閱讀文獻：

Chen Y, Zhang B, Kording KP (2016) Speed Constancy or Only Slowness: What Drives the Kappa Effect. PLoS ONE 11(4): e0154013. doi:10.1371/journal.pone.0154013

文獻鏈接：Speed Constancy or Only Slowness: What Drives the Kappa Effect

文章目錄

• 摘要
• 一、前言
• 二、實驗一
• 1、實驗設(shè)計
• 2、貝葉斯模型
• 3、將模型與數(shù)據(jù)進行擬合fitting
• 三、實驗二
• 1、實驗設(shè)計
• 2、實驗結(jié)果
• 四、討論

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摘要

什么是Kappa效應(yīng)：空間距離對時間知覺的影響

兩個模型假設(shè)：經(jīng)典模型（恒定速度）VS貝葉斯模型（慢速度先驗）

????????→本文的視覺實驗發(fā)現(xiàn)：

????????1）在擬合數(shù)據(jù)時兩種模型都能復(fù)制被試反應(yīng)，但貝葉斯模型能更好預(yù)測行為；

????????2）估計的恒定速度接近于速度的絕對閾限；

????????3）Kappa效應(yīng)是慢速度導(dǎo)致，并受空間變異性調(diào)節(jié)。

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一、前言

1、Kappa效應(yīng)解釋：引用例子，當兩物體以恒定時距相繼出現(xiàn)時，其空間間隔越大知覺到的時間間隔越大。

2、經(jīng)典模型（Classical model）介紹：物體在背景中以恒定速度移動，知覺到（估計）兩物體出現(xiàn)的時間間隔(estimated time) te由樣本時間間隔(sample time) ts與期望時間E(t)（給定距離l/恒定速度v0）加權(quán)（權(quán)重為ω）得：

? ? ? ? ? ?( Eq1)

然而，ω是未知的。

3、貝葉斯模型（Bayesian model，文中也表述為慢速度模型Slowness model）介紹：物體在背景中以慢速度移動，在系列觸覺的時空知覺任務(wù)中已重現(xiàn)Kappa效應(yīng)，但其能否解釋視覺Kappa效應(yīng)還有待驗證。

4、本文提出：

貝葉斯模型中：后驗的均值=先驗與似然性均值的加權(quán)平均；

經(jīng)典模型中：知覺到的時間=實際時間與期望時間的加權(quán)平均；

? ? ? ?→?這也許表明：在合適的定義下，經(jīng)典模型也可以被表述為貝葉斯模型的形式。

5、本文假設(shè)：被試認為物體是以恒定速度移動；

研究方法：用貝葉斯模型來表述慢速度模型和經(jīng)典模型，進行時間復(fù)制任務(wù)來復(fù)現(xiàn)視覺Kappa效應(yīng)

研究目的：探討哪個模型能更好解釋Kappa效應(yīng)。

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二、實驗一

1、實驗設(shè)計

9名被試參與17（兩圓間水平距離）×2（兩圓呈現(xiàn)時間間隔sample?time interval，0.8s/1.2s）被試內(nèi)實驗設(shè)計，需按鍵復(fù)制兩圓呈現(xiàn)的時間間隔(producted time) tp，每個處理40個trail共1360個trail。

2、貝葉斯模型

（1）對于經(jīng)典模型：由其得到被試估計兩圓出現(xiàn)的時間間隔?te的公式見Eq1.

將經(jīng)典模型表述為貝葉斯模型的形式，過程如下：

貝葉斯模型的構(gòu)建分為三階段，由時間復(fù)制的理想觀察者模型ideal observer model for time reproduction改進而來，如下圖：

