摘要及聲明

1：本文簡單介紹PB指標的推導以及剩余收益的估值方式；?

2：本文主要為理念的講解，模型也是筆者自建，文中假設與觀點是基于筆者對模型及數據的一孔之見，若有不同見解歡迎隨時留言交流；

3：筆者希望搭建出一套交易體系，原則是只做干貨的分享。后續將更新更多內容，但工作學習之余的閑暇時間有限，更新速度慢還請諒解；

4：本文主要數據通過Tushare(ID：444829)金融大數據平臺接口獲取；

5：模型實現基于python3.8；

? ? ? ? 筆者看本站有一些人寫過剩余收益的文章，但都比較模棱兩可。百度上也有一些文章，不過點開都是很多公式推導，缺少理念的拓展。本著只講干貨的原則，筆者本期深入淺出講一講剩余收益估值那些事兒。必要的一些公式推導還是需要帶上的，但筆者更多是分享自己對剩余收益原理和經濟含義的理解。本期主要內容如下：

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目錄

1. 淺談PB

1.1 PB估值的優點

1.2 經基本面調整的靜態PB指標

2. 剩余收益

2.1 與PB指標的關系

2.2?多期剩余收益的幾個推導方式

2.2.1?凈盈余關系推導

2.2.2?公式法推導一

2.2.3 公式法推導二

2.3 剩余收益的折現

2.3.1 PB指標與單階段折現

2.3.2 PB指標與多階段折現

2.3.3 可持續因子折現

3 模型實現

3.1 代碼實現

3.2 敏感性分析

4. 總結

5. 往期精選

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1. 淺談PB

????????PB指標比較入門和基礎，本來筆者不想多談，網上也已經有很多文章寫過，但由于后面涉及到殘余收益，不說又差些意思，因此這里筆者還是打算簡單介紹一下，并推導一下重要的公式變形和結論，已經對PB指標很熟或者不感興趣的可以直接跳過本節。

????????PB指標又稱為市凈率，可以利用股價除以公司每股凈資產賬面價值（Book value per share, 下文簡稱“BVPS”）得到。筆者在市盈率那期內容中介紹了PE指標的諸多變形，例如靜態、動態、TTM、NTM、PEG和基本面調整市盈率等等（文章傳送門：PE指標）。但打開交易軟件會發現除了PE指標，其它的乘數指標往往只有光溜溜的一個名字，并不像PE指標那樣有諸如靜態、動態、TTM這種前/后綴。

????????筆者看網上對這個原因都避而不談，好像PE天生就該有這么多變形，其它指標就不配? 事實上PB、PS、PCF等價格乘數指標照樣可以有很多變形，而且實務中也確實有人會使用這些變形指標。之所以很少見到這些變形，原因主要是PE指標的分母EPS是股東（韭菜）們最為關心的指標，靜態動態PE一列出來，股東們就能看到公司收益增減變化，下回分紅多少錢能進口袋也就有了個預期。其次，由于財務報表的勾稽關系，EPS往往和BVPS、銷售額及現金流這些指標呈正相關關系，通過PE動靜態指標一看大致也能判斷出其它指標變化情況。這樣一個受股東歡迎，又具有代表性的指標當然要大做文章，于是其它指標就剝得只剩個光桿司令了，很多行情軟件甚至不展示PS和PCF這種指標。

1.1 PB估值的優點

????????筆者羅列了一些比較重要的優缺點當作是復習了。盡管行情軟件上被PE指標奪去很多光環，PB指標的優勢也是很突出的，例如：

????????1）：除資不抵債，PB指標的分母BVPS絕大多數情況下都是正數；

????????2）：PB的分母BVPS的波動相較于PE的分母EPS要低很多；

????????3）：企業資產流動性較高，計量屬性以公允價值為主，例如金融類行業；

????????4）：可用于面臨破產清算的企業估值；

? ? ? ? 不過缺點也是有的：

? ? ? ? 1）：企業有大量的表外資產/負債（off-B/S)；

? ? ? ? 2）：會計準則和計量方式會對PB產生影響，例如存貨計量方式，減值折舊等；

????????3）：回購增發等行為會對PB產生影響；

1.2 經基本面調整的靜態PB指標

? ? ? ? 由于PE那期介紹過各種變形的計算規則，筆者就不一一推導了，下面推導一個經基本面調整的靜態PB指標，僅作展示。由于是經基本面調整的靜態指標，分母采用當期的BVPS，分子采用紅利折現計算的內在價值：

