi)用流吧。

最小費(fèi)用流有兩種經(jīng)典的算法，一種是消圈算法，另一種則是最小費(fèi)用路增廣算法。

第一種，消圈算法。如果在一個(gè)流網(wǎng)絡(luò)中求出了一個(gè)最大流，但對(duì)于一條增廣路上的某兩個(gè)點(diǎn)之間有負(fù)權(quán)路，那么這個(gè)流一定不是最小費(fèi)用最大流，因?yàn)槲覀兛梢宰屢徊糠至鲝倪@條最小費(fèi)用路流過(guò)以減少費(fèi)用，所以根據(jù)這個(gè)思想，可以先求出一個(gè)最大初始流，然后不斷地通過(guò)負(fù)圈分流以減少費(fèi)用，直到流網(wǎng)絡(luò)中不存在負(fù)圈為止。

消圈算法的時(shí)間復(fù)雜度上限為O(nm^2cw),其中c是最大流量，w為非用最大值，而按特定的順序消圈的時(shí)間復(fù)雜度為O(nm^2logn)。這里的時(shí)間復(fù)雜度分析是按照用bellman-ford算法消圈得到的，用SPFA應(yīng)該可以得到更優(yōu)的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間。

第二種，最小費(fèi)用路增廣算法。這里運(yùn)用了貪心的思想，每次就直接去找s到t的最小費(fèi)用路來(lái)增廣，這樣得到的結(jié)果一定是最小費(fèi)用，實(shí)現(xiàn)較簡(jiǎn)單，時(shí)間復(fù)雜度O(mnv)，v為最大流量。用SPFA效果極好，但鑒于SPFA的不確定性，有時(shí)為了保險(xiǎn)，往往運(yùn)用重新加權(quán)技術(shù)，具體實(shí)踐請(qǐng)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)或其他途徑獲得。

最小費(fèi)用流的東西并不多，事實(shí)上是使用最短路徑這種特殊的網(wǎng)絡(luò)流解決了普遍的網(wǎng)絡(luò)流問(wèn)題，只要掌握好基礎(chǔ)，程序不難寫(xiě)出。

1 View Code 2 program minflow(input,output); 3 var 4 f : array[0..501,0..501] of longint; 5 c : array[0..501,0..501] of longint; 6 min,pre,d : array[0..1000] of longint; 7 q : array[0..2000] of longint; 8 v : array[0..501] of boolean; 9 m,n,s,t : longint; 10 procedure init; 11 var 12 xx,yy,cc,dd : longint; 13 i : longint; 14 begin 15 readln(n,m); 16 fillchar(f,sizeof(f),63); 17 fillchar(c,sizeof(c),0); 18 for i:=1 to n do 19 f[i,i]:=0; 20 for i:=1 to m do 21 begin 22 readln(xx,yy,cc,dd); 23 f[xx,yy]:=dd; 24 c[xx,yy]:=cc; 25 f[yy,xx]:=-dd; 26 end; 27 s:=1; 28 t:=n; 29 end; { init } 30 function argument():boolean; 31 var 32 head,tail : longint; 33 i,now : longint; 34 begin 35 for i:=1 to n do 36 d[i]:=maxlongint>>2; 37 fillchar(v,sizeof(v),false); 38 fillchar(min,sizeof(min),63); 39 head:=0; 40 tail:=1; 41 q[1]:=s; 42 v[1]:=true; 43 d[1]:=0; 44 while head<tail do 45 begin 46 inc(head); 47 v[q[head]]:=false; 48 now:=q[head]; 49 for i:=1 to n do 50 if c[now,i]<>0 then 51 begin 52 if d[now]+f[now,i]<d[i] then 53 begin 54 d[i]:=d[now]+f[now,i]; 55 pre[i]:=now; 56 if c[now,i]<min[now] then 57 min[i]:=c[now,i] 58 else 59 min[i]:=min[now]; 60 if not v[i] then 61 begin 62 inc(tail); 63 q[tail]:=i; 64 v[i]:=true; 65 end; 66 end; 67 end; 68 end; 69 if d[t]=maxlongint>>2 then 70 exit(false); 71 now:=t; 72 while now<>s do 73 begin 74 dec(c[pre[now],now],min[t]); 75 inc(c[now,pre[now]],min[t]); 76 now:=pre[now]; 77 end; 78 end; { argument } 79 procedure main; 80 var 81 ans : longint; 82 begin 83 ans:=0; 84 while argument() do 85 inc(ans,min[t]*d[t]); 86 writeln(ans); 87 end; { main } 88 begin 89 init; 90 main; 91 end.

