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岡薩雷斯版里面的解釋非常形象：一個恰當(dāng)?shù)谋扔魇菍⒏道锶~變換比作62616964757a686964616fe58685e5aeb931333361303635一個玻璃棱鏡。棱鏡是可以將光分解為不同顏色的物理儀器，每個成分的顏色由波長(或頻率)來決定。傅里葉變換可以看作是數(shù)學(xué)上的棱鏡，將函數(shù)基于頻率分解為不同的成分。當(dāng)考慮光時,討論它的光譜或頻率譜。同樣, 傅立葉變換能通過頻率成分來分析一個函數(shù)。

Fourier theory講的就是：任何信號(如圖像信號)都可以表示成一系列正弦信號的疊加，在圖像領(lǐng)域就是將圖像brightness variation 作為正弦變量。比如下圖的正弦模式可在單傅里葉中由三個分量編碼：頻率f、幅值A(chǔ)、相位γ?這三個value可以描述正弦圖像中的所有信息。

1.frequency

frequency在空間域上可由亮度調(diào)節(jié)，例如左圖的frequency比右圖的frequency低……

2.幅值magnitude(amplitude)

sin函數(shù)的幅值用于描述對比度，或者說是圖像中最明和最暗的峰值之間的差。(一個負(fù)幅值表示一個對比逆轉(zhuǎn)，即明暗交換。)

3.相位表示相對于原始波形，這個波形的偏移量(左or右)。

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一個傅里葉變換編碼是一系列正弦曲線的編碼，他們的頻率從0開始(即沒有調(diào)整，相位為0，平均亮度處)，到尼奎斯特頻率(即數(shù)字圖像中可被編碼的最高頻率，它和像素大小、resolution有關(guān))。傅里葉變換同時將圖像中所有頻率進(jìn)行編碼：一個只包含一個頻率f1的信號在頻譜上橫坐標(biāo)f為f1的點處繪制一個單峰值，峰值高度等于對應(yīng)的振幅amplitude，或者正弦曲線信號的高度。如下圖所示。

DC term直流信號對應(yīng)于頻率為0的點，表示整幅圖像的平均亮度，如果直流信號DC=0就表示整幅圖像平均亮度的像素點個數(shù)=0，可推出灰度圖中，正弦曲線在正負(fù)值之間交替變化，但是由于灰度圖中沒有負(fù)值，所以所有的真實圖像都有一個正的DC term，如上圖所示。

出于某些數(shù)學(xué)分析原因，經(jīng)常把傅里葉變換用mirror-image表示，在原點的的兩端，frequency都是增加的方向，具有相同的幅值。

上面講的都是一維信號，一個二維傅里葉變換是一維傅里葉變換在每一個行掃描線和列掃描線上的傅里葉變換的疊加。

傅里葉譜圖上的每一個像素點都代表一個頻率值，幅值由像素點亮度變碼而得。最中心的亮點是指直流分量，傅里葉譜圖中越亮的點，對應(yīng)于灰度圖中對比越強烈(對比度越大)的點。

由于每一列掃描線上沒有變化，所以相應(yīng)的fourier spectrum上行向量為0, 每一行掃描線上有contrast，所以有頻率幅值。

這里頻率比上面的小，相應(yīng)的亮點比上副圖也集中。

圖像傅立葉變換的物理意義

傅里葉提出任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦和/或余弦和的形式，每個正弦和/或余弦乘以不同的系數(shù)(傅里葉級數(shù))。圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度.在噪聲點和圖像邊緣處的頻率為高頻。

傅立葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設(shè)f是一個能量有限的模擬信號，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù).

傅立葉變換以前，圖像(未壓縮的位圖)是由對在連續(xù)空間(現(xiàn)實空間)上的采樣得到一系列點的集合，習(xí)慣用一個二維矩陣表示空間上各點，則圖像可由z=f(x,y)來表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關(guān)系就由梯度來表示，這樣可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應(yīng)關(guān)系。為什么要提梯度？因為實際上對圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當(dāng)然頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一對應(yīng)的關(guān)系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小(可以這么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反)。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點數(shù)更多，那么實際圖像是比較柔和的(因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小)，反之，如果頻譜圖中亮的點數(shù)多，那么實際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對頻譜移頻到原點以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心，對稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點為中心，對稱分布的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產(chǎn)生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾.

