實數的覆蓋

${\mathbb{R}}^n$ 中任意開集可表成可列個互不相交的半開閉方體的并。把半開閉方體稍微加大一點，那么 ${\mathbb{R}}^n$ 中任意開集可表成可列個開矩體的并。

${\mathbb{R}}^n$ 任意子集，可以找到可數個開集進行覆蓋。
$$\underset{r_i\in {\mathbb{Q}}^n\cap E}{?}B(r_i,{?}_0)$$

結合以上兩條，可以定義 ${\mathbb{R}}^n$ 任意子集的外測度，即所有可數開矩體的覆蓋中取inf。

隨機過程的定義

首先給出隨機過程的一個簡單的定義，

定義1：$\left(\Omega ,\mathcal{F},\mu \right)$，取一族可測空間 $(S_t,{\mathcal{B}}_t)$，一個隨機過程可以看出一族隨機變量 $X_t(t\in T)$，固定每個 $t_0$，$X_{t_0}:\Omega \to S_{t_0}$ 是可測函數。

用上面的定義，顯然隨機過程是存在的。但是由于人類不可能寫出所有的這樣的映射，如何構造一個隨機過程形成了困難。我們想把 $X(t,\omega )$ 看成是一個隨機變量 $X(?,\omega )\in \prod _{t\in T}{S}_t$，記 $S_T:=\prod _{t\in T}{S}_t$

【這樣想的原因是，由于隨機變量把概率空間轉化到可測空間 $(S_t,{\mathcal{B}}_t)t\in T$ 上，那么研究清楚 $(S_t,{\mathcal{B}}_t)t\in T$ 就可以知道所有隨機變量能夠表達的信息了。這個概率空間研究清楚后，概率空間的存在性就解決了，取 $(S_T,{\mathcal{B}}_T,{\mu }_T)$ 即可，按照原始的隨機過程定義，取自然的投影映射，隨機過程便存在了】

（Kolmogorov相容性定理） $(S_t,{\mathcal{B}}_t)t\in T$ 是一族Borel空間族，任意有限個的乘積空間的概率測度滿足相容性，那么存在 $\left(\Omega ,\mathcal{F},\mu \right)$ 和隨機過程 $X(t,\omega )$。

【采用定義1，如果要找出隨機過程，雖然概率空間好找，但是需要手寫無限個映射，這是不可能的。Kolmogorov相容性定理告訴我們，可以從另一個角度寫出隨機過程，只要寫出有限維分布，滿足相容性定理就可以了。這樣，概率空間采用 $(S_T,{\mathcal{B}}_T,{\mu }_T)$，映射就是投影到$(S_t,{\mathcal{B}}_t,{\mu }_t)t\in T$，采用這種方法的代價是，概率空間就非常難寫，并且一定要給出 ${\mu }_T$，因此Kolmogorov相容性定理的主要難點就是在找概率空間上。顯然，概率空間找的就是 $(S_T,{\mathcal{B}}_T)$，但是他的測度就帶來困難了。】

乘積空間

先采用定義1，那么概率空間和無限個映射均存在，挖掘一些性質。以下先討論乘積空間如何建立可測空間和可測映射，先不討論測度。

先建立無窮維乘積空間，開始等價定義轉換，假設定義中的 $\sigma ?$代數為 ${\mathcal{B}}_T$，要使得兩個定義等價，需要
$$?t\in T,X(t,?)\in \mathcal{F}|{\mathcal{B}}_t?X(?,?)\in \mathcal{F}|{\mathcal{B}}_T$$

取 $\mathcal{M}=\{B_{t_0}\times \prod _{t\in T\backslash \{t_0\}}{S}_t:t_0\in T,B_{t_0}\in {\mathcal{B}}_{t_0}\}$，${\mathcal{B}}_T$ 的構造方法是 $\sigma (\mathcal{M})$。

$?$：要證 $X(?,?)\in \mathcal{F}|{\mathcal{B}}_T$，只需要證 $?B\in \mathcal{M},X^{?1}(B)\in \mathcal{F}$。這是顯然的。

$?$：要證 $?t_0,X(t_0,?)\in \mathcal{F}|{\mathcal{B}}_{t_0}$，看投影映射 ${\pi }_{T,t_0}y=y(t_0),y\in S_T$。$X(t_0,\omega )={\pi }_{T,t_0}X(\omega )$。

