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第二章 lebesgue测度

發布時間：2023/12/29 编程问答 45 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了第二章 lebesgue测度小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

文章目錄

第二章 lebesgue測度
- 前言
- 2.1 點集的Lebesgue外測度
- - 定義 2.1
  - 定理 2.1 （ $R^n$ 中點集的外測度性質）
  - 推論 2.2
  - 定理 2.4
  - 定理 2.5 （平移不變性）
- 2.2 可測集與測度
- - 前言
  - 定義 2.2
  - 定理2.6（可測集的性質）
  - 定理 2.7（遞增可測集列的測度運算）
  - 推論 2.8（遞減可測集列的測度運算）
  - Fatou 引理

第二章 lebesgue測度

前言

積分的定義以及一個函數的可積性，是與相應的下方圖形面積如何確定以及面積是否存在密切相關的。于是，如果我們想要建立能夠應用與更大函數類的新的積分理論，自然希望把原有的面積概念進行推廣，使得更多的點集能具有類似于面積性質的新的度量。

總之，我們希望對一般 $R^n$ 中的點集 $E$ 給予一種度量，它是長度、面積以及體積的概念的推廣。如果記點集 $E$ 的這種度量為 $m (E)$ ，那么自然要求它具有某些常見的性質或者滿足一定的條件。此時稱 $m (E)$ 為 $E$ 的測度。

以 $R$ 為例，我們提出：

\geq 0

;

可 合 同 的 點 集 具 有 相 同 的 測 度

；

令

I = (a, b)

,則

m (I) = b ? a

;

若

E_1,E_2,...,E_k,...

是互不相交的點集，則

m(∑i=1∞Ei)=∑i=1∞(Ei)m(\sum\limits_{i=1}^{\infty} E_i)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}(E_i)

；

最后一條稱為可數可加性，又稱 $σ?\sigma-$ 可加性。

2.1 點集的Lebesgue外測度

搬教材的話：大家知道，平面矩形的面積是長乘以寬。也就是說，取定一個標準單位——單位正方形，然后計算該矩形包含多少個正方形。但是，這種計算方法只對具有內點的點集有效。

為了對一般點集也能度量出某種“面積‘出來，我們放棄從點集內部擴張的方法，而按從其外部擠壓的方法。

定義 2.1

設 $\subset R^n$ ，若 ${I_k\}$ 是 $R^n$ 中的可數個開矩體，且有 $\subset \bigcup\limits_{k \geq 1} I_k$ ,則稱 ${I_k\}$ 為 $E$ 的一個 $L ?$ 覆蓋 。

稱 $m?(E)=inf{∑k≥1∣Ik∣∣{Ik為E的L?覆蓋}}m^* (E)= inf\{\sum\limits_{k \geq 1}\vert I_k\vert \mid \{I_k 為 E 的L-覆蓋\}\}$ 為點集 $E$ 的 Lebesgue外測度，簡稱外測度 。

每一個L-覆蓋都有體積和，取下確界就是外測度。

定理 2.1 （ $R^n$ 中點集的外測度性質）

非負性：

m?(E)≥0m^*(E) \geq 0

m?(?)=0m^* (\phi) =0

；

單調性：若

E1?E2E_1 \subset E_2

，則

m?(E1)≤m?(E2)m^*(E_1) \leq m^*(E_2)

；

次可加性：

m?(?k=1∞Ek)≤∑k=1∞m?(Ek)m^* ( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty} E_k) \leq \sum\limits_{k=1}^{\infty} m^* (E_k)

；

推論 2.2

若 $\subset R^n$ 為可數點集，則 $m^* (E) =0$ .

單點的外測度為0，由次可加性，可數點集的外測度不大于單點集的外測度之和

定理 2.4

設 $E_1,E_2$ 是 $R^n$ 中的兩個點集，若 $d(E_1,E_2) >0$ ，則 $m?(E1∪E2)=m?(E1)+m?(E2)m^* (E_1 \cup E_2) = m^*(E_1) + m^*(E_2)$ .

定理 2.5 （平移不變性）

設 $\subset R^n, x_0 \in R^n$ .記 $E+{x0}={x+x0,x∈E}E+\{x_0\} = \{x+x_0,x \in E\}$ ,則 $m^*(E + \{x_0\}) = m^*(E)$ .

2.2 可測集與測度

前言

上一節指出外測度具有次可加性，集合函數 $m^*$ 還不是我們所希望的測度。實際上不可能給出在 $R^n$ 上的一切點集都有定義的測度，也就是說有些點集不存在測度或者不可測。于是我們的任務就是在Lebesgue外測度的基礎上，在 $R^n$ 上誘導出一個可測集合類，在其上 $m^*$ 是一種期望的測度。

定義 2.2

設 $\subset R^n$ ，若對任意的點集 $\subset R^n$ ，有 $m?(T)=m?(T∩E)+m?(T∩Ec)m^*(T)=m^*(T\cap E)+m^*(T \cap E^c)$ ，則稱 E 為Lebesgue可測集（或 $m^*$ -可測集），簡稱為可測集，其中 $T$ 稱為 試驗集 ，可測集的全體稱為可測集類，簡記為 $M\mathscr{M}$ 。

定理2.6（可測集的性質）

?∈M\phi \in \mathscr{M}

若

\in \mathscr{M}

,則

Ec∈ME^c \in \mathscr{M}

若

E1∈M,E2∈M,E_1 \in \mathscr{M},E_2 \in \mathscr{M},

則

E1∩E2,E1∪E2,E1?E2E_1 \cap E_2, E_1 \cup E_2, E_1 \setminus E_2

均屬于

M\mathscr{M}

.（由此知，可測集任何有限次取交、并運算后所得的集皆為可測集。）

若 $E_i \cap E_j = \phi $，則

m?(?i=1∞)Ei=∑i=1∞m?(Ei)m^*(\bigcup \limits_{i=1}^{\infty}) E_i = \sum\limits_{i=1}^{\infty} m^*(E_i)

.即

m^*

在

M\mathscr{M}

上滿足可數可加性（或稱

σ\sigma

- 可加性）

定理 2.7（遞增可測集列的測度運算）

若有遞增可測集列 $E1?E2?...?Ek...E_1 \subset E_2 \subset ... \subset E_k ...$ ,則 $m(lim?k→∞Ek)=lim?k→∞m(Ek)m(\lim\limits_{k \to \infty}E_k)=\lim\limits_{k \to \infty } m(E_k)$ .

推論 2.8（遞減可測集列的測度運算）

若有遞減可測集列 $E1?E2?...?Ek?...E_1 \supset E_2 \supset ...\supset E_k \supset...$ ,且 $m(E_1) < +\infty $ ,則 $m(lim?k→∞Ek)=lim?k→∞m(Ek)m(\lim\limits_{k \to \infty}E_k)=\lim\limits_{k \to \infty } m(E_k)$ .

Fatou 引理

設 ${E_k\}$ 是可測集列，則 $m(lim?k→∞￣Ek)≤lim?k→∞￣m(Ek)m(\lim\limits_{\overline{k \to \infty } }E_k) \le \lim\limits_{\overline{k \to \infty }} m(E_k)$ , $m(lim?k→∞￣Ek)≥lim?k→∞￣m(Ek)m(\overline{\lim\limits_{k \to \infty}}E_k) \ge \overline{\lim\limits_{k \to \infty }}m(E_k)$ .

寫這玩意兒太累了，有空再更。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第二章 lebesgue测度的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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