對此部分涉及到的符號和概念做個梳理：

ts	樣本時間sample?time	樣本實際呈現(xiàn)的時間間隔
tm	測量時間measured time（分布）	被試對樣本時間間隔測得的時間，服從均值為ts標準差為σm的高斯分布，記為p(tm|ts)，可視為感覺登記的時間/感覺記憶表征
te	估計時間estimated time	被試根據(jù)貝葉斯模型，結(jié)合prior與likelihood得到的估計時間，是posterior的均值，可視為知覺到的時間
tp	復(fù)制時間producted?time（分布）	被試在反應(yīng)階段按鍵復(fù)制產(chǎn)生的時間分布，記為p(tp|te)
prior	先驗（分布）	對勻速運動物體的速度的先前經(jīng)驗，服從均值為l/v0標準差為στ的高斯分布，記p(τ)
likelihood	似然性（分布）	服從均值為τ標準差為σm的高斯分布，記為p(tm|τ)，τ為經(jīng)驗的時間也是個高斯分布。我認為likelihood本可以理解為根據(jù)經(jīng)驗時間τ得到的測量時間tm的分布。
posterior	后驗（分布）	結(jié)合prior與likelihood得到的分布，均值為te

貝葉斯法則：

P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)
→也可改寫為：后驗概率 ∝ 似然性 * 先驗概率? ? (∝代表兩數(shù)成正比)
? ? 參考：無基礎(chǔ)理解貝葉斯 - 夕月一彎 - 博客園

????????1）Measurement：樣本時間間隔ts被被試所測量；在給定ts的條件下，被試測得的時間間隔tm的分布為p(tm|ts)，其服從均值為ts標準差為σm的高斯分布。這與標量計時理論scalar timing theory一致（時距的內(nèi)部表征是有精確平均值的多個值的分布）。

? ? ? ? 2）Estimation：被試對于移動物體的恒定速度v0有著先驗信念，在給定移動距離l的條件下，被試會有一個先驗的時間間隔分布p(τ)，其服從均值為l/v0標準差為στ的高斯分布，如下：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( Eq2)

似然性為 p(tm|τ)，服從均值為τ標準差為σm的高斯分布，則后驗分布可通過貝葉斯法則進行計算得：

?? ? ? ? ?( Eq3)

?后驗分布的均值（被試估計的時間間隔?te）為：

? ? ? ? ??( Eq4)

參見Day 37閱讀文獻：K?rding, K. P., & Wolpert, D. M. (2006). Bayesian decision theory in sensorimotor control. trends in cognitive sciences, 10(7), 319-326.

The combination (posterior) of likelihood and prior in Bayes’ rule is driven by their respective uncertainty (variance).

給定樣本時間間隔ts，則被試估計的時間間隔?te為：

? ? ( Eq5)

令??，則有：

? ? ? ? ? ? ? ?( Eq6)

可見，由貝葉斯模型計算被試估計的時間間隔?te的Eq6與經(jīng)典模型計算 te的Eq1相等，說明Eq1可以被定義為一個貝葉斯模型。

? ? ? ? ?3）Production：被試使用估計的時間間隔?te來按鍵復(fù)制產(chǎn)生tp，在給定te的條件下，tp的分布為p(tp|te)。以往研究表明（這里還需看下參考的文獻），tp的標準差隨其平均值線性增加，這一特性被稱為標量變異性，即scalar?variability。因此σp=wp*te，wp是一個韋伯分數(shù)Weber?fraction，則有：

? ? ? ? ? ? ? ? ?( Eq7)

?（2）對于慢速度模型：Goldreich用以復(fù)現(xiàn)觸覺Kappa效應(yīng)等而提出的一個基于慢速度假設(shè)的貝葉斯模型，被定義為中心為0的高斯分布函數(shù)，其推導(dǎo)出Kappa效應(yīng)的公式Eq8。推導(dǎo)過程如下：

? ? ? ? 1）慢速度模型基于神經(jīng)活動的概率分布，一個在皮膚上的觸覺刺激將喚起一個神經(jīng)反應(yīng)D。給定初試觸覺刺激的位置為x1，則起喚起的神經(jīng)活動可以建模為空間位置x的函數(shù)，其服從均值為x1的高斯分布：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ( A7 )

? ? ? ? 2）?給定第二次觸覺刺激的位置為x2，兩次刺激間的速度和時距分別為v和τ，則第二次觸覺刺激的神經(jīng)概率分布為：

? ? ? ( A8 )