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下面證明，任意 $B\in {\mathcal{B}}_T$，存在可數子集 $T_c$，使得 $B=B_{T_c}\times \prod _{t\in T\backslash \{t_0\}}{S}_t$，其中 $B_{T_c}\in {\mathcal{B}}_{T_c}$，是可數的乘積空間。

由上述知，顯然 $C[0,1]\in /{\mathcal{B}}_T$

【產生這種性質的原因是定義只要求在某一點滿足可測性，再有 $\sigma$ 產生的方式導致只能做到可數個的情況】

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乘積空間的測度

【2】有限維乘積空間的測度如何構造
如果有幸構造出轉移概率，那么可以構造乘積空間的測度，例如馬爾可夫過程，隨機游走等…
如果已知乘積空間和各個空間的概率測度，那么也可以導出轉移概率
【3】可列維乘積空間的測度
【4】無窮維乘積空間的測度
Tulcea定理的條件是任意有限 $n$，存在轉移概率。
Kolmogorov相容性定理給出的條件是，乘積空間存在概率測度，因此可以找出轉移概率，然后用Tulcea定理，存在可列維乘積空間概率測度，接著推廣到整個空間上去。
由于Kolmogorov相容性的條件并不好找，轉移概率也并不好找，因此隨機過程說來說去也就那幾種

積分定義

$f$ 為 $\left(\Omega ,\mathcal{F},\mu \right)$ 上非負可測函數，則 $f$ 積分的定義是

$${\int }_{\Omega }f(\omega )\mu (d\omega )=sup\left\{{\int }_{\Omega }h(\omega )\mu (d\omega ):0\le h\le f,hsimple\right\}.$$

從定義上似乎不要求 $f$ 為可測函數，但是由于任何非負可測函數都存在遞增的簡單函數列進行逼近。如果 $f$ 不為可測函數，想象一下在某個不可測集上 $f$ 長得奇奇怪怪，任何簡單函數都沒辦法逼近那個奇怪的東西，因此就干脆要求，能定義積分的函數都是可測函數了。

積分變換定理

設 $f$ 是 $\left(\Omega ,\mathcal{F},\mu \right)$ 到 $\left(E,\mathcal{E}\right)$ 的可測映射，定義 ${\mu }_f:=\mu (f^{?1}(B))$, 由定理【待補充】的證明知，${\mu }_f$ 是 $\mathcal{E}$ 上的測度，稱為 $\mu$ 在 $\mathcal{E}$ 上由 $f$ 導出的測度。

（積分變換定理）設 $f$ 是 $\left(\Omega ,\mathcal{F},\mu \right)$ 到 $\left(E,\mathcal{E}\right)$ 的可測映射，$g$ 是 $\left(E,\mathcal{E}\right)$ 上的可測函數（$\left(E,\mathcal{E}\right)$ 到 $\left(\mathbb{R},{\mathcal{B}}_{\mathbb{R}}\right)$ ），則有：
$${\int }_{f^{?1}(B)}(g°f)(\omega )\mu (d\omega )={\int }_{B}g(x){\mu }_f(dx),?B\in \mathcal{E}.$$
證明：【待補充】，思路是先看簡單函數，慢慢推廣。

分布函數

一個簡單情況是，$X$ 是 $\left(\Omega ,\mathcal{F},\mu \right)$ 到 $\left(\mathbb{R},{\mathcal{B}}_{\mathbb{R}}\right)$ 的隨機變量，【待補充】分布函數 $F_X$ 是 $\mu$ 在 ${\mathcal{B}}_{\mathbb{R}}$ 上由 $X$ 導出的測度。由積分變換定理，
$$\mu (X\in B)={\int }_{X^{?1}(B)}\mu (d\omega )={\int }_B{F}_X(dx),?B\in \mathcal{E}.$$
$I$ 為恒等映射，則
$$EX={\int }_{\Omega }I°X(\omega )\mu (d\omega )={\int }_{\mathbb{R}}x{F}_X(dx),?B\in \mathcal{E}.$$
$g$ 為可測函數，則
$$E[g(X)]={\int }_{\Omega }g°X(\omega )\mu (d\omega )={\int }_{\mathbb{R}}g(x)F_X(dx),?B\in \mathcal{E}.$$

【從積分變換定理可以看出，隨機變量的意義是把概率空間轉化到實數上進行討論。對于概率空間可測集的積分并不能直接算得。引入隨機變量，而且這個隨機變量通常是Borel可測的。概率空間上的測度導出對Borel可測集的測度，也就是分布，那么對隨機變量的積分最后都化成了對實數上Borel可測集的積分】

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率与测度的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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