騰訊、阿里面試題: 了解B+樹嗎？

由于MySQL的索引結構是B+樹，所以B+樹是大廠的高頻面試題,想理解B+樹，最好先理解B樹，下面詳細介紹B樹、B+樹

B樹

• B樹的概念

  B樹又稱為B-樹，是一種平衡多路查找樹，描述B樹，一般需要指定其階數$M$,階數指的是一個節點包含的子節點最大數量。當$M$取2的時候，就是常見的二叉樹

  其有如下性質：

  • 每個節點最多有$M?1$個關鍵字
  • 除根節點外，其余的節點至少有$ceil(M/2)?1$個關鍵字（$ceil$向上取整函數)
  • 每個結點中的關鍵字都按照從小到大的順序排列，每個關鍵字的左子樹中的所有關鍵字都小于它，而右子樹中的所有關鍵字都大于它
  • 所有葉子結點都位于同一層，或者說根結點到每個葉子結點的長度都相同。

• B樹的插入操作

  如下描述是B樹的插入算法，相對來說比較簡單

• 找到關鍵字的插入位置，一定是葉節點位置，進行插入操作

• 插入后，如果當前節點的關鍵字數量小于等于$M?1$，則結束，否則執行步驟3

• 進行分裂操作，當前節點按中間關鍵字分裂成三部分，中間關鍵字插入到父節點中，

左邊部分，成為中間關鍵字的左節點，右邊部分成為中間關鍵字的右節點，然后

當前節點指向父節點，轉到2，執行遞歸操作。

下面是一個5階B樹的分裂過程，上面圖是分裂前，下面圖是分裂后

• B樹的構建過程

  下面以構建一個5階樹，介紹B樹的構建過程。

  • 依次插入關鍵字3，5， 2， 6

  • 插入4的時候，由于當前節點關鍵字數量等于M(5),需要進行分裂操作

  • 依次插入關鍵字1，8，7，9插入9的時候又進行了分裂

  • 依次插入關鍵字10，11，12插入12的時候又進行了分裂過程

  • 插入關鍵字13,14,15,16,17,中間插入15的時候進行了分裂操作

  • 最后插入18，進行了兩次分裂操作

    其實插入的過程會發現，順序插入空間效率最差，比如[11,12]節點,就插入不了任何元素.

• B樹的刪除過程

  B樹的刪除算法較為復雜，下面首先介紹算法，之后結合實例，闡述

• 查找關鍵字，如果不存在，結束，否則進入步驟2.
• 如果關鍵字處于葉節點，直接刪除。如果關鍵字處于非葉子節點，則用其前繼關鍵字(前繼關鍵字一定位于葉節點)覆蓋要刪除的關鍵字，之后刪除后繼關鍵字，將當前節點指向包含后繼關鍵字的節點。以上兩種情況，均最后轉入步驟3
• 如果當前節點關鍵字數量大于等于$ceil(M/2)?1$,則結束，否則轉入4
• 如果兄弟節點(不論左兄弟，還是右兄弟)，關鍵字數量大于$ceil(M/2)?1$,則父節點中對應的關鍵字下移到當前節點，兄弟節點對應的關鍵字上移到父節點，結束。若無兄弟節點關鍵字數量大于$ceil(M/2)?1$,則轉入步驟5
• 合并操作，將父結點中關鍵字下移與當前結點及它的兄弟結點中的官架子合并，形成一個新的結點。原父結點中的key的兩個孩子指針就變成了一個孩子指針，指向這個新結點。當前節點指向父節點，重復2，進行遞歸操作。

下面是一個5階數的刪除過程實例

原B樹如下圖所示


• 刪除關鍵字7

  其前繼關鍵字(類似于平衡二叉樹的前繼節點,其實也可以為后繼節點)為6,覆蓋刪除后,當前節點只有一個關鍵字5,而其左兄弟節點有3個關鍵字節點大于2.所以3上移,4下移到當前節點.

• 刪除關鍵字18

  刪除關鍵字18,其實是一個復雜的過程,刪除完之后,沒有兄弟節點關鍵字數量大于2,所以進行合并操作左兄弟節點[14,15],父節點中的16,和當前節點合并成一個新節點[14,15,16,17],合并后父節點由于只剩13,所有又要與其父節點關鍵字,左兄弟節點合并,構造一個新的節點,最后結果如下

• B樹的優缺點

  B樹主要的優點是相對于二叉樹,每個節點包括更多的關鍵字,所以其樹高相對較低,查找效率很高.