? ? ? ? 4）神經(jīng)活動也可以建模為時間t的高斯函數(shù)，中心為真實的觸覺刺激施加的時間。第一次觸覺刺激的真實施加時間定義為0，第二次的為ts（即兩次刺激的時間間隔），則兩次神經(jīng)活動關(guān)于時間的高斯分布分別為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( A9 )

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( A10 )

? ? ? ? 5）在兩次刺激間產(chǎn)生神經(jīng)活動的似然性likelihood可寫為空間x與時間t的概率分布：

? ? ? ( A11 )

? ? ? ? 6）慢速度先驗prior反映了對慢速運動的期望，被建模為均值為0的高斯函數(shù)：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( A12 )

? ? ? ? 7）因而根據(jù)A11和A12，后驗分布可使用貝葉斯法則進行計算：

?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ( A13 )

? ? ? ? 8）將A13的指數(shù)對x、v、t和τ的偏導(dǎo)數(shù)設(shè)為0得到后驗?zāi)Ｊ?#xff0c;感知到的時間te為后驗?zāi)Ｊ较娄拥闹?#xff0c;則ts與te的關(guān)系式為（這一步還不太明白）：

? ? ? ? ? ? ? ? ?( Eq8)

其中，l為兩刺激間距離，ts為樣本時間間隔，te為被試估計的時間間隔，σs和σt分別為知覺到的空間和時間信息的標準差，σv為先驗速度的標準差。

最后，被試使用te來按鍵復(fù)制兩圓呈現(xiàn)的時間間隔tp，此過程與貝葉斯版本的經(jīng)典模型中的第三步production一致。

3、將模型與數(shù)據(jù)進行擬合fitting

假設(shè)與任何ts相關(guān)的tp值在試驗中是獨立的。所有N個試次中個體的tp值的聯(lián)合條件概率joint conditional probability為：

? ? ? ?? ( Eq9)

對數(shù)化后得：

? ? ? ???( Eq10)

（1）模型參數(shù)parameters：matlab中用最大似然法maximizing the likelihood確定，先前的研究表明ω是樣本時間間隔的函數(shù)（這里還需看下參考的文獻），故經(jīng)典模型中有4個參數(shù)，ω0.8（0.8s時距條件中的權(quán)重）、ω1.2、v0和wp（韋伯分數(shù)）；慢速度模型中也是4個參數(shù)，σt0.8、σt1.2、σv和wp。

（2）計算σs的方法（σs不是參數(shù)，可以計算獲得）

????????1）最小可覺差JND(just noticeable difference)：在心理測量功能上25%和75%之間的差異，標準差(σ)可以用JND計算得到一個高斯分布，即：

????????σ =JND/0.6475

????????2）視敏度閾值visual acuity threshold：為JND在視覺處理系統(tǒng)空間分辨率測量中的應(yīng)用，先前研究報告了2種視敏度閾值(Vernier/grating resolutions)作為偏心度eccentricity的函數(shù)，分別為：

k = 0.93 ×ε^0.69?和?k = 1.34 × ε^0.71? (the unit of κ is minute not degree)
其中，κ為視覺敏銳度閾值(JND為空間分辨率)，ε為偏心度。

? ? ? ? 3）因而有σs計算公式：

σs = 0.0239 × ε^0.69(Vernier resolution)和σs = 0.0345 × ε^0.71(grating resolution),(the unit of σs is degree not minute)
（3）Akaike information criterion (AIC)：用來評估模型擬合程度的好壞

Δ = AICi-AICmin
其中，AICi來自第i個模型，AICmin來自最佳模型（AIC最小）。Δ越小代表該模型與最佳模型的差值越小，則模型擬合程度越好。

?3、實驗結(jié)果

（1）研究目的與方法：恒定速度和慢速度假設(shè)哪一種能最好地解釋Kappa效應(yīng)？在本實驗設(shè)計中，被試復(fù)制產(chǎn)生的時間tp可以表述為兩刺激空間距離和呈現(xiàn)時距的函數(shù)。