????????其中：

????????：下期股利

????????：股東要求回報率

????????：可持續增速（sustainable growth rate）

????????：當期每股凈資產

????????：利潤留存率

????????：下期每股凈利潤

????????定義ROE的計算式為：

????????則[1]式可以進一步變形為：

????????由于， [2]可以進一步變形得到[3]式：

? ? ? ? 通過觀察[3]式不難發現幾個結論：

? ? ? ? 1）：當ROE大于r，PB大于1；

? ? ? ? 2）：當ROE小于r，PB小于1；

? ? ? ? 3）：當ROE等于r，PB等于1；

????????記住[3]式及這三個結論，等一下它們大有作為。

2. 剩余收益

????????筆者認為從自由現金流折現到股利折現實際上是一個范圍不斷收縮的過程，而剩余收益正是這個收縮過程中的一個過渡。如圖一所示，在企業的收入大蛋糕中扣除掉費用支出，經營活動的墊資，給政府的稅收等等支出后得到可供債權人和股東支配的自由現金流FCFF；在這基礎上繼續扣除債權人分走那部分利息再加上稅盾，得到可供股東支配的自由現金流FCFE；絕大多數人學習過程中會直接從FCFE跳到利用股利進行折現，并且教科書會說一些過場式的陳詞濫調，比如：FCFFE代表的是一個公司潛在的分紅能力，而股利是一個公司實實在在發出了多少分紅。對于一個連年掙錢卻還一毛不拔的鐵公雞，FCFE是比較合理的估值方式，云云。

?圖一：企業利益分配流

? ? ? ? FCFE是股東可以自由支配的現金流，但一來它不是個實打實的應計制概念，除了不能完全體現應計制的優勢，FCF也有可能是個負的，不利于折現。二來自由支配并不意味著股東都能把FCFE全部裝進自己的腰包。對于一家FCF是負的，而且一毛不拔的鐵公雞（不發股利）又該怎么辦？

????????有沒有這樣一個概念，既能體現公司為股東創造了多少經濟價值，又是一個應計制的。首先可以想到的是凈利潤，它來自利潤表，是一個應計制的科目。其次凈利潤是Bottom line，后面分紅多少除了看分紅率，凈利潤才是高分紅的基礎。作為股東最關心的企業盈利能力指標，ROE就采用了凈利潤作為分子。

????????凈利潤能不能用來折現？可以。但這樣還是差了一塊東西，之前說過還需要體現經濟價值，也就是經濟學告訴我們的機會成本。于是馬上可以想到折現率r，而所有者權益又是股東的投入資本，因此通過折現率乘以所有者權益賬面價值即可得到股東的機會成本。但總說經濟價值指代得也不明確，于是這個理念被取了一個名字，即是剩余收益，也稱殘余收益（Residual income，下文簡稱RI），接下來就簡單了，如[4]式：

? ? ? ? 其中，為第t期所有者權益賬面價值（Book value of equity，下文簡稱“BV”）。

? ? ? ? ?不過需要注意的是圖一只是用來講解一下理念，里面的長方形面積大小關系并不代表絕對金額的大小關系。實際上分紅不一定會小于RI（例如借債發股利），FCFE也不一定會大于RI（例如折舊攤銷很小，資產和營運資金投入又很高）。

2.1 與PB指標的關系

????????之前推導的PB看似與RI沒有關系，實際上RI通過一個巧妙的變形就可與PB指標聯系起來。

????????將[4]式左邊的所有者權益提出：

????????通過ROE的計算式就可以將上式簡化為：

? ? ? ? 觀察[5]并聯系[3]式，可以總結得到以下結論：

????????1）：當ROE大于r，RI為正數，PB指標大于1；

? ? ? ? 2）：當ROE小于r，RI為負數，PB指標小于1；

? ? ? ? 3）：當ROE等于r，RI為0，PB指標等于1；

? ? ? ? 這幾條結論中，只要成立其中一個小條件，該條結論都可以被直接推出來。例如只要知道基本面修正的PB指標大于1，那么可以直接推出ROE是大于r的，RI是大于0的。

? ? ? ? 這個關系不僅是純數學公式推導，還蘊含著經濟原理，即RI用來衡量公司為股東創造的經濟價值，ROE是公司盈利能力，r是股東機會成本；當ROE小于r，意味著公司為股東創造的價值不足以覆蓋股東的機會成本，此時RI便為負數，基本面修正的靜態PB指標也小于1，公司從基本面上看處于破凈狀態。

2.2?多期剩余收益的幾個推導方式

????????剩余收益的折現與現金流折現是一樣的原理，RI其實是通過凈利潤計算出來的，是一個增量的概念，與凈利潤不停被計入所有者權益科目一樣的邏輯，這個往里加的對象便是公司的所有者權益賬面價值。因此，不同于其它估值模型，剩余收益現金流折第一個需要注意的點是當期凈資產的賬面價值加上未來RI的增量現金流折現。這個得到的結果才是公司的總內在價值，即[6]式：

