1、線性空間：設F是一個數域，X是一個非空集合，稱X是數域F上的線性空間，是指在X中定義了兩種運算（滿足封閉性，即運算結果仍然在集合X中）：加法+（滿足交換律、結合律）和標量乘法（滿足結合律、分配律）。 2、群：X按照加法+構成一個群，其零元用0表示。（X,+）或者（X,+,0） 3、線性映射：如果從線性空間X到同一個數域上的另一個線性空間U的映射M:X->U是一個代數同態，即M(x+y)=M(x)+M(y)；M(kx)=kM(x)，則稱M是從X到U內的線性映射； ? ? ? ? ?映射M在x上的作用是一種乘法：M(x)=Mx 4、線性映射的指標：若線性映射G的值域是有限維的，即dimRGB<wuxiongda；則稱G是退化的； ? ? ? ? ?退化映射在如下意義下構成一個理想： ? ? ? ? ? ? ?（4.1）兩個退化映射的和還是退化的； ? ? ? ? ? ? ?（4.2）在退化映射的左端或右端乘以任意線性映射所得到的映射仍是退化的，即若G是退化的，則當MG和NG有意義時，MG和NG都是退化的。 5、線性泛函：設l是數域F上的線性空間X到F的一個映射，如果對X中任意的x，y，l（x+y)=l（x）+l（y）；對任意的k屬于F，l（kx）=kl（x），則稱l是X上的一個線性泛函； 6、Hahn-Banach定理：設X是實線性空間，p是X上的一個實值函數且p滿足下列性質： ? ? ? ? ? ?（5.1）正齊性：對于X中的每個x，任意a>0，p（ax）=ap（x） ? ? ? ? ? ?（5.2）次可加性：對X中所有的x和y，p（x+y）<=p（x）+p（y）------三角不等式 ? ? ? ? ? ? ?設Y是X的線性子空間，l是Y上定義的受p控制的一個線性泛函：對Y中所有的y，l（y）<=p（y） ? ? ? 斷言：l可以延拓為X上的受p控制的線性泛函（仍記為l）：對X中所有的x，l（x）<=p（x） 7、Hahn-Banach定理的延拓：設X是一個實線性空間，A是由一簇互相交換的線性映射Av：X->X構成的集簇，即對A中任意兩個映射Av和Au，均有AvAu=AuAv ? ? ? ? ?設p是X上的一個實值的、正齊次的、次可加函數并且在每個Av作用下不變：p（Avx）=p（x） ? ? ? ? ?設Y是X的一個線性子空間，l是Y上的線性泛函且滿足下列3條性質： ? ? ? ? ? ?（7.1）l受p控制，即對Y中的每個y，l（y）<=p（y） ? ? ? ? ? ?（7.2）Y在每個映射Av下不變，即對Y中的y，Avy屬于Y ? ? ? ? ? ?（7.3）l在每個映射Av下不變，即對Y中的y，l（Avy）=l（y） ? ? ? ? 斷言：l可以延拓到整個X上使得l受p控制，且在每個映射Av下不變。 8、范數：設X是R或者C上的一個線性空間。X上的范數，記為|x|，是X->R的滿足正性、次可加性、齊性； ? ? ?度量：可以通過定義兩點間的距離d（x，y）=|x-y|，在X上引入一個度量； ? ? ?線性空間上具有平移不變性和齊性的度量： d（x+z，y+z）=d（x，y）；d（ax，ay）=|a|d（x，y） ? ? ?等價的范數誘導出相同的拓撲：假設在線性空間X上定義了兩個不同的范數|x|1和|x|2，如果存在常數c，使得對X中所有的x，c|x|1<=|x|2<=c^-1|x|1，則稱|x|1和|x|2是等價的 9、賦范線性空間：賦范線性空間X的線性子空間Y也是一個賦范線性空間；給定兩個線性空間Z和U，用直和Z+‘U={（z，u）：z屬于Z，u屬于U}表示他們的笛卡爾積。 ? ? ?Z+'U的范數可以定義為：|(z,u)|=|z|+|u|;?|(z,u)|'=max{|z|,|u|}；?|(z,u)|’‘=(|z|^2+|u|^2)^1/2 10、Banach空間是完備的賦范線性空間。 ? ? ? 度量空間完備化過程：每個度量空間S都可以嵌入到一個完備的度量空間S’中，S‘由S中的柯西列的等價類構成。S在S’中是稠密的，即S的閉包是S‘ ? ? ? 賦范線性空間X稱為可分的，如果它包含著一個可數的稠密的子集，即閉包是整個空間X的點集。 ? ? ? 設X是一個有嚴格次可加范數的實線性空間，若M是X到自身的把0映為0的等距，則M是線性的。 11、內積空間：設X是實數域R上的線性空間，若X上的關于x和y的實值函數（x，y）滿足如下性質： ? ? ? ? ? （11.1）雙線性：固定y，（x，y）是x的線性函數，固定x，（x，y）是y的線性函數 ? ? ? ? ? （11.2）對稱性：（x，y）=（y，x） ? ? ? ? ? （11.3）正性：對x=!0,（x，x）>0 ? ? ? ? 則稱（x，y）是X上的一個內積，稱X是一個內積空間。（當數域為C時，1和2變成半雙線性，斜對稱性） ? ? ? ? 對于在X上定義的一個內積，我們可以定義||x||=(x,x)^1/2；我們斷定||.||是一個范數（正性、齊性、次可加性-Schwartz不等式|(x,y)|<=||x||||y||）。 ? ? ? ? 如果（x，y）=0，則稱x和y是正交的 12、Hilbert空間：關于由內積誘導出來的范數是完備的內積空間稱為是一個Hilbert空間。 ? ? ? ? 給定一個內積空間，它可以關于由內積誘導出來的范數完備話。 ? ? ? ?由Schwartz不等式可知，內積是其因子的連續函數，因此它可以延拓到完備化的空間上，故完備化后的空間是一個Hilbert空間。 13、閉凸集中的最佳逼近點：設K是Hilbert空間H中的一個非空凸子集，x屬于H，則在K中存在唯一一點y，使得y到x的距離比K中其他點到x的距離近。 ? ? ? ?設Y是Hilbert空間H的一個線性子空間，所有與Y正交的向量（即滿足（v，y）=0（任意y屬于Y）的向量v）構成的集合稱為Y的正交補，記為Y’ ? ? ? ?設H是一個Hilbert空間，Y是H上的閉子空間，Y‘是Y的正交補，則： ? ? ? ?（13.1）Y’是H的閉線性子空間 ? ? ? ?（13.2）Y和Y‘是互補的子空間，即每個x可以唯一的分解為Y中的向量和Y’中的向量的和 ? ? ? ?（13.3）（Y‘）’=Y 14、有界線性泛函：設l(x)是Hilbert空間H上的一個有界線性泛函，即存在常數c，使得對任意x屬于H，|l(x)|<=x||x||， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?則存在唯一的y屬于H，使得任意x屬于H，l(x）=（x，y） 15、線性張：點集S={yj}的線性張是包含S的最小的線性子空間。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在Hilbert中間H中，點集S的閉線性張定義為包含S的最小的閉線性子空間，即包含S的所有閉線性子空間的交。 ? ? ? ?Hilbert空間H中的點y屬于集合{yj}的閉線性張Y，當且僅當與所有yj正交的向量z也和y正交：任意j,(yj,z)=0 =>任意Z,(y,z)=0 ? ? ? ?標準正交基：若內積空間X中的一簇向量{xj}滿足：對j=！k，（xj，xk）=0，且對所有的j，||xj||=1,則稱{xj}是X的一個標準正交基 ? ? ? ?每個Hilbert空間都包含一個標準正交基

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Hilbert学习笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。