（2）反應(yīng)偏差response bias (BIASr)

? ? ? ? 1）計算BIASr：在每種時間間隔下，兩圓在注視點正上方30mm處的相同位置相繼出現(xiàn)，被試復(fù)制時間tp的均值與標準時間間隔ts的差值即為BIASr。

? ? ? ? 2）單樣本t檢驗One sample t-test：在0.8s時距條件下，BIASr顯著＞0（p<0.05）；在1.2s時距條件下不顯著。

? ? ? ? 3）BIASr的意義與矯正：BIASr代表著與刺激呈現(xiàn)空間距離無關(guān)的被試反應(yīng)偏差，可作為一個基線baseline，盡管其值很小，作為矯正，在分析時將每個被試的復(fù)制時間都減去了其相對應(yīng)的反應(yīng)偏差。

（3）BIASk與VAR：在每種處理下，當兩圓出現(xiàn)在相同位置時，BIASk為被試復(fù)制時間tp的均值與基線baseline的偏差值，VAR為其對應(yīng)的方差，見下圖：

? ? ? ??1）BIASk隨兩圓的空間距離增大而增大（黑點與綠線距離從左到右呈增加趨勢）；

? ? ? ? 2）對于所有被試，VAR在0.8s時距條件下顯著＜1.2s時距（p<0.05）（A圖中灰點比B圖更集中），代表復(fù)制更長的樣本時間有著更多的不確定性，這與標量變異性一致。

（4）擬合數(shù)據(jù)：經(jīng)典模型和慢速度模型都能復(fù)現(xiàn)出被試的結(jié)果（擬合曲線與黑點基本重合），如下圖：

? ? ? ? 1）經(jīng)典模型：將生產(chǎn)時間預(yù)測為距離的線性函數(shù)。模型參數(shù)的均值，ω0.8和ω1.2非常接近1，v0約為0.2°/s, wp約為0.2，見下表：

? ? ? ? ?2）慢速度模型：在0.8s時距條件下，估計時間在長距離時增速較短距離減緩，與慢速度模型結(jié)果更接近；在1.2s時距條件下，與兩個模型結(jié)果都接近。在2種視敏度閾限值情況下，估計時間幾乎相同（Fig 4B與4C中的擬合曲線幾乎一致），且其最佳擬合參數(shù)值也幾乎相等（下表），?在0.8s和1.2s時距條件下σt分別約為0.01s和0.02s，σv約為0.9°/s，wp約為0.2。

? ? ? ? ?3）從Fig 4，慢速度模型似乎能更好地定性地解釋數(shù)據(jù)（更好預(yù)測行為）。

（5）AIC difference (Δ)：模型擬合程度的經(jīng)驗標準為0≤Δ ≤2, substantial; 4 ≤ Δ ≤7, considerably less; Δ >10, essentially none。結(jié)果見下表：

? ? ? ? 1）對于慢速度模型，在0.8s時距條件下，6個被試的擬合程度顯著優(yōu)于經(jīng)典模型，而在1.2s時距條件下只有1個（表中標綠部分）；

? ? ? ? 2）符號檢驗sign test表明，在0.8s時距條件下慢速度模型擬合度更好(p < 0.01)，而1.2s時距條件下兩個模型的擬合度差異不顯著(p > 0.05)。

?（6）模型的預(yù)測：使用最佳擬合參數(shù)the best-fitting parameters在更長的距離范圍下對兩模型的預(yù)測情況繪圖如下（慢速度模型的視敏度閾限僅使用了Vernier resolution）：

? ? ? ? 1）經(jīng)典模型：復(fù)制時間隨距離的增加而線性增加；

? ? ? ? 2）慢速度模型：復(fù)制時間隨距離的增加而線性增加，但增速有著逐漸減緩的趨勢；

? ? ? ? 3）兩種模型間的差異隨距離的增加而增加。這表明在今后的Kappa效應(yīng)研究中，需要使用更大的距離范圍。

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三、實驗二

在實驗一中有個基本假設(shè)：被試在一種樣本時間（兩圓呈現(xiàn)時間間隔）中只有一種反應(yīng)偏差。本實驗旨在補充驗證反應(yīng)偏差是否受刺激呈現(xiàn)位置的影響。