Ｂ+樹

• B+樹的概念

  • B+樹包含兩種節點，一種是非葉子節點(索引節點)，一種是葉子節點。
  • B+樹與B樹，最大的不同是B+樹的非葉子節點不保存數據，只用于索引，所有數據都保存在葉子節點
  • 非葉子節點最多有$M?1$個關鍵字，階數$M$同時限制了葉子結點最多存儲$M?1$個記錄。
  • 索引節點中的key都按照從小到大的順序排列，對于內部結點中的一個key，左樹中的所有key都小于它，右子樹中的key都大于等于它。葉子結點中的記錄也按照key的大小排列。
  • 每個葉子節點都存有相鄰葉子節點的指針，葉子節點本身依關鍵字的大小自小而大順序鏈接（范圍查找特性）

• B+樹插入

  • B+樹插入算法

  • 通過查找，確定關鍵字的插入位置，插入位置一定位于葉節點，插入后，如果當前

    節點關鍵字數量小于等于$M?1$,算法結束，否則轉入步驟2.

  • 分裂過程，將當前節點，分為左右兩個葉子節點，左葉子節點包含前$M/2$個記錄，

    右葉子節點包含剩余記錄，并且將第$M/2+1$個記錄的關鍵字上移到父節點。當前節點指針指向父節點，然后執行步驟3.(父節點一定是索引節點)

  • 如果當前節點的關鍵字數量小于$M$,則插入結束，否則，將當前索引節點以中間關鍵字為中心分裂成兩個索引節點，左索引節點和右索引節點，并將中間關鍵字上移到父節點中。并且其左節點為上面提到的左索引節點,其右節點為右索引節點。將當前節點指針指向父節點，重復步驟3

  • B+樹插入實例

    如下是一個5階B+數的構造過程

    • 依次插入1、5、9、13

    • 插入17的時候，發生分裂過程

    • 依次插入2、3、4，插入4的時候，發生分裂過程

    • 依次插入10，11，插入11的時候，發生分裂過程

    • 插入12，14，插入14的時候，發生分裂過程

    • 插入15，16，插入16的時候，發生兩次分裂過程，依次在葉節點，和索引節點

• B+樹刪除

  • B+樹刪除算法

  • 找到目標關鍵字所在的葉節點位置，進行刪除，若刪除后，當前節點關鍵字數量大于

    等于$ceil(M/2)?1$，結束，否則轉到步驟2

  • 若兄弟節點有富余(大于$ceil(M/2)?1$)，向兄弟借一個記錄，同時用借到的key替換父節點中對應的關鍵字，結束。否則轉到步驟3

  • 若兄弟節點沒有富余,則當前節點和兄弟節點合并成一個新的節點，刪除父節點的關鍵字，新節點指向父節點相應的位置。執行步驟4

  • 若索引節點的關鍵字個數大于等于$ceil(M/2)?1$，則結束，否則執行5

  • 若兄弟結點有富余，父結點key下移，兄弟結點key上移，刪除結束。否則執行第6步

  • 當前結點和兄弟結點及父結點下移key合并成一個新的結點。將當前結點指向父結點，重復第4步

  4，5，6步類似B樹的刪除過程

  • B+樹刪除算法實例

    原來的一個5階樹

    • 刪除10

      左兄弟節點有富余，借一個記錄5，并且替換父節點中的關鍵字

    • 刪除11

      刪除11這個過程非常復雜，首先沒有兄弟節點有富余，所以當前節點和兄弟節點合，并且刪除掉父節點中對應的關鍵字，也就是13。之后由于父節點只有15一個關鍵字，需要一次索引節點的合并過程

      每次刪除的時候，記得更新索引結構，即將索引結構中的要刪除的關鍵字，替換成其后繼節點

• B+樹的優點

  1、B+樹的層級更少：相較于B樹B+每個非葉子節點存儲的關鍵字數更多，樹的層級更少所以查詢數據更快；

  2、B+樹查詢速度更穩定：B+所有關鍵字數據地址都存在葉子節點上，所以每次查找的次數都相同所以查詢速度要比B樹更穩定;

  3、B+樹天然具備排序功能：B+樹所有的葉子節點數據構成了一個有序鏈表，在查詢大小區間的數據時候更方便，數據緊密性很高，緩存的命中率也會比B樹高。

  4、B+樹全節點遍歷更快：B+樹遍歷整棵樹只需要遍歷所有的葉子節點即可，，而不需要像B樹一樣需要對每一層進行遍歷，這有利于數據庫做全表掃描。

  B樹相對于B+樹的優點是，如果經常訪問的數據離根節點很近，而B樹的非葉子節點本身存有關鍵字其數據的地址，所以這種數據檢索的時候會要比B+樹快。

參考文章

B樹和B+樹的插入、刪除圖文詳解
平衡二叉樹、B樹、B+樹、B*樹 理解其中一種你就都明白了

總結

以上是生活随笔為你收集整理的腾讯、阿里面试题 了解B+树吗？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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