圖像是兩個參數(shù)的函數(shù)，通過一組正交函數(shù)的線性組合可以將其分解，而傅里葉就是通過諧波函數(shù)來分解的。而對于離散傅里葉變換，傅里葉變換的條件是存在的。

傅里葉變換進(jìn)行圖像處理有幾個特點

1. 直流成分F(0,0)等于圖像的平均值；

2. 能量頻譜|F(u,v)|^2完全對稱于原點；其中F=PfQ, f表示原圖，P和Q都是對稱的實正交矩陣，這個公式表示傅里葉變換就是個正交矩陣的正交變換

3.圖像f平移(a,b)后，F只有exp[-2pij(au/M+bv/M)]的相位變化，能量頻譜不發(fā)生變化。

4. 圖像f自乘平均等于能量頻譜的總和，f的分散等于能量頻譜中除直流成分后的總和。

5.圖像f(x,y)和g(x,y)的卷積h(x,y)=f(x,y)*g(x,y)的傅里葉變換H(u，v)等于f(x,y)和g(x,y)各自的傅里葉變換的乘積。

圖像中的每個點通過傅里葉變換都成了諧波函數(shù)的組合，也就有了頻率，這個頻率則是在這一點上所有產(chǎn)生這個灰度的頻率之和，也就是說傅里葉變換可以將這些頻率分開來。當(dāng)想除去圖像背景時，只要去掉背景的頻率就可以了。

在進(jìn)行傅里葉變換時，實際上在某一特定的頻率下，計算每個圖像位置上的乘積。就是f(x,y)exp[-j2pi(ux+vy)]，然后計算下一個頻率。這樣就得到了頻率函數(shù)。

也就是說，看到傅里葉變換的每一項(對每對頻率u,v，F(u，v)的值)是由f(x)函數(shù)所有值的和組成。f(x)的值與各種頻率的正弦值和余弦值相乘。因此，頻率u, v決定了變換的頻率成分(x, y也作用于頻率，但是它們相加，對頻率有相同的貢獻(xiàn))。

通常在進(jìn)行傅里葉變換之前用(-1)^(x+y)乘以輸入的圖像函數(shù)，這樣就可以將傅里葉變換的原點F(0,0)移到(M/2,N/2)上。

每個F(u,v)項包含了被指數(shù)修正的f(x,y)的所有值，因而一般不可能建立圖像特定分量和其變換之間的聯(lián)系。然而，一般文獻(xiàn)通常會有關(guān)于傅里葉變換的頻率分量和圖像空間特征之間聯(lián)系的闡述。變換最慢的頻率成分(u=v=0)對應(yīng)一幅圖像的平均灰度級。當(dāng)從變換的原點移開時，低頻對應(yīng)著圖像的慢變換分量，較高的頻率開始對應(yīng)圖像中變化越來越快的灰度級。這些事物體的邊緣和由灰度級的突發(fā)改變(如噪聲)標(biāo)志的圖像成分。

在頻率域中的濾波基礎(chǔ)

1. (-1)^(x+y)乘以輸入圖像來進(jìn)行中心變換

2. 由(1)計算圖像的DFT， 即F(u,v)

3. 用濾波器函數(shù)H(u,v)乘以F(u,v)

4. 計算(3)中的結(jié)果的反DFT

5. 得到(4)中的結(jié)果的實部

6. 用(-1)^(x+y)乘以(5)中的結(jié)果

另外說明以下幾點：

1、圖像經(jīng)過二維傅立葉變換后，其變換系數(shù)矩陣表明：

若變換矩陣Fn原點設(shè)在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近(圖中陰影區(qū))。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點設(shè)在左上角，那么圖像信號能量將集中在系數(shù)矩陣的四個角上。這是由二維傅立葉變換本身性質(zhì)決定的。同時也表明一幅圖像能量集中低頻區(qū)域。

2 、變換之后的圖像在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大(幅角比較大)

總結(jié)

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