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上一篇我們學(xué)習(xí)了一些數(shù)學(xué)知識，包括矩陣，這一篇我們重點(diǎn)講矩陣的幾何意義：空間變換。

1、變換

變換（transform），指的是我們把一些數(shù)據(jù)，如點(diǎn)、方向矢量、甚至是顏色等，通過某種方式進(jìn)行轉(zhuǎn)換的過程。

1）線性變換和仿射變換

能滿足下面公式的變換就是線性變換：

縮放和旋轉(zhuǎn)都是線性變換，對于線性變換，一個3x3的矩陣就可以表示對一個三維矢量的線性變換。

平移不是線性變換，比如 f(x) = x + (1, 2, 3)，如果我們令x = (1, 1, 1)，那么

f(x) + f(x) = (4, 6, 8) ? ? ?f(x + x) = (3, 4, 5)

顯然不符合上面的公式，所以不能用3x3的矩陣表示一個平移變換，那怎么辦，所以有了仿射變換。仿射變換就是合并線性變換和平移變換的變換類型。仿射變換用一個4x4的矩陣來表示，為此，需要把矢量擴(kuò)展到四維空間，這就是齊次坐標(biāo)空間。

2）齊次坐標(biāo)

3x3的矩陣不能表示平移操作，我們擴(kuò)展到了4x4的矩陣。為此，我們還需要把原來的三維矢量換成四維矢量，這個四維矢量就是齊次坐標(biāo)。那如何把三維矢量轉(zhuǎn)換成齊次坐標(biāo)呢，很簡單，對于點(diǎn)，把w分量也就是第四維設(shè)為1，對于方向矢量，w分量設(shè)為0。也就是對于一個點(diǎn)，我們用4x4矩陣對其平移、旋轉(zhuǎn)、縮放都可以。但對于方向矢量，平移效果沒用，因?yàn)榉较蚴噶课覀冎魂P(guān)心其方向和大小，位置沒有意義。

3）幾種基礎(chǔ)變換矩陣

a、平移矩陣

從上面可以看出我們用的是齊次坐標(biāo)表示法，把點(diǎn)(x, y, z)在空間中平移了個單位。

平移矩陣的逆矩陣就是反向平移得到的矩陣，即：

可以看出，平移矩陣不是正交矩陣。

b、縮放矩陣

如果三個縮放系數(shù)k都相等，我們稱為統(tǒng)一縮放，否則是非統(tǒng)一縮放，因?yàn)榉墙y(tǒng)一縮放會拉伸或擠壓模型，所以會改變與模型相關(guān)的角度和比例，這在法線變換時很重要，如果非統(tǒng)一變換，直接使用變換頂點(diǎn)的變換矩陣就會出錯。

縮放矩陣的逆矩陣很容易求解：

可以看出不是正交矩陣。

c、旋轉(zhuǎn)矩陣

這里的旋轉(zhuǎn)是圍繞空間的x，y，z軸旋轉(zhuǎn)。

繞x，y，z軸旋轉(zhuǎn)的矩陣分別是：

??? ?

旋轉(zhuǎn)矩陣的逆矩陣是旋轉(zhuǎn)相反角度得到的變換矩陣，你可以試試把上面的用-代替求出的矩陣就是其逆矩陣，然后你會驚奇的發(fā)現(xiàn)和其轉(zhuǎn)置矩陣一樣，所以旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣。

d、復(fù)合變換

我們可以把平移、旋轉(zhuǎn)和縮放組合起來，形成一個復(fù)雜的變換過程。這個過程可以用下面公式計(jì)算：

還記得上一篇最后我們說過我們會采取列矩陣的方式，從右往左逐一變換，即按照縮放，旋轉(zhuǎn)，平移的順序。注意矩陣乘法是不滿足交換律的，所以變換順序很重要，不同的順序結(jié)果會不一樣。在大多數(shù)情況下，我們采取上面的順序。原因自行看書吧，這里不解釋。

還有個要注意的是旋轉(zhuǎn)的變換順序。如果要同時繞三個軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，在Unity中，這個旋轉(zhuǎn)順序是zxy，這意味著組合旋轉(zhuǎn)變換矩陣是：

這里要注意一點(diǎn)，這里的旋轉(zhuǎn)過程中我們的坐標(biāo)軸不變，不是那種旋轉(zhuǎn)一個軸后由于自身方向的改變再按新的坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)的順序。

2、坐標(biāo)空間

通過上一篇和上面有關(guān)矩陣變換的相關(guān)知識的學(xué)習(xí)，到現(xiàn)在我們終于進(jìn)入我們的核心主題了，所有的這一切都是為了坐標(biāo)空間。

