量化投資 — 技術(shù)篇 (2)

APT（Arbitrage Pricing Theory）

一. 簡(jiǎn)介

????APT理論即套利定價(jià)模型是由經(jīng)濟(jì)學(xué)家Stephen Ross在1976年推出的。該理論給出了金融資產(chǎn)的收益可以表示為多個(gè)因子或市場(chǎng)指數(shù)的線性函數(shù)，而對(duì)每個(gè)因子的敏感度由該因子獨(dú)有的beta系數(shù)所決定。由模型導(dǎo)出的資產(chǎn)收益率可以用來(lái)對(duì)該資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)，如果價(jià)格偏離，套利會(huì)使其回歸真實(shí)價(jià)格，這就是套利定價(jià)模型的由來(lái)。

APT的核心思想如下：- APT是對(duì)期望收益建模- APT為期望收益和因子之間建立了關(guān)系- APT的因子建立有很多維度，可能是基本面、技術(shù)指標(biāo)、宏觀因子等- APT的假設(shè)要弱于CAPM理論

二. 定義

符號(hào)定義：
????$R_n$ ???? 某資產(chǎn)$n$的收益
????$X_{n,k}$ 某資產(chǎn)$n$在因子$k$上的暴露程度，又稱(chēng)為factor loadings
????$b_k$ ???? 因子$k$的因子收益(factor return)
????$u_n$ ???? 代表某資產(chǎn)$n$的特定收益(specific return)，與因子無(wú)關(guān)
????$m_k$ ????是對(duì)因子$k$的預(yù)期收益
APT 公式形式如下：
$$R_n=\sum _{k=1}^K{X}_{n,k}?b_k+u_n$$ （3.1）
期望收益為：
$$E\{R_n\}=\sum _{k=1}^K{X}_{n,k}?m_k$$ （3.2）

????APT模型表明某個(gè)資產(chǎn)或者投資組合的收益可以認(rèn)為是多個(gè)因子的加權(quán)收益之和再加上該資產(chǎn)的特定收益；同時(shí)其預(yù)期收益則等于各個(gè)因子暴露度乘以對(duì)應(yīng)因子的預(yù)期收益的和。

三. 詳解

????Arbitrage Pricing Theory中的Arbitrage即套利意味著：在無(wú)任何風(fēng)險(xiǎn)的情況下獲得確定的收益。在APT中我們可以這樣理解：假設(shè)投資組合的收益滿足式（3.1），但不滿足式（3.2），那么我們就可以找到主動(dòng)倉(cāng)位使投資組合對(duì)所有因子暴露度為0，且有正收益。所有因子暴露度為0，也就意味這風(fēng)險(xiǎn)幾乎為0，那么就可以進(jìn)行無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利。但從金融理論中，我們知道長(zhǎng)期來(lái)說(shuō)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利是不存在的，所以公式（3.2）也必須滿足。

????APT給出了理論框架，但是并沒(méi)有說(shuō)該如何找到因子和實(shí)現(xiàn)該模型。經(jīng)驗(yàn)上看，任何一個(gè)因子模型如果可以很好地解釋一個(gè)多元化地投資組合的風(fēng)險(xiǎn)可以被認(rèn)為是一個(gè)合格的APT模型實(shí)現(xiàn)。

????我們可以把CAPM理論看成是APT的一種特殊形式，SML就代表著資產(chǎn)價(jià)格的單因子模型。由于APT并沒(méi)有給出因子是什么以及如何驗(yàn)證，所以實(shí)現(xiàn)者需要自己去尋找因子。經(jīng)驗(yàn)上一般是會(huì)用到3~5個(gè)因子，而且APT并沒(méi)有表現(xiàn)的比CAPM強(qiáng)。
一般公認(rèn)的實(shí)現(xiàn)中都會(huì)遵循以下原則來(lái)尋找因子：

該因子的非預(yù)期變動(dòng)影響資產(chǎn)價(jià)格

不可分散性

具有準(zhǔn)確信息變量形式

其關(guān)系在經(jīng)濟(jì)學(xué)上是可解釋的

????例如，上世紀(jì)90年代時(shí)，APT模型的先驅(qū)者們?cè)?jīng)發(fā)現(xiàn)采用通貨膨脹、GNP、企業(yè)債變化和收益曲線偏移來(lái)作為因子。宏觀經(jīng)濟(jì)因子采用短期利率、長(zhǎng)短期利率差、油價(jià)、貴金屬和匯率等。

四. Fama-French 3 Factor Model

最后我們簡(jiǎn)要介紹一下著名的Fama-French三因子模型，其三個(gè)因子分別為：

• 市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)
• 小公司相比于大公司的超額收益
• 高book/market的公司相比于低book/market公司的超額收益 (book/market即公司賬面價(jià)值與市場(chǎng)價(jià)值的比)
  ????回歸公式如下：
  $R=R_f+\beta (R_m?R_f)+b_s?SMB+b_v?HML+\alpha$ ???? (3.3)
  ???? 其中$SMB=Small[marketcapitalization]?Big$
  $HML=High[book?to?marketratio]?Low$
  ???? $b_s，b_v$分別是SMB和HML的因子負(fù)載。這兩個(gè)因子實(shí)際上是衡量大市值與小市值比較和價(jià)值與成長(zhǎng)比較。
  ????有些學(xué)者曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)這個(gè)模型可以解釋一個(gè)分散投資組合的90%的波動(dòng)性，而CAPM智能解釋70%。還有學(xué)者認(rèn)為Fama-French三因子模型是因國(guó)家和地域而異的，本地化的因子要優(yōu)于全球因子。
  ???? 值得一提的是這個(gè)因子模型有兩個(gè)比較有名的變種，
  ???? 第一個(gè)是在2015年Fama和French擴(kuò)展了三因子模型，增加了收益性因子和投入性因子，分別為RMW和CMA。RMW是高盈利減去低盈利，CMA是高投入減去低投入。
  第二個(gè)是Carhart四因子模型，這個(gè)模型在三因子的基礎(chǔ)上增加了動(dòng)量因子(MOM)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的量化投资 --- 技术篇 (2) 套利定价理论的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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