文章目錄

• 1、映射的概念
• 2、逆映射
• 3、復合映射

1、映射的概念

設X、Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對X中的每個元素x，按法則f，在Y中都有唯一確定的元素y與之對應，則稱f為從X到Y的映射。

記做
$$f:X\to Y$$

元素x稱為元素y（在映射f下）的一個原像,集合X稱為映射f的定義域；X中所有元素的像所組成的集合稱為映射f的值域。

定義域，記做$D_f$即$D_f$=X;值域，記做$R_f$或者$f(x)$,即
$$R_f=f(x)=\{f(x)|x\in X\}$$

注意事項：

構成映射的三要素：集合X，即定義域$D_f$=X;集合Y，即值域的范圍，$R_f?Y$;對應法則f,使得每個$x\in X$，有唯一確定的$y=f(x)$與之對應；

對每個$x\in X$，元素x的像y的唯一的；而對于每個$y\in R_f$，元素y的原像不一定是唯一的；映射f的值域$R_f$是集合Y的一個子集，即$R_f?Y$,$R_f$與Y不一定相等。

設f是從集合X到集合Y的映射，若值域R = Y，即Y中任意一元素y都是X中某個元素的像，則稱f為X到Y上的滿射;若對X中任意兩個不同的元素x1不等于x2,他們的像f(x1)也不等于f(x2),則稱映射f為從X到Y的單射；若映射f既是單射又是滿射，則稱映射f為一一映射。

2、逆映射

設f是X到Y的單射，有定義知，對每個$y\in R_f$,有唯一確定的$x\in X$，滿足$f(x)=y$。于是，我們可定義一個從$R_f$到X的新映射g，即
$$g:R_f\to X$$
對每個$y\in R_f$，規定$g(y)=x$ ，其中x滿足$f(x)=y$ 。這個映射g稱為f的逆映射，記作$f^{?1}$ ，其中定義域$D_{f^{?1}}=R_f$，值域$R_{f^{?1}}=X$

注意事項：

只有單射才有逆映射

3、復合映射

設有兩個映射
$$g:X\to Y1，f:Y2\to Z$$
其中$Y1?Y2$ ，則由映射g和f可以定義一個從X到Z的對應法則，它將每個$x\in X$，映射為$f[g(x)]\in Z$。這個對應法則，確定了一個從集合X到集合Z的映射，這個映射稱為映射g和映射f的符合映射，記做$f°g$，即
$$f°g:X\to Z，(f°g)(x)=f[g(x)],x\in X$$
結論：

映射f和g構成復合映射的前提：映射g的值域$R_g$必須包含在映射f的定義域$D_f$之內，即$R_g?D_f$。

映射g和f的復合是有順序的，$f°g$有意義并不表示$g°f$也有意思。

總結

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