3D数学读书笔记——矩阵进阶
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最終要學(xué)習(xí)矩陣的平移了，通過平移能夠處理非常多問題，包含非坐標(biāo)軸基準(zhǔn)的變換問題，不同坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換問題。嘿嘿！
行列式（事實(shí)上行列式就是一種計(jì)算法則）
在隨意矩陣中都存在一個(gè)標(biāo)量，稱作該方陣的行列式。
方陣M的行列式記作 |M| 或 det M 。非方陣矩陣的行列式是沒有定義的。
2 * 2階矩陣行列式的定義
3 * 3階矩陣行列式的定義
ps：(1)矩陣積的行列式等于矩陣行列式的積 |AB| = |A||B|
? ? (2)矩陣轉(zhuǎn)置的行列式等于原矩陣的行列式?
? ? (3)假設(shè)矩陣的隨意行或列全為零，那么它的行列式等于零。
? ? (4)交換矩陣的隨意兩行或兩列，行列式變負(fù)。
? ? (5)隨意行或者列的非零積加到還有一行或列上不會改變行列式的值。
矩陣的行列式有著很有趣的幾何解釋。
2D中，行列式等于以基向量為兩邊的平行四邊形的有符號面積。3D中，行列式等于以變換后的基向量為三邊的平行六面體的有符號體積。
行列式和矩陣變換導(dǎo)致相關(guān)的尺寸改變。當(dāng)中行列式的絕對值和面積(2D)、體積(3D)的改變相關(guān)。行列式的符號說明了變換矩陣是否包括鏡像或投影。
矩陣的行列式還能對矩陣所代表的的變換經(jīng)行分類。假設(shè)矩陣行列式為零，那么該矩陣包括投影。假設(shè)矩陣行列式為負(fù)，那么該矩陣包括鏡像。
矩陣的逆
矩陣的逆是矩陣的一種重要的運(yùn)算，這樣的運(yùn)算僅僅能適用于方陣。
方陣M的逆，記作,也是一個(gè)矩陣，當(dāng)M與相乘時(shí)，結(jié)果是單位矩陣。
并不是全部的矩陣都有逆矩陣。假設(shè)一個(gè)矩陣有逆矩陣，那么稱它為可逆的或非神秘的。假設(shè)一個(gè)矩陣沒有逆矩陣，則稱它為不可逆的或神秘矩陣。神秘矩陣的行列式為零，非神秘矩陣的行列式不為零，所以檢測行列式的值是推斷矩陣是否可逆的有效方法。
ps：(1) 假設(shè)M是非神秘矩陣，則該矩陣的逆的逆等于原矩陣 ?
? ? (2) 單位矩陣的逆就是它本身。
? ? (3) 矩陣轉(zhuǎn)置的逆等于它的逆的轉(zhuǎn)置?
矩陣的逆在幾何上很實(shí)用，由于它使得我們能夠計(jì)算變換的“反向”或“相反”變換——能“撤銷”原始變換的變換，全部假設(shè)向量v用矩陣M來進(jìn)行變換，接著用M的逆進(jìn)行變換，將會得到原向量。
正交矩陣
當(dāng)方陣M與它的轉(zhuǎn)置的乘積等于單位矩陣，方陣M就是正交的。
假設(shè)一個(gè)矩陣是正交的，那么它的轉(zhuǎn)置等于它的逆，我們能夠用這個(gè)規(guī)律來檢測矩陣的正交性
ps：這條性質(zhì)很實(shí)用，由于實(shí)際應(yīng)用中常常須要計(jì)算矩陣的逆，而3D圖形計(jì)算中正交矩陣出現(xiàn)得又是如此頻繁，這條性質(zhì)能夠大大的降低計(jì)算量。
4 x 4齊次矩陣
在4D齊次空間中，4D向量有4個(gè)分量，前3個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)的x，y和z分量，第四個(gè)是w，有時(shí)稱作齊次坐標(biāo)。
增加了w分量，我們就能夠利用這個(gè)分量來進(jìn)行3D平移了。
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4D向量中的w分量還起到了“開關(guān)”4x4矩陣平移部分的作用。
這個(gè)現(xiàn)象是很實(shí)用的，由于有些向量代表“位置”，應(yīng)當(dāng)平移，而有些向量代表“方向”不應(yīng)該平移。從幾何意義上講，能將第一類數(shù)據(jù)當(dāng)作點(diǎn)，第二類數(shù)據(jù)當(dāng)作向量。
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?參考文獻(xiàn)：（1）《3D Math Primer for Graphics and Game Development》
???????????????? （2）百度百科?????????
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的3D数学读书笔记——矩阵进阶的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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