? ? ? ? 可以看到，[6]式中的當期凈資產賬面價值是直接可以通過財報得到的，問題在于后面的RI未來現金流加總，下面筆者將推導幾種未來RI的推導方式，下面涉及的公式推導會比較較多。

2.2.1?凈盈余關系推導

????????回顧剩余收益的計算式， 下一期的RI可以計算為：

????????不難發現影響RI的幾個變量無非是凈利潤，期初凈資產和折現率。看到凈利潤和凈資產直接聯想到ROE的公式，只要假設公司未來的ROE水平和折現率，凈盈余關系或者清潔盈余關系（clean surplus relationship）成立（成立條件例如：累計其它綜合收益科目為0，股本不能變化等），就能直接將未來的RI推算出來。

????????因為凈盈余關系：

?????????可以在的基礎上直接推導出， 其中Div為分紅：

? ? ? ? ?按照[7]式這樣就可以不斷將未來RI計算出來。下面筆者以BV初=1000， ROE=20%且恒定，股利支付率5%且恒定，r=8%且恒定進行簡單的四期RI計算展示：

Year(t)	1	2	3	4
	1000	1190	1416.10	1685.16
	200	238	283.22	337.03
	10	11.9	14.161	16.85
	1190	1416.10	1685.16	2005.34
	80	95.20	113.29	134.81
	120	142.80	169.93	202.22

?表一：凈盈余關系計算多期剩余收益

2.2.2?公式法推導一

? ? ? ? 由于以下幾個關系（字母注釋詳見PB指標推導部分，沒看明白可以留言)：

? ? ? ? [7]式可繼續化簡：

? ? ? ? 將BV提出：

? ? ? ? 按這個方式可以寫出第三期的剩余收益：

? ? ? ? 化簡一下：

????????

? ? ? ? 像這樣可以將后面t期的RI用公式[8]表示出來：

????????公式[8]即為一般公式，假設條件是凈盈余關系成立、ROE、股利支付率保持不變。

2.2.3 公式法推導二

? ? ? ? 推導出的一般公式[8]中含有一個第t期的凈利潤，這預測起來比較麻煩。不過在推導RI公式的時候還有一個變形式[5]，[5]式中是不含凈利潤這一項的，因此可以依照上面的原理推導出另一個多期計算式：

? ? ? ? 還是用剛剛筆者舉例使用的數據：BV初=1000， ROE=20%且恒定，股利支付率5%且恒定，r=8%，凈盈余關系成立，下面將已知數據直接帶入[9]式計算四期的剩余收益：

Year	1	2	3	4
	0.19	0.19	0.19	0.19
	0	1	2	3
	1	1.19	1.42	1.69
	0.12	0.12	0.12	0.12
	120	142.80	196.93	202.22

表二：公式法計算多期剩余收益

????????對比表一會發現通過凈盈余關系計算出的剩余收益和公式法計算出的剩余收益竟然是一模一樣的！

????????當然是一模一樣的，它們本質上只是對公式進行了數學恒等變形，不一樣那不是活見鬼了。

2.3 剩余收益的折現

????????說完如何計算，下面就該談估值最重要的步驟——折現。一些基礎的折現理念，例如階段折現方式，可持續因子的運用筆者下面就不做深入解釋了，需要了解原理的可以點下面鏈接看筆者往期講解：增速g的測算，H-model，可持續因子及周期因子。

? ? ? ? 首先對剩余收益來說，最基礎的一個折現式子是：

? ? ? ? 將未來所有的剩余收益預測出來，乖乖按照即期利率折現，最后得到公司內在價值。這種方式比較一板一眼，筆者就不做討論了。不過這里也可以得到一個結論：從之前的PB指標推導的幾個結論可以知道，當ROE一直大于股東機會成本，未來的剩余收益是大于0的。因此對股東們來說，公司的價值會大于凈資產的賬面價值（Value>BV）。

????????下面筆者再討論幾種階段折現的方式。

2.3.1 PB指標與單階段折現

? ? ? ? 將基礎公式中未來現金流加總部分寫成戈登增長模型，但與以前的股利折現不同，剩余收益的分子變下形是可以與PB指標聯系起來的：

? ? ? ? 化簡一下，最后一個部分其實就基本面調整的PB指標乘以BV：

????????即：

? ? ? ? [10]式推出來不是鬧著玩嗎？本身PB就是價格除以凈資產賬面價值，現在再乘一個凈資產得到價格。筆者想說的是，這個式子在未來終值估計上會更有用。不過用這個式子的其中幾個前提是ROE不變，凈利潤增速，凈資產增速和剩余收益增速不變。這在實務中其實是不可能出現的，所謂剩余收益是公司為股東所創造的經濟價值，隨著行業走向衰退，很難說一個企業會永續的以恒定增速為股東創造效益。

