有限元分析中的常識（持續更新）

介紹一些學過有限元的人都不得不超級熟練掌握的基本常識。

文章目錄

• • 有限元分析中的常識（持續更新）
  • • 通用符號
    • 基本不等式
    • • Cauchy-Schwarz 不等式
      • H?lder's 不等式
      • Young's 不等式
      • Poincaré 不等式
      • 離散版本的 Gronwall 不等式
      • Sobolev 不等式
    • 嵌入定理
    • • 嵌入定理
      • 緊嵌入定理
    • Cea 引理證明技巧
    • Aubin-Nitsche 對偶技巧
    • Lax-Milgram 定理

通用符號

$\Vert ?{\Vert }_{m,p}$ 表示 Sobolev 空間 $W^{m,p}(\Omega )$ 范數：
$$\Vert u{\Vert }_{m,p}={?\sum _{|\alpha |\le m}{\Vert D^{\alpha }u\Vert }_{L^p}^p?}^{1/p}$$

為了表達的簡潔，當 $p=2$ 時，可以省略第一個下標，即$\Vert ?{\Vert }_m=\Vert ?{\Vert }_{m,2}$ 表示 $W^{m,2}(\Omega )=H^m(\Omega )$ 的范數。

同樣地，當 $m=0$ 時，可以省略第一個下標，但是為了和上面一個省略區分，我們一般用 $\Vert ?{\Vert }_{L^p}=\Vert ?{\Vert }_{0,p}$ 表示 $W^{0,p}(\Omega )=L^p(\Omega )$ 范數：
$$\Vert u{\Vert }_{L^p}={\left({\int }_{\Omega }|u{|}^p\mathrm{d}x\right)}^{1/p}$$

更進一步的省略，當 $m=0,p=2$ 時，直接用 $\Vert ?\Vert ==\Vert ?{\Vert }_{0,2}$ 表示 $W^{0,2}(\Omega )=L^2(\Omega )$ 的范數。

$(?,?)$ 表示 $L^2$ 內積。

一根短豎線 $|?{|}_{m,p}$ 表示相對于范數的半范，以此類推。

基本不等式

Cauchy-Schwarz 不等式

$$|(a,b){|}^2\le \Vert a\Vert \Vert b\Vert$$

H?lder’s 不等式

$$\Vert uvw{\Vert }_{L^s}\le \Vert u{\Vert }_{L^p}\Vert v{\Vert }_{L^q\Vert w{\Vert }_{L^r}},?p,q,r\in (0,\infty ],\frac{1}{s}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}.$$

Young’s 不等式

設 $p,q\in R,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,a$ 和 $b\ge 0$, 則有 Young 不等式:
$$ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}.$$

Young 不等式有一些變形，比如說可以在 $a,b$ 前面加上 $\epsilon$ 和 ${\epsilon }^{?1}$ 得到 $?$-Young 不等式。

Poincaré 不等式

$$\Vert v{\Vert }_{L^q}\le C_s\Vert ?v\Vert ,?v\in L_0^2(\Omega )$$

離散版本的 Gronwall 不等式

連續的 Gronwall 不等式參考這里。

離散的版本精準描述如下：
$A,\alpha \in [0,+\infty )$，且當 $n\ge 1$, $a_n,{\tau }_n\in [0,+\infty )$ 滿足，
$$a_n\le A+\alpha \sum _{j=1}^n{\tau }_j{a}_j?n\ge 1,m:=\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }\alpha {\tau }_n<1$$
令 $\beta =\alpha /(1?m),B:=A/(1?m)$ 且${\tau }_0=0$, 那么
$$a_n\le B{e}^{\beta {\sum }_{i=0}^{n?1}{\tau }_i}?n\ge 1$$

Sobolev 不等式

$$\Vert u{\Vert }_{L^q}\le C_{}\Vert u{\Vert }_1$$
其中對于 $d=2,q\in [2,\infty )$，對于 $d>2,q\in \left[2,\frac{2d}{d?2}\right]$。

嵌入定理

嵌入定理

$\Omega$ 為有界、Lipschitz 邊界區域, 則
$$W^{m,p}(\Omega )??\begin{array}{ll}C(\bar{\Omega }),& mp>n\\ L^q(\Omega ),?q\in [1,\infty ),& mp=n\\ L^{q^{?}}(\Omega ),?q^{?}\in \left[1,\frac{np}{n?mp}\right],& mp<n\end{array}$$
其中當 $mp=n$ 且 $p=1$ 時, $q$ 可取 $\infty$. 當 $mp>n$ 時, 可分為三種情況
$$W^{m,p}(\Omega )??\begin{array}{ll}{C}^{0,m?\frac{n}{p}}(\bar{\Omega }),& \frac{n}{p}<m<\frac{n}{p}+1\\ C^{0,\alpha }(\bar{\Omega }),?\alpha \in [0,1),& m=\frac{n}{p}+1\\ C^{0,1}(\bar{\Omega }),& m>\frac{n}{p}+1\end{array}$$

