（一）高階差分方程的解：
高階差分齊次方程：

1仍然可得是該齊次方程的解
2得到對應(yīng)的特征方程（其實以后我們可以直接寫出相應(yīng)的特征方程，參考高數(shù)中寫微分方程的特征方程）


將有n個特征根（相異實數(shù)根，多重根，共軛復(fù)根）

（1）相異實根：

（2）實根，m重根：

這里只是舉一個例子，太復(fù)雜的并沒有闡述，即：阿爾法1到阿爾法m都相等嗎，但阿爾法m+1到阿爾法n都是相異實根。（其實還是不夠一般化）（注意，最后那個因為相等所以阿爾法1改寫為了阿爾法m）（而且他沒把剩下的相異實根 部分寫上去，容易引起誤解）

所以上面這個表述是有歧義的。因為假如重根有5個，分別為阿爾法1,2,3,4,5。但是他們的重數(shù)可能是不同的，比如重數(shù)分別為2,2,3,4,5.所以他們的上面這個表述是有問題的。
應(yīng)該改為：

這里的n替換為t，這里僅是假設(shè)阿爾法1為k重，而其余的k+1到N個根都是相異實根。
那么其余的怎么寫，就了然了。
看兩個例子：



（3）復(fù)根

復(fù)根出現(xiàn)重根的情況不再給出了

（二）穩(wěn)定性條件

要得到上述結(jié)論，需要先證明下式：

然后再由此式即可推導(dǎo)出上述結(jié)論。
（詳細版筆記中我已證明和推導(dǎo)）

（三）非齊次特解
非齊次差分方程的形式和推動過程x(t)有關(guān)
即推動過程為確定性過程
下面幾種為討論推動過程包含常數(shù)項，時間趨勢項t的情形。
（1）（高階差分方程）
此時的方程為：
則猜想解的形式為：
代入方程，解出c的值為：
但是分母可能為0，那么c就不存在了。
此時，我們應(yīng)猜想解的形式為：
代入方程，解出c的值為：
若分母可能為0，那么c就不存在了。
繼續(xù)嘗試這樣形式的解，知道找到為止，總能找到的。
（2）其中b，d，r都是常數(shù)（僅指出了一階）
此時的方程為：
我們僅考慮一階：
猜想解的形式為：
代入方程，接觸c0，c1

于是，得到一個特解為：
只要|d^r|<1,該解就收斂

即：1
(常數(shù)項乘以了t)
2，嘗試使用
每一項都乘以了t
對于高階方程，仍然可以使用此方法（不過猜想的第一個解需要一定的智慧）
（3）其中b為常數(shù)，d為正常數(shù)。
此時的方程為：
猜想其特解的一般形式為：
舉一個二階差分方程的例子：
方程形式為：（此時d=1）
猜想其特解的一般形式為：
代入可能到兩個系數(shù)為：
同樣考慮，則令此時的特解形式為：

（四）待定系數(shù)法

（待定系數(shù)法在微分方程中也常用，先猜一個挑戰(zhàn)解，假定其滿足，然后代入，最終去求出這些系數(shù)，如果系數(shù)有解，則這個挑戰(zhàn)解就是方程的解，如果系數(shù)無解，則這個挑戰(zhàn)解就不是方程的解）
即推動過程是隨機干擾項的非齊次方程的特解
待定系數(shù)法可能誤解，所以我們將一開始提出的用于嘗試的解稱之為挑戰(zhàn)解
（1）簡單情形1：一階差分方程+一個隨機干擾項方程為
猜想的挑戰(zhàn)解形式為：
代入方程得
對任意的t和efshow，上述的式子都要成立，那就只能讓常數(shù)項和系數(shù)都為零啦~
于是可以得到：
和
考慮到分母，還是分類討論：
分類情形1：

這個結(jié)果和第一部分中使用向前迭代解本方程對所得的解的結(jié)果完全一致
最后我們可以配上對應(yīng)的齊次方程的通解，組合成非齊次方程的通解，如下：

分類情形2：

由于efshow的求和未必有限，所以該解可能發(fā)散。于是施加如下初始條件：

最終將特解寫為：

但是我覺得，由于t的存在，這個解還是發(fā)散的，所以前面施加初始條件然并卵。
（2）簡單情形2：一階差分方程+兩個隨機干擾項
方程為：
猜想的挑戰(zhàn)解形式為：
使用（1）簡單情形1中的步驟和方法，不再贅述。

（3）二階差分方程+一個隨機干擾項 ，方程為：

猜想的挑戰(zhàn)解形式為：
代入方程可以得到：

和
和（可以解出a(j)）


（五）滯后算子
滯后算子L：
滯后算子的性質(zhì)：



利用性質(zhì)5和性質(zhì)6，結(jié)合性質(zhì)1，就可以解出差分方程。（級數(shù)求和與展開）
如果是高階，則可以因式分解，拆分后，再進行級數(shù)展開。

來自為知筆記(Wiz)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的第一章时间序列基础——差分方程和求解（二）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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