常见树的总结
樹
BST
Binary Sort Tree：二叉查找樹，或二叉搜索樹，或二叉排序樹
性質：
若左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小于它的根結點的值；
若右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大于或等于它的根結點的值；
左、右子樹也分別為二叉查找樹；
沒有鍵值相等的節(jié)點。
**特點：**對二叉查找樹的中序遍歷，是升序的序列。查找的時間復雜度 O(logN)，最壞的情況下退化至O(N)，因此出現(xiàn)了各種平衡二叉樹，以最求優(yōu)雅的O(logN)。
二叉查找樹的插入過程如下：
若當前的二叉查找樹為空，則插入的元素為根節(jié)點;
若插入的元素值小于根節(jié)點值，則將元素插入到左子樹中;
若插入的元素值不小于根節(jié)點值，則將元素插入到右子樹中。
AVL
平衡二叉樹：（Balanced Binary Tree），平衡的BST，以發(fā)明人命名，AVL（Adelson-Velskii and Landis）
性質：如果每一個節(jié)點的左子樹和右子樹的高度差不超過1，那么這可樹就是平衡二叉樹。
特點：判斷一個樹是否為平衡樹，把握三點。遞歸判斷 （1）左子樹是否平衡 （2）右子樹是否平衡 （3）左子樹的高度和右子樹的高度差值低于1。查找的時間復雜度，嚴格的O(logN)。優(yōu)雅的解決了BST退化成鏈表的問題，把插入，查找，刪除的時間復雜度最好情況和最壞情況都維持在O(logN)。
缺點：頻繁旋轉會使插入和刪除犧牲掉O(logN)左右的時間，不過相對BST來說，時間上穩(wěn)定了很多。
自平衡操作：4種情況的失衡狀態(tài)，兩兩對稱
1）LL型：如果在一個節(jié)點的左子樹的左子樹上插入一個新節(jié)點。方法：將節(jié)點右旋使其平衡。
? 原A的左孩子B變?yōu)楦附Y點，A變?yōu)槠溆液⒆樱瑽的右子樹變?yōu)锳的左子樹，注意旋轉之后Brh是A的左子樹。
2）RR型：在一個節(jié)點的右子樹的右子樹上插入一個新節(jié)點。方法：將節(jié)點左旋使其平衡。
? 原A右孩子B變?yōu)楦附Y點，A變?yōu)槠渥蠛⒆樱瑽的左子樹Blh將變?yōu)锳的右子樹。
3）LR型：在一個節(jié)點的左子樹的右子樹上插入一個新節(jié)點。方法：雙旋轉，兩步走，先讓樹中高度較低的進行一次左旋，這個時候就變成了LL型了。再進行一次右旋操作即可。
在B節(jié)點按照RR型向左旋轉一次之后，二叉樹在A節(jié)點仍然不能保持平衡，這時還需要再向右旋轉一次。
4）RL型：在一個節(jié)點的右子樹的左子樹上插入一個新節(jié)點。方法：雙旋轉，先讓樹中高度較低的進行一次右旋，這個時候就變成了RR型了。再進行一次左旋操作即可。
與LR情況剛好相反，將B結點右旋，變?yōu)镽R，再讓A結點單左旋。
R-B Tree
紅黑樹：是一種自平衡二叉查找樹，復雜且高效，并且在實踐中是高效的: 它可以在O(logn)時間內做查找，插入和刪除。紅黑樹還是2-3-4樹的一種等同，它們的思想是一樣的，只不過紅黑樹是2-3-4樹用二叉樹的形式表示的。
性質：五大性質
1）所有節(jié)點都是 紅色 或者 黑色，非紅即黑。
2）根節(jié)點是黑色
3）紅色節(jié)點的子節(jié)點不能是紅色，必須是黑色
4）所有的NIL結點都是黑色（注：為空的葉子節(jié)點）
5）從任意節(jié)點出發(fā)，所有到NIL節(jié)點的路徑含有相同數(shù)量的黑色節(jié)點
如下圖所示：
紅黑樹基本操作（一）：添加節(jié)點
? 大致步驟，將紅黑樹當作一顆二叉查找樹，將節(jié)點插入；然后，將節(jié)點著色為紅色；最后通過旋轉和重新著色等方法，來修正，使之成為一顆滿足五大性質的紅黑樹。
? 可分為三大情況來處理：
情況1：插入節(jié)點的是根節(jié)點。方法：直接把這個節(jié)點涂為黑色
情況2：插入節(jié)點的的父節(jié)點是黑色。方法：無任何操作，仍是紅黑樹。
情況3：插入結點的父節(jié)點是紅色，又分為三種小情況：
case 1）情況：當前節(jié)點的父節(jié)點是紅色，叔叔節(jié)點也是紅色。 方法：1、將“父節(jié)點”設為黑色。2、將“叔叔節(jié)點”設為黑色。3、將“祖父節(jié)點”設為紅色。4、將“祖父節(jié)點”設為“當前節(jié)點”；即，之后的操作，繼續(xù)轉化為對“當前節(jié)點”的操作。
case 2）情況：當前節(jié)點的父節(jié)點是紅色，叔叔節(jié)點是黑色，且當前節(jié)點是其父節(jié)點的右孩子
? 方法：1、將“父節(jié)點”作為“新的當前節(jié)點”。2、以”新的當前節(jié)點“為支點進行左旋。
case 3）情況：當前節(jié)點的父節(jié)點是紅色，叔叔節(jié)點是黑色，且當前節(jié)點是其父節(jié)點的左孩子
