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最終要學習矩陣的平移了，通過平移能夠處理非常多問題，包含非坐標軸基準的變換問題，不同坐標系轉換問題。嘿嘿！

行列式（事實上行列式就是一種計算法則）

在隨意矩陣中都存在一個標量，稱作該方陣的行列式。

方陣M的行列式記作 |M| 或 det M 。非方陣矩陣的行列式是沒有定義的。

2 * 2階矩陣行列式的定義

3 * 3階矩陣行列式的定義

ps：(1)矩陣積的行列式等于矩陣行列式的積 |AB| = |A||B|

? ? (2)矩陣轉置的行列式等于原矩陣的行列式?

? ? (3)假設矩陣的隨意行或列全為零，那么它的行列式等于零。

? ? (4)交換矩陣的隨意兩行或兩列，行列式變負。

? ? (5)隨意行或者列的非零積加到還有一行或列上不會改變行列式的值。

矩陣的行列式有著很有趣的幾何解釋。

2D中，行列式等于以基向量為兩邊的平行四邊形的有符號面積。3D中，行列式等于以變換后的基向量為三邊的平行六面體的有符號體積。

行列式和矩陣變換導致相關的尺寸改變。當中行列式的絕對值和面積(2D)、體積(3D)的改變相關。行列式的符號說明了變換矩陣是否包括鏡像或投影。

矩陣的行列式還能對矩陣所代表的的變換經行分類。假設矩陣行列式為零，那么該矩陣包括投影。假設矩陣行列式為負，那么該矩陣包括鏡像。

矩陣的逆

矩陣的逆是矩陣的一種重要的運算，這樣的運算僅僅能適用于方陣。

方陣M的逆，記作,也是一個矩陣，當M與相乘時，結果是單位矩陣。

并不是全部的矩陣都有逆矩陣。假設一個矩陣有逆矩陣，那么稱它為可逆的或非神秘的。假設一個矩陣沒有逆矩陣，則稱它為不可逆的或神秘矩陣。神秘矩陣的行列式為零，非神秘矩陣的行列式不為零，所以檢測行列式的值是推斷矩陣是否可逆的有效方法。

ps：(1) 假設M是非神秘矩陣，則該矩陣的逆的逆等于原矩陣 ?

? ? (2) 單位矩陣的逆就是它本身。

? ? (3) 矩陣轉置的逆等于它的逆的轉置?

矩陣的逆在幾何上很實用，由于它使得我們能夠計算變換的“反向”或“相反”變換——能“撤銷”原始變換的變換，全部假設向量v用矩陣M來進行變換，接著用M的逆進行變換，將會得到原向量。

正交矩陣

當方陣M與它的轉置的乘積等于單位矩陣，方陣M就是正交的。

假設一個矩陣是正交的，那么它的轉置等于它的逆，我們能夠用這個規律來檢測矩陣的正交性

ps：這條性質很實用，由于實際應用中常常須要計算矩陣的逆，而3D圖形計算中正交矩陣出現得又是如此頻繁，這條性質能夠大大的降低計算量。

4 x 4齊次矩陣

在4D齊次空間中，4D向量有4個分量，前3個是標準的x，y和z分量，第四個是w，有時稱作齊次坐標。

增加了w分量，我們就能夠利用這個分量來進行3D平移了。

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4D向量中的w分量還起到了“開關”4x4矩陣平移部分的作用。

這個現象是很實用的，由于有些向量代表“位置”，應當平移，而有些向量代表“方向”不應該平移。從幾何意義上講，能將第一類數據當作點，第二類數據當作向量。

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?參考文獻：（1）《3D Math Primer for Graphics and Game Development》

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的3D数学读书笔记——矩阵进阶的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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