1、實驗設(shè)計

9名被試（與實驗一不同）參與3（兩圓位置相同，其與注視點的水平距離為左12°/0°/右12°）×2（兩圓呈現(xiàn)時間間隔sample?time interval，0.8s/1.2s）被試內(nèi)實驗設(shè)計，需按鍵復(fù)制兩圓呈現(xiàn)的時間間隔，每個處理40個trail共240個trail。

2、實驗結(jié)果

每個被試在每種時間間隔及每個呈現(xiàn)位置的反應(yīng)偏差response biases (BIASr)的M和SE如下表：

對3種位置、2種時距做兩因素重復(fù)測量設(shè)計方差分析Two-way repeated measurement ANOVA：時距、位置、時距和位置的交互作用的主效應(yīng)main?effects均不顯著（p?＞?0.05），這表明刺激呈現(xiàn)位置對反應(yīng)偏差無顯著影響。

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四、討論

（1）在實驗一中，通過比較模型擬合情況發(fā)現(xiàn)，基于恒定速度假設(shè)的經(jīng)典模型和基于慢速度的慢速度模型都能復(fù)現(xiàn)被試的反應(yīng)（Fig 4）,但AIC指數(shù)表明慢速度模型能更好地擬合數(shù)據(jù)。

（2）關(guān)于本研究中發(fā)現(xiàn)的反應(yīng)偏差response bias

? ? ? ? 1）之前沒有關(guān)于視覺刺激呈現(xiàn)位置對于反應(yīng)偏差是否產(chǎn)生影響的研究，本文在實驗二中發(fā)現(xiàn)，結(jié)果為無顯著影響；

? ? ? ? 2）在經(jīng)典模型中，Jones and Huang提出在給定時距the given duration(ts)，給定距離(l)，Kappa效應(yīng)計算(A4)分3步：

? ? ? ? ① 通過psychophysical function：φt，將ts轉(zhuǎn)化為其scale value?：

????????? ? ? ? ? ?(A1)

? ? ? ? ②?觀測時間的內(nèi)部編碼internal code可以表述為scale value和期望時間expected time的加權(quán)形式：

????????? ? ? ? ? ? ? ?(A2)

? ? ? ? 其中，期望時間E(t)=l/v0，v0是恒定速度。?

? ? ? ? ③?通過psychomotor function：ht，利用internal code得到復(fù)制時間tp：

????????? ? ? ? ? (A3)

????????Jones and Huang認為φt是線性的，可以令：

????????? ? ? ?其中代表偏差，則A2可寫為：

? ? ? ?? ? ? ? ?(A4)

? ? ? ? 可以看出，Jones and Huang并未明確指出反應(yīng)偏差。但在本研究的實驗一中，通過將反應(yīng)偏差進行定義：，把反應(yīng)偏差從樣本時間中實現(xiàn)分離(Fig 3)，A4可寫為：

?????????? (A5)

? ? ? ? 將數(shù)據(jù)進行BIASr矯正后得到：

????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(A6)

?????????A6與Jones and Huang得出的Kappa效應(yīng)方程A4在數(shù)學上等價，但有更明確的心理學意義。

（3）模型擬合數(shù)據(jù)的2種方法

? ? ? ? 1）在擬合數(shù)據(jù)前對反應(yīng)偏差進行矯正，確定基線水平。這也是本研究實驗一中采用的方法。

? ? ? ? 2）將反應(yīng)偏差作為模型的參數(shù)，對數(shù)據(jù)進行擬合。通過補充分析發(fā)現(xiàn)，此法使得兩種模型的參數(shù)都由原來的4個增加為6個（新增BIASr0.8和 BIASr1.2，可見方程A5），這可能會在擬合部分被試數(shù)據(jù)時出現(xiàn)過度擬合overfitting現(xiàn)象。