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?? ? ? ? ??第四部分??網(wǎng)絡(luò)流算法的應(yīng)用

一．??最大流問(wèn)題。

一般情況下，比較裸的最大流幾乎不存在，網(wǎng)絡(luò)流這種東西考得就是你的構(gòu)圖能力，要不然大家背一背基本算法就都滿(mǎn)分了，下面介紹一道比較典型的最大流問(wèn)題。

???問(wèn)題一：最小路徑覆蓋問(wèn)題。

???題目鏈接：http://hzoi.openjudge.cn/never/1004/

???最小路徑覆蓋=|P|－最大匹配數(shù)

???而最大匹配數(shù)可以用匈牙利，也可以用最大流，而兩者在這特殊的圖中，效率是相同的，而一旦題目有一些變化，網(wǎng)絡(luò)流可以改改繼續(xù)用，而匈牙利的局限性較大。

???問(wèn)題二：奶牛航班。

?? Usaco的賽題，以飛機(jī)上的座位作為流量限制，通過(guò)實(shí)際模型的構(gòu)建，最終運(yùn)用最大流算法解決，詳解可參考國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)論文，具體哪年的忘記了，囧。

??最大流實(shí)在難已以找到比較有意思的題目，下面進(jìn)入應(yīng)用最廣泛的最小費(fèi)用流吧！

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二.最小費(fèi)用流問(wèn)題（最大收益流問(wèn)題）

這個(gè)問(wèn)題的模型很多下面就此解析幾道例題。

???問(wèn)題一：N方格取數(shù)

???在一個(gè)有m*n?個(gè)方格的棋盤(pán)中，每個(gè)方格中有一個(gè)正整數(shù)?，F(xiàn)要從方格中取數(shù)，使任意2?個(gè)數(shù)所在方格沒(méi)有公共邊，且取出的數(shù)的總和最大。

???解析：這是一個(gè)二分圖最大點(diǎn)權(quán)獨(dú)立集問(wèn)題，就是找出圖中一些點(diǎn)，使得這些點(diǎn)之間沒(méi)有邊相連，這些點(diǎn)的權(quán)值之和最大。獨(dú)立集與覆蓋集是互補(bǔ)的，求最大點(diǎn)權(quán)獨(dú)立集可以轉(zhuǎn)化為求最小點(diǎn)權(quán)覆蓋集（最小點(diǎn)權(quán)支配集）。最小點(diǎn)權(quán)覆蓋集問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為最小割問(wèn)題解決。

???結(jié)論:最大點(diǎn)權(quán)獨(dú)立集?=?所有點(diǎn)權(quán)?-?最小點(diǎn)權(quán)覆蓋集?=?所有點(diǎn)權(quán)?-?最小割集?=?所有點(diǎn)權(quán)?-?網(wǎng)絡(luò)最大流。

???問(wèn)題還有許多，可以參考網(wǎng)上的網(wǎng)絡(luò)流與線(xiàn)性規(guī)劃24題，里面題目比較全面（雖然好多根本用不到網(wǎng)絡(luò)流）。

最后再提一道題目，說(shuō)一下最小割的轉(zhuǎn)化建模。

The last問(wèn)題：黑手黨

題目大意：要用最少的人數(shù)來(lái)切斷從A到B的所有路徑，每個(gè)人只能切斷一條邊。

分析：顯然是一個(gè)從A到B的最小割問(wèn)題，由最大流最小割定理，求A到B?的最大流即可。

結(jié)論：網(wǎng)絡(luò)流問(wèn)題博大精深，難點(diǎn)在構(gòu)圖，這是一種能力，需要逐漸培養(yǎng)。

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總結(jié)：關(guān)于網(wǎng)絡(luò)流的介紹到這里也就結(jié)束了，但是網(wǎng)絡(luò)流絕不是僅僅這點(diǎn)東西的，由于個(gè)人水平問(wèn)題，出錯(cuò)或片面的地方還請(qǐng)大牛指正。

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參考資料：

[1].國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)論文2007?王欣上，淺談基于分層思想的網(wǎng)絡(luò)流算法。

[2].國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)論文2002，江鵬，從一道題目的解法試壇網(wǎng)絡(luò)流的構(gòu)造與算法。

[3].算法藝術(shù)與信息學(xué)競(jìng)賽，劉汝佳，黃亮。

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[轉(zhuǎn)]?http://www.cnblogs.com/neverforget/archive/2011/10/20/2210785.html

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注：預(yù)留推進(jìn)算法Gap優(yōu)化：

若發(fā)現(xiàn)存在某個(gè)高度t<|V|，使得沒(méi)有任何點(diǎn)的高

? 度為t，則可以把所有高度在( t, |V| ]之間的點(diǎn)的高度

? 全部提升到|V|+1

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的浅谈网络流的基本算法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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