1）坐標(biāo)空間的變換

在渲染流水線中，我們往往需要把一個點(diǎn)或方向矢量從一個坐標(biāo)空間轉(zhuǎn)換到另一個坐標(biāo)空間。而定義一個坐標(biāo)空間，需要指明原點(diǎn)和3個坐標(biāo)軸方向。而這些數(shù)值實(shí)際上是相對另一個坐標(biāo)空間的。舉個例子，我現(xiàn)在坐在屋子的東南角，這是以屋子中心為原點(diǎn)，方位朝向?yàn)樽鴺?biāo)軸的。但我的屋子在大樓的四層西北方向，那如何以大樓為空間描述我的位置呢。所以坐標(biāo)空間會有一個層次結(jié)構(gòu)，每個空間都有一個父空間。對坐標(biāo)空間的變換實(shí)際上就是在父空間和子空間之間對點(diǎn)和矢量進(jìn)行變換。

假設(shè)有父空間P和子空間C，我們往往需要把子空間下的點(diǎn)或矢量轉(zhuǎn)換到父空間下表示的，或者反過來，把父空間的點(diǎn)或矢量轉(zhuǎn)換到子空間下的，可以使用下面公式表示這兩種需求：

其中表示從子空間變換到父空間的變換矩陣，是其逆矩陣。那么如何求解這些變換矩陣呢，當(dāng)然，只要求解其一就可，另一個為它的逆矩陣。我們來求。

假如我們已知子空間C的3個坐標(biāo)軸在父空間P下表示為，以及原點(diǎn)，當(dāng)給定一個子空間下的坐標(biāo)?= (a, b, c)，我們求其在父空間的坐標(biāo)，我們可以得到公式：

原理很好解釋，我們從出發(fā)，沿x走了a，沿y走了b，沿z走了c，就得到了其在父空間的坐標(biāo)。

下面就是見證奇跡的時刻了：

最后分別代表他們所在的列，這個公式還存在著加法表達(dá)式，即平移變換，還記得平移變換的矩陣表達(dá)式吧，3x3的矩陣無法表示平移變換，我們先把他們轉(zhuǎn)換到齊次坐標(biāo)空間。

第一行到第二行的轉(zhuǎn)變就是平移矩陣的表示方法，所以我們得出了最終結(jié)論：

好了，從這個里面我們可以得到相當(dāng)大的信息量。

首先有了，就是它的逆矩陣；

其次，如果我們知道了這個轉(zhuǎn)換矩陣，那么提取它的前三列就是子空間在父空間下的坐標(biāo)軸，第四列就是原點(diǎn)。

再次，在對方向矢量的空間變換中，我們不關(guān)心其位置所在，所以原點(diǎn)沒有意義，三維表達(dá)式就夠了，所以方向矢量的變換矩陣為：

最后，如果這個轉(zhuǎn)換矩陣是正交矩陣的話，那么其逆就是其轉(zhuǎn)置，那么它的行列分別可以表示其在父子空間的坐標(biāo)軸了，非常方便。

2）頂點(diǎn)坐標(biāo)空間變換過程

下面我們要說說，在渲染流水線中，頂點(diǎn)在各個空間的變換過程。

a、模型空間 (model space)

也叫對象空間(object space)或局部空間(local space)。每個模型都有自己獨(dú)立的坐標(biāo)空間，當(dāng)它移動或旋轉(zhuǎn)時，模型空間也會跟著移動和旋轉(zhuǎn)。在模型空間中，我們常使用一些方向概念，例如“前（forward）”、“后（back）”、“左（left）”、“右（right）”、“上（up）”、“下（down）”。Unity在模型空間使用的是左手坐標(biāo)系，所以+x、+y、+z軸分別對應(yīng)模型的右、上、前。而模型的右上前是由我們的美工人員制作模型時定好的。

b、世界空間（world space）

相對于模型空間，世界空間是模型所在的最外層的父空間。Unity中，世界空間同樣是左手坐標(biāo)系，原點(diǎn)是游戲空間的中心，x、y、z軸固定不變。頂點(diǎn)變換的第一步，是將頂點(diǎn)從模型空間變換到世界空間。這個變換叫模型變換（model transform）。在Unity中，我們看到模型的Transform組件里的位置旋轉(zhuǎn)和縮放，都是基于它的父節(jié)點(diǎn)（parent）的，當(dāng)模型沒有父節(jié)點(diǎn)時，那這個Transform就是基于世界空間的。變換過程用下面的公式就可：