緊嵌入定理

$$W^{m,p}???\begin{array}{ll}C(\bar{\Omega }),& mp>n\\ L^q(\Omega ),?q\in [1,\infty ),& mp=n\\ L^{q^{?}}(\Omega ),?q^{?}\in \left[1,\frac{np}{n?mp}\right),& mp<n\end{array}$$

記不住？確實。可以記住 $q=\frac{np}{n?mp}$ 這個，這是上限。當 $q$ 越小的時候，$W^{m,p}$ 越容易嵌入到 $L^q$。因為對于 $L^q$ 來說，$q$ 越大，范數越強，區域范圍越小，越不容易被嵌入。

Cea 引理證明技巧

Céa 引理. 設雙線性形式 $a(?,?)$ 連續、 $V$ 橢圓，即存在 $M,\alpha >0$，使得
$$|a(u,v)|\le M\Vert u{\Vert }_V\Vert v{\Vert }_V,a(u,u)\ge \alpha \Vert u{\Vert }_V^2,?u,v\in V$$
設 $u,u_h$ 分別為問題變分問題及其有限元離散的解,，則存在常數 $C>0$， 使得
$${\Vert u?u_h\Vert }_V\le C\underset{v_h\in V_h}{\inf }{\Vert u?v_h\Vert }_V$$
其中右端項 ${\inf }_{v_h\in V_h}{\Vert u?v_h\Vert }_V$ 稱為逼近誤差。

證明. 對 $v_h\in V_h?V,a\left(u,v_h\right)=f\left(v_h\right)$。又 $a\left(u_h,v_h\right)=f\left(v_h\right)$。兩式相減有
$$a\left(u?u_h,v_h\right)=0,?v_h\in V_h$$
由橢圓性，
$$\begin{array}{rl}\alpha {\Vert u?u_h\Vert }_V^2& \le a\left(u?u_h,u?u_h\right)\\ & =a\left(u?u_h,u?v_h\right)+a\left(u?u_h,v_h?u_h\right)\\ & \le M{\Vert u?u_h\Vert }_V{\Vert u?v_h\Vert }_V.\end{array}$$
再由 $v_h$ 的任意性即得證。

做誤差估計的時候常常用到這個，但是對于不同的方法，往往需要做一些改變，比如某些方法下，正交性可能就不成立了，這時候就會多出來一些項，需要單獨估計。

它說的是，有限元誤差可以被逼近誤差界住。

Aubin-Nitsche 對偶技巧

Aubin-Nitsche 引理. 設 $u,u_h$ 分別為變分問題及其有限元離散的解。在凸區域的情形下，存在 $C>0$，使得
$${\Vert u?u_h\Vert }_{0,\Omega }\le Ch{\Vert u?u_h\Vert }_{1,\Omega }$$

證明關鍵步驟.
考慮輔助問題
$$\{\begin{array}{ll}?\Delta w=u?u_h,& \text{?in?}\Omega \\ w=0,& \text{?on?}?\Omega \end{array}$$
變分形式，
$$\begin{array}{rl}a(w,v)& =\left(u?u_h,v\right),?v\in H_0^1(\Omega )\end{array}$$
取 $v=u?u_h$, 則有
$$\begin{array}{rl}{\Vert u?u_h\Vert }_{}^2& =a\left(w,u?u_h\right)\\ & =a\left(w?w_h,u?u_h\right)\left(\text{?正交性:?}a\left(u?u_h,w_h\right)=0\right)\\ & ?{\Vert w?w_h\Vert }_1{\Vert u?u_h\Vert }_1(\text{?有界性?})\\ & ?h{\left|w\right|}_2{\Vert u?u_h\Vert }_1(\text{?對?w?解的估計})\\ & ?h{\Vert u?u_h\Vert }_{}{\Vert u?u_h\Vert }_1(\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{E}\text{?正則性理論?})\end{array}$$

想要得到 $\Vert u?u_h\Vert$ 的估計，構造輔助問題，讓右端項 $f=u?u_h$。
利用輔助問題的等式的變分形式，從右邊到左邊。
想利用到輔助問題解的估計，用一次正交性。再利用正則性理論，從左邊到右邊。
有些特殊的問題，正交性沒有怎么辦？可能又會多出來一些項，單獨處理。

Lax-Milgram 定理

Lax-Milgram 定理. 設 $a(?,?)$ 是有界、橢圓雙線性型, $V$ 為 Hilbert 空間, $?\in V^{\prime }$. 則變分 問題
$$\{\begin{array}{l}\text{?求?}u\in V,\text{?s.t.?}\\ a(u,v)=?(v),?v\in V\end{array}$$
存在唯一解。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的有限元分析中的常识（持续更新）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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