2.3.2 PB指標與多階段折現

? ? ? ? 雖然單階段是很難實現的，但上面的單階段推導給了一個靈感——知道未來的PB就可以推導出未來的遠端現金流的終值（terminal value）。還是之前的例子，前面表一已經將前四期RI都推算了出來，現在結合PB指標計算第五期的終值：

? ? ? ??

????????接下來就簡單了，將每一期的RI進行折現，但需要注意的是中是包含凈資產賬面價值的，需要減去BV才是未來RI的增量。

????????因此：

?圖二：遠端現金流終值計算

? ? ? ? 但這個計算問題在于如何估測5年后的PB水平。例如，長期來看均值回歸使得5年后PB指標回到行業平均水平，以行業平均進行估測。或者一個公司由于行業發展程度，市場競爭等因素，從長期來看PB趨向于1，即第五期終值等于0，那么該公司當期的內在價值即為當期凈資產加上未來四期的剩余收益折現。

2.3.3 可持續因子折現

? ? ? ? 除了利用PB指標外，還有另一種方法計算終值。回到RI的戈登增長折現式：

? ?

? ? ? ? 仔細想想這個式子其實是有問題的，傳統意義上的戈登增長模型是假設現金流以g的速度增長到無窮遠期。但對于剩余收益來說，剩余收益永續增長這樣的假定太過苛刻，沒有那個企業可以保證自己的賬面價值永續增長到無窮期，這樣的假設太過恐怖了。因此往往不是假設RI永續增長，而是持續下跌。于是就有了帶可持續因子的公式[11]：

? ? ? ? 關于可持續因子原理就不展開講了，需要了解的看筆增速g那期文章。

3 模型實現

? ? ? ? ?首先是電子表格建模，就是利用Excel。其實很多分析師都有自己的估值模板，輸入相關參數就直接出結果了。雖然一些簡單的折現模型用電子表格建模還是挺方便的，也很直觀。不過筆者還是會自己寫寫代碼，一來可以批量跑很多家公司，二來可以內嵌一些更復雜的功能模塊，對于龐大的數據處理來說電子表格建模就顯得有心無力了。下面筆者以上證某公司為例簡單實現一個帶有可持續因子的剩余收益估值模型。

code = "" 公司代碼

3.1 代碼實現

? ? ? ? 數據方面筆者選擇了Tushare金融大數據平臺API，首先導入相關模塊，實例化tushare接口：

import tushare as ts import numpy as np import pandas as pdpro = ts.pro_api("token") # 輸入自己的密鑰

????????1）：凈利潤及凈資產

? ? ? ? 公司方面使用的是財務報表預測那期的目標公司，一來可以直接拿那期的結果來用，二來可以省略很多分析過程。所需要使用的財務數據為2021年年報數據以及2022年預測數據。 這部分代碼很多，也不是本期重點就不放了， 文章傳送門：財務報表建模——利潤表。

????????凈利潤預測得到的結果：￥27145022057：

def financial_mod():return NINI = financial_mod()

? ? ? ? 凈資產賬面價值，直接獲取當期的財報數據，得到數值為1200多億：

bv = pro.balancesheet(ts_code=code, period='20211231', fields='total_hldr_eqy_inc_min_int')['total_hldr_eqy_inc_min_int'][0]print(bv) # 124868124000.0

????????2）：折現率

????????下面需要知道折現率r， 可以利用CAPM模型計算折現率：

def CAPM_mod():return rr = CAPM_mod()CAPM結果(%)： 8.2916 R-square： 0.5092

? ? ? ? 當然，也可以內嵌更復雜的模型。筆者利用PSM模型計算，代碼也比較多，不放了，感興趣的可以看筆者折現率r那期內容：淺談估值模型：回報率r的進階玩法。模型給出的折現率為12.33%，四個因子均顯著，模型解釋力近70%，可以說PSM非常適合這家公司：

def PSM_mod():return rr = PSM_mod() GLS Regression Results ======================================================================================= Dep. Variable: RP R-squared (uncentered): 0.697 Model: GLS Adj. R-squared (uncentered): 0.696 Method: Least Squares F-statistic: 1126.==============================================================================coef std err t P>|t| [0.025 0.975] ------------------------------------------------------------------------------ RM 1.5858 0.027 58.901 0.000 1.533 1.639 SMB -49.1681 2.449 -20.075 0.000 -53.971 -44.365 HML 54.8740 3.008 18.244 0.000 48.975 60.773 LIQ -17.2345 0.881 -19.559 0.000 -18.963 -15.506 ============================================================================== Omnibus: 260.134 Durbin-Watson: 0.087 Prob(Omnibus): 0.000 Jarque-Bera (JB): 883.215 Skew: 0.645 Prob(JB): 1.63e-192 Kurtosis: 6.022 Cond. No. 161. ==============================================================================PSM結果(%)： 12.3287 Adj R： 0.6962