（4）關(guān)于慢速度假設(shè)

? ? ? ? 1）慢速度模型：基于先驗速度假設(shè)，且先驗速度為慢速度，中心為0；

? ? ? ? 2）經(jīng)典模型：也基于先驗速度假設(shè)，且先驗速度為恒定速度，邏輯上說，該恒定速度也可以是慢速度，理由如下：

? ? ? ? ①?由Fig 2，后驗時間posterior的均值大于似然性likelihood的均值，則先驗時間的均值一定大于似然性（因為后驗由先驗與似然性結(jié)合而來），也即先驗速度比刺激圓閃現(xiàn)的速度要慢(v = l/t)；在實驗一中得到恒定速度v0約為0.2°/s，比圓閃現(xiàn)的速度要慢很多(1.2 to 28.3°/s)；

? ? ? ? ② 以往研究表明，老年被試的絕對速度閾限為0.12°/s，青年被試為0.09°/s，與v0接近，故將恒定速度視為慢速度是合理的，這也是為什么經(jīng)典模型和慢速度模型都復(fù)現(xiàn)了被試反應(yīng)的原因(Fig 2)；

? ? ? ? ③?慢速度先驗被證明反映了視覺環(huán)境的統(tǒng)計結(jié)構(gòu)，即快速移動的物體相對較少，但其發(fā)生的神經(jīng)機制需要進一步研究；

（5）兩個模型擬合數(shù)據(jù)情況

? ? ? ? 1）從Fig 4，慢速度模型只在0.8s條件下呈現(xiàn)增速減緩趨勢，1.2s條件沒出現(xiàn)的原因是兩圓的距離不夠長僅1.4° to 22.6°。從Fig 5，距離增加到1.4° to 150°后，慢速度模型在1.2s條件下也出現(xiàn)了增速減緩趨勢。

????????2）慢速度模型在長距離條件下呈現(xiàn)出增速減緩趨勢，而經(jīng)典模型為線性的，慢速度模型擬合數(shù)據(jù)能力更優(yōu)。

? ? ? ? 3）為什么慢速度模型在長距離條件下呈現(xiàn)出增速減緩趨勢？

? ? ? ? →慢速度模型考慮到了空間變異性spatial variance，其值越大→離心率eccentricity越大→視覺敏銳度visual acuity越低→知覺到的距離越短→知覺到的時距越短

（6）兩個模型的優(yōu)缺點

? ? ? ? 1）經(jīng)典模型

? ? ? ? 優(yōu)點：基于一個簡單的線性模型；

? ? ? ? 缺點：

????????①?擬合數(shù)據(jù)能力較差，未考慮空間信息的非線性特征（如空間變異性）；

? ? ? ? ②?模型中的權(quán)重ω隨樣本時間的改變而改變，使模型無法用求得的最佳擬合參數(shù)來預(yù)測一個新的樣本時間的復(fù)制時間。

? ? ? ? 2）慢速度模型

? ? ? ? 優(yōu)點：基于神經(jīng)活動的概率分布，考慮到了時空信息的不確定性，預(yù)測到復(fù)制時間隨距離增加而呈增速減緩的趨勢，擬合數(shù)據(jù)的能力更強；

? ? ? ? 缺點：

????????①?模型表達復(fù)雜，估計時間無法寫為樣本時間的函數(shù)te = f(ts)，因此無法獲得精確的te。

? ? ? ? ②?空間變異性的取值來自于先前研究的推算，且對各被試保持不變，但其可能會因為被試的個體差異、亮度對比等原因產(chǎn)生變化。

? ? ? ? ③?時間信息的不確定性隨樣本時間的改變而改變，使模型無法用求得的最佳擬合參數(shù)來預(yù)測一個新的樣本時間的復(fù)制時間。

因此，為了構(gòu)建一個更好的Kappa效應(yīng)模型，慢速度模型和經(jīng)典模型的優(yōu)缺點都應(yīng)該考慮。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【Day1/5 文献精读】Speed Constancy or Only Slowness: What Drives the Kappa Effect的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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