$Kalman$濾波在船舶$GPS$導(dǎo)航定位系統(tǒng)中的應(yīng)用

全球定位系統(tǒng)$(GlobalPositioningSystem，GPS)$廣泛應(yīng)用于軍事和國際經(jīng)濟(jì)各領(lǐng)域。船舶$GPS$導(dǎo)航定位系統(tǒng)將一臺(tái)$GPS$接收機(jī)安裝在運(yùn)動(dòng)目標(biāo)(船舶)上就可以進(jìn)行導(dǎo)航定位計(jì)算。$GPS$接收機(jī)可以實(shí)時(shí)收到在軌的導(dǎo)航衛(wèi)星播發(fā)的信號(hào)，算出接受載體（船舶）的位置和速度。由于民用領(lǐng)域$GPS$導(dǎo)航衛(wèi)星播發(fā)的信號(hào)人為加入了高頻振蕩隨機(jī)干擾信號(hào)，致使所有派生的衛(wèi)星信號(hào)均產(chǎn)生高頻抖動(dòng)。為了提高定位精度，需要對$GPS$關(guān)于船舶的位置和速度的觀測信號(hào)進(jìn)行濾波。在$GPS$系統(tǒng)中人為加入的高頻隨機(jī)干擾信號(hào)可看成是$GPS$定位的觀測噪聲，觀測噪聲強(qiáng)度(方差)可由$GPS$觀測信號(hào)用系統(tǒng)辨識(shí)方法求得。

為將模型簡單化，假定船舶出港沿某直線方向航行。以港口碼頭的出發(fā)處為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)采樣時(shí)間為$T_0$，用$s(k)$表示船舶在采樣時(shí)刻$k{T}_0$處的真實(shí)位置，用$z(k)$表示在時(shí)刻$k{T}_0$處$GPS$定位的觀測值，則有觀測模型

$z(k)=s(k)+v(k)$

式中，$v(k)$表示$GPS$定位誤差(觀測噪聲)，假設(shè)它是零均值、方差為${\sigma }_v^2$的白噪聲，方差${\sigma }_v^2$以通過大量$GPS$觀測試驗(yàn)數(shù)據(jù)用統(tǒng)計(jì)方法獲取。記在時(shí)刻$k{T}_0$處船舶速度為$\dot{s}(k)$，加速度為$a(k)$，由勻加速運(yùn)動(dòng)公式有

$s(k+1)=s(k)+T_0\dot{s}(k)+0.5T_0^{2}a(k)$

$\dot{s}(k+1)=\dot{s}(k)+T_{0}a(k)$

而加速度$a(k)$由機(jī)動(dòng)加速度$u(k)$和隨機(jī)加速度$w(k)$兩部分合成，即

$a(k)=u(k)+w(k)$

式中，$u(k)$為船舶動(dòng)力系統(tǒng)的控制信號(hào)，它是人為輸出的已知機(jī)動(dòng)信號(hào)；$w(k)$是由海風(fēng)和海浪引起的隨機(jī)加速度，假設(shè)它是零均值、方差為的${\sigma }_w^2$獨(dú)立于$v(k)$的白噪聲。定義在采樣時(shí)刻$k{T}_0$處系統(tǒng)的狀態(tài)$x(k)$為船舶的位置和速度，即

$x(k)=\left[\begin{array}{c}s(k)\\ \dot{s}(k)\end{array}\right]$

可得到船舶運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)方程

$\left[\begin{array}{c}s(k+1)\\ \dot{s}(k+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& T_0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}s(k)\\ \dot{s}(k)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0.5T_0^2\\ T_0\end{array}\right]u(k)+\left[\begin{array}{c}0.5T_0^2\\ T_0\end{array}\right]w(k)$

觀測方程為

$z(k)=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}s(k)\\ \dot{s}(k)\end{array}\right]+v(k)$

即系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

$x(k+1)=\Phi x(k)+Bu(k)+\Gamma w(k)$

$z(k)=Hx(k)+v(k)$

式中

$\Phi =\left[\begin{array}{cc}1& T_0\\ 0& 1\end{array}\right],B=\Gamma =\left[\begin{array}{c}0.5T_0^2\\ T_0\end{array}\right],H=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]$

于是船舶$GPS$導(dǎo)航定位$Kalman$濾波問題是：基于$GPS$觀測數(shù)據(jù)$z(1)，z(2)，\dots ，z(k)$，得到船舶在$k$時(shí)刻的位置$s(k)$的最優(yōu)估計(jì)$\hat{s}(k|k)$。

在不考慮機(jī)動(dòng)目標(biāo)自身的動(dòng)力因素時(shí)$(u(k)=0)$，將勻速直線運(yùn)動(dòng)的船舶系統(tǒng)推廣到四維，即

$X(k)={\left[\begin{array}{cccc}x(k)& \dot{x}(k)& y(k)& \dot{y}(k)\end{array}\right]}^T$

狀態(tài)包含水平方向的位置速度和縱向的位置速度，則系統(tǒng)方程可以用下式表示

$?\begin{array}{c}x(k)\\ \dot{x}(k)\\ y(k)\\ \dot{y}(k)\end{array}?=?\begin{array}{cccc}1& T& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& T\\ 0& 0& 0& 1\end{array}??\begin{array}{c}x(k?1)\\ \dot{x}(k?1)\\ y(k?1)\\ \dot{y}(k?1)\end{array}?+?\begin{array}{cc}0.5T^2& 0\\ T& 0\\ 0& 0.5T^2\\ 0& T\end{array}?w_{2\times 1}(k)$

$Z(k)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]?\begin{array}{c}x(k)\\ \dot{x}(k)\\ y(k)\\ \dot{y}(k)\end{array}?+v_{2\times 1}(k)$

假定船舶在二維水平面上運(yùn)動(dòng)，初始位置為(-100m，200m)，水平運(yùn)動(dòng)速為2m/s，垂直方向的運(yùn)動(dòng)速度為20m/s，$GPS$接收機(jī)的掃描周期為$T=1s$，觀測噪聲的均值為0，方差為100。過程噪聲越小，目標(biāo)越接近勻速直線運(yùn)動(dòng)；反之，為曲線運(yùn)動(dòng)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Kalman滤波在船舶导航定位系统中的应用的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。