????????3）：折現模塊

????????數據都拿到之后按照前面推導的可持續因子折現公式寫個模塊就完成了：

def RI_persistent_mod(BV_0, NI_1, r, w): RI = NI_1 - BV_0 * rv = BV_0 + RI/(1 + r - w)return v # BV_0：當期凈資產 # NI_1：下期凈利潤 # r：折現率 # w：可持續因子

? ? ? ? 將之前的參數傳入模塊，除以個股數計算每股股價即可。最后結果為￥28：

total_share = pro.daily_basic(ts_code=code, trade_date='20211231', fields='total_share')["total_share"][0]*10000 print(RI_persistent_mod(bv, ni, r, 0.95)/total_share)# 27.99467127080234

? ? ? ? 上面的代碼看著簡單，因為很多模塊都是現成的，以前也做過很多鋪墊了，筆者認為這是水到渠成的事情。

3.2 敏感性分析

? ? ? ? 有了封裝好的模塊，敏感性分析，情景分析，壓力測試就都可以做了。下面以可持續因子的敏感性分析為例，給定w的閾值從0到1，將結果 輸出到圖表上：

import matplotlib.pyplot as pltvalues = [] w_lst = [] for i in range(100):w = 1-i/100price = RI_persistent_mod(bv, ni, r, w)/total_sharevalues.append(price)w_lst.append(w)plt.plot(w_lst, values) plt.show()

?圖三：可持續因子敏感性分析

? ? ? ? 簡單說一說吧，僅作舉例。從敏感性分析可以看出，w取[0,1]時，該公司的價值區間為￥21到￥32。該價值曲線呈現凸性，即w降時，w的降低對價值影響不斷邊際降低；當w較高時，w的變化對估值影響較大，即價格到26甚至更高時，例如財報不及預期，產品出現質量丑聞等一些小小的基本面瑕疵，都非常有可能引發估值水平的較的回調。當然，以上結論僅僅只針對可持續因子一個變量，實際需要結合其它變量做更復雜的分析，不是本期重點，僅作舉例就不繼續分析了。

4. 總結

? ? ? ?簡單總結一下剩余收益的優點吧：

? ? ? ? 1）：在折現公式中不難發現，占價值大頭的是當期凈資產賬面價值，未來的剩余收益畢竟只占較小一部分。因此剩余收益對終值的敏感度很低，而賬面價值的數據是直接可以從財報拿到的，提高了估值的準確性；2）：剩余收益體現了公司為股東創造的經濟價值；3）：對于不分紅的公司或現金流為負數的公司，剩余收益是不錯的估值方式；

????????當然，缺點也是有的：

? ? ? ? 1）：過度依賴賬面價值進行估值，對于報表不能如實反應資產價值的情況下，剩余收益估出來的價值很可能是有偏的；2）：沒有考慮到公司表外項目，例如人才資本，特殊目的實體等。當然，分析師可以對報表進行調整，但需要做大量的工作。3）：剩余收益的多期推導嚴重依賴財務及其報表勾稽關系，例如凈剩余關系成立；

????????剩余收益的公式是比較多的，比起公式的推導筆者認為更重要的還是理解背后的經濟含義。

5. 往期精選

往期精選
系列	文章傳送門	實現方式
基本面分析	實現GGM的理想國	Python
	剩余收益估值(本期)	Python
	Fama-French及PSM	Python
	增速g的測算	Python
	PE指標平滑	Python
	PE Band	Python
技術分析	分類樹算法	R
	蒙特卡洛模擬	Python
	全連接神經網絡模型	Python
組合管理	券商金股哪家強——信息比率	Python
	從指數構建原理看待A股的三千點魔咒	Python
	決策樹學習基金持倉并識別公司風格類型	R
雜談類	垃圾公司對回報率計算的影響幾何	Python
	市場風險分析	Python
	金融危機模擬	Python

總結

以上是生活随笔為你收集整理的浅谈估值模型：PB指标与剩余收益估值的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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