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數(shù)字信號(hào)處理中卷積

卷積一詞最開始出現(xiàn)在信號(hào)與線性系統(tǒng)中，信號(hào)與線性系統(tǒng)中討論的就是信號(hào)經(jīng)過(guò)一個(gè)線性系統(tǒng)以后發(fā)生的變化。由于現(xiàn)實(shí)情況中常常是一個(gè)信號(hào)前一時(shí)刻的輸出影響著這一時(shí)刻的輸出，所在一般利用系統(tǒng)的單位響應(yīng)與系統(tǒng)的輸入求卷積，以求得系統(tǒng)的輸出信號(hào)（當(dāng)然要求這個(gè)系統(tǒng)是線性時(shí)不變的）。
卷積的定義：
卷積是兩個(gè)變量在某范圍內(nèi)相乘后求和的結(jié)果。如果卷積的變量是序列x(n)和h(n)，則卷積的結(jié)果：

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數(shù)字圖像處理中卷積

數(shù)字圖像是一個(gè)二維的離散信號(hào)，對(duì)數(shù)字圖像做卷積操作其實(shí)就是利用卷積核（卷積模板）在圖像上滑動(dòng)，將圖像點(diǎn)上的像素灰度值與對(duì)應(yīng)的卷積核上的數(shù)值相乘，然后將所有相乘后的值相加作為卷積核中間像素對(duì)應(yīng)的圖像上像素的灰度值，并最終滑動(dòng)完所有圖像的過(guò)程。

這張圖可以清晰的表征出整個(gè)卷積過(guò)程中一次相乘后相加的結(jié)果：該圖片選用3*3的卷積核，卷積核內(nèi)共有九個(gè)數(shù)值，所以圖片右上角公式中一共有九行，而每一行都是圖像像素值與卷積核上數(shù)值相乘，最終結(jié)果-8代替了原圖像中對(duì)應(yīng)位置處的1。這樣沿著圖片一步長(zhǎng)為1滑動(dòng)，每一個(gè)滑動(dòng)后都一次相乘再相加的工作，我們就可以得到最終的輸出結(jié)果。除此之外，卷積核的選擇有一些規(guī)則：
1）卷積核的大小一般是奇數(shù)，這樣的話它是按照中間的像素點(diǎn)中心對(duì)稱的，所以卷積核一般都是3x3，5x5或者7x7。有中心了，也有了半徑的稱呼，例如5x5大小的核的半徑就是2。
2）卷積核所有的元素之和一般要等于1，這是為了原始圖像的能量（亮度）守恒。其實(shí)也有卷積核元素相加不為1的情況，下面就會(huì)說(shuō)到。
3）如果濾波器矩陣所有元素之和大于1，那么濾波后的圖像就會(huì)比原圖像更亮，反之，如果小于1，那么得到的圖像就會(huì)變暗。如果和為0，圖像不會(huì)變黑，但也會(huì)非常暗。
4）對(duì)于濾波后的結(jié)構(gòu)，可能會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù)或者大于255的數(shù)值。對(duì)這種情況，我們將他們直接截?cái)嗟?和255之間即可。對(duì)于負(fù)數(shù)，也可以取絕對(duì)值。

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邊界補(bǔ)充問題

上面的圖片說(shuō)明了圖像的卷積操作，但是他也反映出一個(gè)問題，如上圖，原始圖片尺寸為7*7，卷積核的大小為3*3，當(dāng)卷積核沿著圖片滑動(dòng)后只能滑動(dòng)出一個(gè)5*5的圖片出來(lái)，這就造成了卷積后的圖片和卷積前的圖片尺寸不一致，這顯然不是我們想要的結(jié)果，所以為了避免這種情況，需要先對(duì)原始圖片做邊界填充處理。在上面的情況中，我們需要先把原始圖像填充為9*9的尺寸。
常用的區(qū)域填充方法包括：
為了畫圖方便，這里就不用5*5的尺寸了，用3*3定義原始圖像的尺寸，補(bǔ)充為9*9的尺寸，圖片上的顏色只為方便觀看，并沒有任何其他含義。
原始圖像：

補(bǔ)零填充

邊界復(fù)制填充

鏡像填充

塊填充

以上四種邊界補(bǔ)充方法通過(guò)看名字和圖片就能理解了，不在多做解釋。

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不同卷積核下卷積意義

我們經(jīng)常能看到的，平滑，模糊，去噪，銳化，邊緣提取等等工作，其實(shí)都可以通過(guò)卷積操作來(lái)完成，下面我們一一舉例說(shuō)明一下：

一個(gè)沒有任何作用的卷積核：

卷積核：

將原像素中間像素值乘1，其余全部乘0，顯然像素值不會(huì)發(fā)生任何變化。

平滑均值濾波：

選擇卷積核：

該卷積核的作用在于取九個(gè)值的平均值代替中間像素值，所以起到的平滑的效果：

高斯平滑：

卷積核：

高斯平滑水平和垂直方向呈現(xiàn)高斯分布，更突出了中心點(diǎn)在像素平滑后的權(quán)重，相比于均值濾波而言，有著更好的平滑效果。

圖像銳化：

卷積核：

該卷積利用的其實(shí)是圖像中的邊緣信息有著比周圍像素更高的對(duì)比度，而經(jīng)過(guò)卷積之后進(jìn)一步增強(qiáng)了這種對(duì)比度，從而使圖像顯得棱角分明、畫面清晰，起到銳化圖像的效果。

除了上述卷積核，邊緣銳化還可以選擇：

梯度Prewitt：

水平梯度卷積核：


垂直梯度卷積核：

梯度Prewitt卷積核與Soble卷積核的選定是類似的，都是對(duì)水平邊緣或垂直邊緣有比較好的檢測(cè)效果。

Soble邊緣檢測(cè)：

Soble與上述卷積核不同之處在于，Soble更強(qiáng)調(diào)了和邊緣相鄰的像素點(diǎn)對(duì)邊緣的影響。
水平梯度：


垂直梯度：

以上的水平邊緣與垂直邊緣檢測(cè)問題可以參考：Soble算子水平和垂直方向?qū)?shù)問題

梯度Laplacian：

卷積核：

Laplacian也是一種銳化方法，同時(shí)也可以做邊緣檢測(cè)，而且邊緣檢測(cè)的應(yīng)用中并不局限于水平方向或垂直方向，這是Laplacian與soble的區(qū)別。下面這張圖可以很好的表征出二者的區(qū)別：來(lái)源于OpenCV官方文檔

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的图像处理中的卷积的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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