一、圖的存儲結構

圖 1 圖存儲結構示意圖

圖 1 所示為存儲 V1、V2、V3、V4 的圖結構，從圖中可以清楚的看出數據之間具有的"多對多"關系。例如，V1 與 V4 和 V2 建立著聯系，V4 與 V1 和 V3 建立著聯系，以此類推。

與鏈表不同，圖中存儲的各個數據元素被稱為頂點（而不是節點）。拿圖 1 來說，該圖中含有 4 個頂點，分別為頂點 V1、V2、V3 和 V4。

圖存儲結構中，習慣上用 Vi 表示圖中的頂點，且所有頂點構成的集合通常用 V 表示，如圖 1 中頂點的集合為 V={V1,V2,V3,V4}。

注意，圖 1 中的圖僅是圖存儲結構的其中一種，數據之間 "多對多" 的關系還可能用如圖 2 所示的圖結構表示：

圖 2 有向圖示意圖

可以看到，各個頂點之間的關系并不是"雙向"的。比如，V4 只與 V1 存在聯系（從 V4 可直接找到 V1），而與 V3 沒有直接聯系；同樣，V3 只與 V4 存在聯系（從 V3 可直接找到 V4），而與 V1 沒有直接聯系，以此類推。

因此，圖存儲結構可細分兩種表現類型，分別為無向圖（圖 1）和有向圖（圖 2）。

1、圖的基本常識

弧頭和弧尾

有向圖中，無箭頭一端的頂點通常被稱為"初始點"或"弧尾"，箭頭直線的頂點被稱為"終端點"或"弧頭"。

入度和出度

對于有向圖中的一個頂點 V 來說，箭頭指向 V 的弧的數量為 V 的入度（InDegree，記為 ID(V)）；箭頭遠離 V 的弧的數量為 V 的出度（OutDegree，記為OD(V)）。拿圖 2 中的頂點 V1來說，該頂點的入度為 1，出度為 2（該頂點的度為 3）。

(V1,V2) 和 <V1,V2> 的區別

無向圖中描述兩頂點（V1 和 V2）之間的關系可以用 (V1,V2) 來表示，而有向圖中描述從 V1 到 V2 的"單向"關系用 <V1,V2> 來表示。

由于圖存儲結構中頂點之間的關系是用線來表示的，因此 (V1,V2) 還可以用來表示無向圖中連接 V1 和 V2 的線，又稱為邊；同樣，<V1,V2> 也可用來表示有向圖中從 V1 到 V2 帶方向的線，又稱為弧。

集合 VR 的含義

并且，圖中習慣用 VR 表示圖中所有頂點之間關系的集合。例如，圖 1 中無向圖的集合 VR={(v1,v2),(v1,v4),(v1,v3),(v3,v4)}，圖 2 中有向圖的集合 VR={<v1,v2>,<v1,v3>,<v3,v4>,<v4,v1>}。

路徑和回路

無論是無向圖還是有向圖，從一個頂點到另一頂點途徑的所有頂點組成的序列（包含這兩個頂點），稱為一條路徑。如果路徑中第一個頂點和最后一個頂點相同，則此路徑稱為"回路"（或"環"）。

并且，若路徑中各頂點都不重復，此路徑又被稱為"簡單路徑"；同樣，若回路中的頂點互不重復，此回路被稱為"簡單回路"（或簡單環）。

拿圖 1 來說，從 V1 存在一條路徑還可以回到 V1，此路徑為 {V1,V3,V4,V1}，這是一個回路（環），而且還是一個簡單回路（簡單環）。

在有向圖中，每條路徑或回路都是有方向的。

權和網的含義

在某些實際場景中，圖中的每條邊（或弧）會賦予一個實數來表示一定的含義，這種與邊（或弧）相匹配的實數被稱為"權"，而帶權的圖通常稱為網。如圖 3 所示，就是一個網結構：

圖 3 帶權的圖存儲結構

子圖：指的是由圖中一部分頂點和邊構成的圖，稱為原圖的子圖。

2、圖存儲結構的分類

根據不同的特征，圖又可分為完全圖，連通圖、稀疏圖和稠密圖：

完全圖

若圖中各個頂點都與除自身外的其他頂點有關系，這樣的無向圖稱為完全圖（如圖 4a)）。同時，滿足此條件的有向圖則稱為有向完全圖（如圖 4b)）。

圖 4 完全圖示意圖

具有 n 個頂點的完全圖，圖中邊的數量為 n(n-1)/2

而對于具有 n 個頂點的有向完全圖，圖中弧的數量為 n(n-1)