有關(guān)平移旋轉(zhuǎn)縮放的矩陣上面都介紹過了，把Transform組件的信息代入進(jìn)去就可求得，這里不多介紹。

c、觀察空間（view space）

觀察空間也被稱為攝像機(jī)空間，在觀察空間中，攝像機(jī)位于原點(diǎn)，它決定了我們渲染游戲所使用的視角。前面說過，觀察空間采用的是右手坐標(biāo)系，所以+z軸指的是攝像機(jī)后方。頂點(diǎn)變化的第二步，就是將頂點(diǎn)坐標(biāo)從世界空間變換到觀察空間中。這個變換叫觀察變換（view transform）。

為了得到頂點(diǎn)在觀察空間的位置，我們可以有兩種方法。

一種方法是計(jì)算觀察空間的三個坐標(biāo)軸在世界空間的表示，然后按照上面“1）坐標(biāo)空間的變換”的方法算出觀察空間到世界空間的變換矩陣，再求逆得住世界空間到觀察空間的變換矩陣。

第二種方法是平移整個觀察空間，讓攝像機(jī)原點(diǎn)位于世界空間原點(diǎn)，坐標(biāo)軸與世界空間坐標(biāo)軸重合。兩種方法得到的變換矩陣是一樣的。

這里我們用第二種方法，有一點(diǎn)很重要，我們上面說過世界空間的變換順序公式是先縮放，再旋轉(zhuǎn)，再平移，而這里我們?yōu)榱税褦z像機(jī)移回世界坐標(biāo)原點(diǎn)，我們需要逆向變換，所以是先平移，再旋轉(zhuǎn)，再縮放。

注意我們是從右往左，矩陣乘法滿足結(jié)合不滿足交換，所以乘法順序可以從左往右。這里可以把攝像機(jī)的Transform組件數(shù)據(jù)逐一代入。

還有一點(diǎn)要注意，因?yàn)橛^察空間是右手坐標(biāo)系，與世界空間的左手坐標(biāo)系z軸相反，所以z分量要取反操作：

最后乘以經(jīng)過上一步世界變換的位置就可以了

書中有關(guān)于一個農(nóng)場的例子，有詳細(xì)的計(jì)算過程，有興趣的可以按著算一遍。

d、裁剪空間（clip space）

幾種空間轉(zhuǎn)換中最復(fù)雜的一個空間。裁剪空間，也被稱為齊次裁剪空間，用于變換的矩陣叫裁剪矩陣，也叫投影矩陣。在渲染流水線中說過裁剪，完全位于裁剪空間的被保留，完全位于外面的被剔除，與這個空間相交的會被裁剪。那么這個空間是如何決定的，答案是視錐體（view frustum）。

視錐體決定了攝像機(jī)可以看到的空間。視錐體由六個面組成，這些面也叫裁剪平面。視錐體有兩種類型，涉及兩種投影，正交投影（orthographic projection）和透視投影（perspective projection）。這里用一下書上的圖：

可以看出，透視投影模擬了人眼看世界的方式，適合3D游戲，而正交投影則完全保留了物體的距離和角度，適合2D游戲。

在上圖中我們可以看到兩個特殊的面，是近裁剪平面和遠(yuǎn)裁剪平面。他們決定了攝像機(jī)可以看到的深度范圍。和側(cè)面的四個面決定了裁剪空間。如果直接用視錐體定義的空間來進(jìn)行裁剪，那么不同的視錐體要不同的處理，而且透視投影的視錐體判斷起來更麻煩。所以我們需要一種更通用的方式，通過一個投影矩陣把頂點(diǎn)轉(zhuǎn)移到一個裁剪空間中。

投影矩陣有兩個目的：

第一，為投影做準(zhǔn)備

投影矩陣并沒有進(jìn)行真正的投影工作，投影是個降維的過程，從三維降到二維，真正的投影發(fā)生在后面的屏幕映射中，通過齊次除法獲得二維坐標(biāo)。經(jīng)過矩陣變換后，頂點(diǎn)的w分量會有特殊的意義。

第二，對x、y、z分量進(jìn)行縮放。

直接用視錐體的6個裁剪平面進(jìn)行裁剪比較麻煩。經(jīng)過投影矩陣縮放后，w分量會成為一個范圍值，如果x、y、z都在這個范圍內(nèi)，就說明頂點(diǎn)位于裁剪空間中。

下面，我們分別看看兩種投影類型的投影矩陣：

一、透視投影

我們先看看透視投影的6個裁剪平面怎么決定的。在Unity中，它們由Camera組件中的參數(shù)和Game視圖的縱橫比共同決定。如圖所示：

上圖中Camera的Field of View(FOV)決定視錐體豎直方向的張開角度，Clipping Planes中的Near和Far決定視錐體的近裁剪平面和遠(yuǎn)裁剪平面距離攝像機(jī)的遠(yuǎn)近，這樣就可以求出近和遠(yuǎn)裁剪平面的高度：