? 方法：1、將“父節(jié)點”設為黑色。2、將“祖父節(jié)點”設為紅色。3、以“祖父節(jié)點”為支點進行右旋
紅黑樹的基本操作（二）：刪除
? 大致步驟，將紅黑樹當作一顆二叉查找樹，將該節(jié)點從二叉查找樹中刪除；然后，通過旋轉和重新著色等操作來修復成紅黑樹，使之重新成為一顆紅黑樹。
? 第一步：
情況1：被刪除的節(jié)點沒有孩子，即為葉節(jié)點（注：不是NIL節(jié)點）。方法：直接刪除該節(jié)點
情況2：被刪除的節(jié)點只有一個孩子。方法：直接刪除該節(jié)點，那么該孩子直接頂替它的位置。
情況3：被刪除的節(jié)點有兩個孩子。則找到“當前節(jié)點”的“后繼節(jié)點”，把“后繼節(jié)點”復制給“當前節(jié)點”，覆蓋它。然后刪除后繼節(jié)點。即問題往下轉移，直至遇到情況1，和情況2，停止。
? 第二步：
? 修復紅黑樹，通過旋轉和重新著色，使之重新成為一顆紅黑樹。
B-tree
B-tree即B樹，B-樹，又叫平衡多路查找樹。
一顆m階的B樹（m叉樹）的特性如下：
1、樹中每個節(jié)點最多含有m個孩子；
2、除根節(jié)點和葉子結點外，其他每個節(jié)點至少有[ceil(m/2)]個孩子（其中ceil(x)是一個取上限的函數(shù)）；
3、若根節(jié)點不是葉子結點，則至少有兩個孩子（特例：整棵樹只有一個節(jié)點）；
4、所有的葉子結點都出現(xiàn)在同一層，葉子結點為NULL，即NIL節(jié)點；
5、有j個孩子的非葉節(jié)點恰好有j-1個關鍵碼，關鍵碼按遞增次序排列；
備注：B樹中的每個結點根據(jù)實際情況可以包含大量的關鍵字信息和分支(當然是不能超過磁盤塊的大小，根據(jù)磁盤驅動(disk drives)的不同，一般塊的大小在1k~4k左右)；這樣樹的深度降低了，這就意味著查找一個元素只要很少結點從外存磁盤中讀入內存，很快訪問到要查找的數(shù)據(jù)。
B+tree
B+樹，是應文件系統(tǒng)所需而產生的一種B-tree的變形樹。
與B樹的差異在于：
1、有n棵子樹的節(jié)點含有n個關鍵字；（而B樹是n棵子樹有n-1個關鍵字）
2、所有葉子結點中包含了全部關鍵字的信息，即指向含有這些關鍵字記錄的指針，且葉子結點本身依關鍵字的大小，自小到大的順序鏈接。（而B樹的葉子節(jié)點并沒有包括全部需要查找的信息）
3、所有的非終端節(jié)點可以看成是索引部分，節(jié)點中僅含有其子樹根節(jié)點中最大（或最小的關鍵字）。而B樹的非葉子結點也包含需要查找的有效信息。
問題： 為什么說B±tree比B 樹更適合實際應用中操作系統(tǒng)的文件索引和數(shù)據(jù)庫索引？
B±tree的磁盤讀寫代價更低
B±tree的內部結點并沒有指向關鍵字具體信息的指針。因此其內部結點相對B 樹更小。如果把所有同一內部結點的關鍵字存放在同一盤塊中，那么盤塊所能容納的關鍵字數(shù)量也越多。一次性讀入內存中的需要查找的關鍵字也就越多。相對來說IO讀寫次數(shù)也就降低了。
? 舉個例子，假設磁盤中的一個盤塊容納16bytes，而一個關鍵字2bytes，一個關鍵字具體信息指針2bytes。一棵9階B-tree(一個結點最多8個關鍵字)的內部結點需要2個盤快。而B+ 樹內部結點只需要1個盤快。當需要把內部結點讀入內存中的時候，B 樹就比B+ 樹多一次盤塊查找時間(在磁盤中就是盤片旋轉的時間)。
B±tree的查詢效率更加穩(wěn)定
由于非終結點并不是最終指向文件內容的結點，而只是葉子結點中關鍵字的索引。所以任何關鍵字的查找必須走一條從根結點到葉子結點的路。所有關鍵字查詢的路徑長度相同，導致每一個數(shù)據(jù)的查詢效率相當。
SB-Tree
SB-Tree：Size Balanced Tree，自平衡條件：每個結點所在子樹的結點個數(shù)不小于其兄弟的兩個孩子所在子樹的結點個數(shù)。
與AVL樹的差異：
? AVL 樹比較的是層數(shù)，而SB 樹比較的是 Size ，結點的多少。另一個和 AVL 不太一樣的是，SBTree 只有在插入時才可能觸發(fā)調整，而不需要在刪除結點以后進行調整。
插入時的調整：與AVL樹類似，分為LL，RR，LR，RL，四種情況。
TireTree
字典樹，又稱前綴樹解決字符串前綴匹配問題，查找單詞是否存在，統(tǒng)計以如“abc”開始的字符串的個數(shù)，實現(xiàn)詞頻統(tǒng)計等。
public static class TrieNode {
public int path; // 記錄有多少個字符經(jīng)過
public int end; // 記錄有多少個字符串以此節(jié)點結尾
public TrieNode[] nexts; // 路
public TrieNode() {
path = 0;
end = 0;
nexts = new TrieNode[26];
}
}
總結
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