稀疏圖和稠密圖

稀疏圖和稠密圖：這兩種圖是相對存在的，即如果圖中具有很少的邊（或弧），此圖就稱為"稀疏圖"；反之，則稱此圖為"稠密圖"。

稀疏和稠密的判斷條件是：e<nlogn，其中 e 表示圖中邊（或弧）的數量，n 表示圖中頂點的數量。如果式子成立，則為稀疏圖；反之為稠密圖。

二、連通圖和強連通圖

上文說到，圖中從一個頂點到達另一頂點，若存在至少一條路徑，則稱這兩個頂點是連通著的。例如下圖 1 中，雖然 V1 和 V3 沒有直接關聯，但從 V1 到 V3 存在兩條路徑，分別是 V1-V2-V3 和 V1-V4-V3，因此稱 V1 和 V3 之間是連通的。

圖 1 頂點之間的連通狀態示意圖

1、連通圖

無向圖中，如果任意兩個頂點之間都能夠有連通，則稱此無向圖為連通圖。例如，下圖 2 中的無向圖就是一個連通圖，因為此圖中任意兩頂點之間都是有連通的。

圖 2 連通圖示意圖

若無向圖不是連通圖，但圖中存儲某個子圖符合連通圖的性質，則稱該子圖為連通分量。

由圖中部分頂點和邊構成的圖為該圖的一個子圖，但這里的子圖指的是圖中"最大"的連通子圖（也稱"極大連通子圖"）。

如圖 3 所示，雖然圖 3a) 中的無向圖不是連通圖，但可以將其分解為 3 個"最大子圖"（圖 3b)），它們都滿足連通圖的性質，因此都是連通分量。

圖 3 連通分量示意圖

提示，圖 3a) 中的無向圖只能分解為 3 部分各自連通的"最大子圖"。

注意：連通分量的提出是以"整個無向圖不是連通圖"為前提的，因為如果無向圖是連通圖，則其無法分解出多個最大連通子圖，因為圖中所有的頂點之間都是連通的。

2、強連通圖

有向圖中，若任意兩個頂點 Vi 和 Vj，滿足從 Vi 到 Vj 以及從 Vj 到 Vi 都連通，也就是都含有至少一條通路，則稱此有向圖為強連通圖。如圖 4 所示就是一個強連通圖。

圖 4 強連通圖

與此同時，若有向圖本身不是強連通圖，但其包含的最大連通子圖具有強連通圖的性質，則稱該子圖為強連通分量。

圖 5 強連通分量

如圖 5 所示，整個有向圖雖不是強連通圖，但其含有兩個強連通分量。

3、總結

可以這樣說，連通圖是在無向圖的基礎上對圖中頂點之間的連通做了更高的要求；而強連通圖是在有向圖的基礎上對圖中頂點的連通做了更高的要求。

三、生成樹和生成森林

1、生成樹

對連通圖進行遍歷，過程中所經過的邊和頂點的組合可看做是一棵普通樹，通常稱為生成樹。

圖 1 連通圖及其對應的生成樹

如圖 1 所示，圖 1a) 是一張連通圖，圖 1b) 是其對應的 2 種生成樹。

連通圖中，由于任意兩頂點之間可能含有多條通路，遍歷連通圖的方式有多種，往往一張連通圖可能有多種不同的生成樹與之對應。

連通圖中的生成樹必須滿足以下 2 個條件：

包含連通圖中所有的頂點；

任意兩頂點之間有且僅有一條通路；

因此，連通圖的生成樹具有這樣的特征，即生成樹中邊的數量 = 頂點數 - 1。

2、生成森林

生成樹是對應連通圖來說，而生成森林是對應非連通圖來說的。

我們知道，非連通圖可分解為多個連通分量，而每個連通分量又各自對應多個生成樹（至少是 1 棵），因此與整個非連通圖相對應的，是由多棵生成樹組成的生成森林。

圖 2 非連通圖和連通分量

如圖 2 所示，這是一張非連通圖，可分解為 3 個連通分量，其中各個連通分量對應的生成樹如圖 3 所示：

圖 3 生成森林

注意：圖 3 中列出的僅是各個連通分量的其中一種生成樹。

因此，多個連通分量對應的多棵生成樹就構成了整個非連通圖的生成森林。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图的基本概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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