而橫向信息由攝像機(jī)的縱橫比決定。這個縱橫比由Game視圖的縱橫比和Viewport Rect中的W和H屬性共同決定（Unity中可以通過Camera.aspect獲得）。假設(shè)縱橫比為Aspect，則：

這樣可以確定透視投影的投影矩陣：

推導(dǎo)過程看書上的擴(kuò)展閱讀部分。這個投影矩陣是建立在Unity坐標(biāo)系上，觀察空間是右手坐標(biāo)系，使用列矩陣右側(cè)相乘，且變換后z分量在[-w, w]之間。但在DirectX中，z分量在[0, w]之間，上面的透視矩陣就要更改了。這里不討論。

用上一步觀察空間得到的坐標(biāo)和投影矩陣相乘，就可以變換到裁剪空間中：

就如上面說過的，本質(zhì)就是對x、y、z做了不同的縮放（z還有個平移）。w也不再是1，而是z取反。最后通過x、y、z是否在[-w, w]中判斷是否位于視錐體內(nèi)。不在其內(nèi)的會被剔除或裁剪，這樣通過投影矩陣后，視錐體變化如下：

讀者可以把左邊的各個頂點(diǎn)帶入上面的公式，就會得到右邊頂點(diǎn)，而且我們發(fā)現(xiàn)，裁剪矩陣使空間從右手坐標(biāo)系換到了左手坐標(biāo)系，z從向外為正變成了向里為正。

二、正交投影

和透視投影類似，我們看看其Camera組件的屬性：

視錐體是個長方體，因此不需要FOV了，用Size代替了，Size是高度的一半。因此，我們得到公式：

Aspect是橫縱比。這樣，可以得到正交投影的裁剪矩陣，如下：

然后觀察空間的頂點(diǎn)與矩陣相乘，如下：

可以看出，w分量依然為1。判斷是否位于裁剪空間內(nèi)與透視投影一樣，x、y、z是否在[-w, w]之間。通過投影矩陣后，視錐體變化如下：

可以看出，變換后空間從長方體變成正方體了，范圍是[-1, 1]。

e、屏幕空間（screen space）

終于說完裁剪空間了，經(jīng)過投影矩陣變換后，我們完成了裁剪工作，開始正式投影了，把視錐體投影到屏幕空間。屏幕空間是個二維空間，投影的過程分為兩步：

首先，要進(jìn)行齊次除法，也被稱為透視除法。就是用x、y、z分量除以w分量。在OpenGL中，這一步得到的坐標(biāo)叫歸一化的設(shè)備坐標(biāo)（NDC，Normalized Device Coordinates）。經(jīng)過這一步，我們把坐標(biāo)從齊次裁剪空間轉(zhuǎn)換到NDC中，你會驚奇的發(fā)現(xiàn)，這樣會使透視投影的類似金字塔形狀的空間變成正方體，并且和正交投影的一樣：

推導(dǎo)過程很容易，回頭看裁剪空間那里的公式，透視投影坐標(biāo)經(jīng)裁剪矩陣變換后w是-z，所以坐標(biāo)x、y、z都除以-z就得到了右邊的樣子。而正交投影變換后w是1，所以除以1沒變化，這樣兩種投影方式就都是一樣的正方體了。

現(xiàn)在，我們開始屏幕映射了。Unity左下角坐標(biāo)是(0, 0)，右上角是(pixelWidth, pixelHeight)，現(xiàn)在經(jīng)過齊次除法后x、y的范圍是[-1, 1]，所以這個過程就是個縮放的過程。首先把x、y變到[0, 1]，很簡單，比如x = (x + 1) / 2，然后再乘以pixelWidth就是映射后的x了，當(dāng)然這里的x，y都是裁剪空間的坐標(biāo)除以w，總公式如下：

x、y被用作投影了，z分量會被用于深度緩沖，傳統(tǒng)方式是z/w直接存進(jìn)深度緩沖，但這不是必須的，驅(qū)動生產(chǎn)商會根據(jù)硬件來選擇最好的存儲格式。

f、總結(jié)

以上就是一個頂點(diǎn)如何從模型空間變換到屏幕空間的過程。頂點(diǎn)著色器的最基本的任務(wù)就是把頂點(diǎn)坐標(biāo)從模型空間轉(zhuǎn)換到裁剪空間中。也就是前三個頂點(diǎn)變換過程。后面一系列變換是自動完成的。然后在片元著色器中，我們就可以得到該片元在屏幕空間的像素位置了。最后上一張圖總結(jié)一下：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Unity Shader入门精要笔记（四）：矩阵与空间变换的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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