原文地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/106667070

進(jìn)入大學(xué)，知道要學(xué)的課程中有門叫高等數(shù)學(xué)的，心里就吐槽到：為什么要叫高等數(shù)學(xué)，難道它要比別的數(shù)學(xué)高級(jí)點(diǎn)邁？

現(xiàn)在想起當(dāng)時(shí)的想法，就一臉無法言喻的笑。

但也沒錯(cuò)，高等數(shù)學(xué)是要比我們中學(xué)時(shí)期學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容要“高級(jí)”點(diǎn)。

在中學(xué)時(shí)期，我們接觸的數(shù)學(xué)內(nèi)容，被稱為初等數(shù)學(xué)，就是那些四則運(yùn)算，方程，基本函數(shù)，簡單幾何，，，，，

而初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的區(qū)別，或者說不同之處，在于兩者的研究對(duì)象不同。初等數(shù)學(xué)研究的是不變的量，而高等數(shù)學(xué)研究的是變動(dòng)的量（就顯得很高級(jí)，連變動(dòng)的事物都能研究出規(guī)律。）。

具體一點(diǎn)，比如同樣是計(jì)算，方程算的是某個(gè)固定的量，而函數(shù)算的卻是變化的量（高中學(xué)的函數(shù)是初等函數(shù)，是函數(shù)中的一些典型函數(shù)。跟大學(xué)里的函數(shù)相比，兩者像是集合與元素的關(guān)系）。

高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是基于我們對(duì)函數(shù)的掌握開展的。

那么到底什么是函數(shù)呢？這里我們需要先知道什么是映射（由于函數(shù)是映射的一種特殊情況）。

映射，按照字面上的意思，我們可以想象出是某個(gè)物體投射到另一個(gè)物體的過程。在數(shù)學(xué)里，映射它也是一個(gè)“投射”的過程。

給出官方定義：

假設(shè)兩個(gè)非空集合X、Y，存在一個(gè)法則f，使得對(duì)X中的每個(gè)元素x,按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么稱f為從X到Y(jié)的映射。

（關(guān)于定義，我們一定要進(jìn)行仔細(xì)的解讀，最好是一句一句的理解，不然之后的學(xué)習(xí)容易形成概念誤差。）

簡單的來說，映射它的本質(zhì)就是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。

既然是對(duì)應(yīng)，那前提肯定是得有相互對(duì)應(yīng)的兩個(gè)事物吧？（所以定義的第一句就是要先有兩個(gè)非空集合，至于為什么必須是非空集合，你可以想想，都沒有東西，你跟啥相對(duì)應(yīng)啊？）

這里有個(gè)問題，由于我們之前是先接觸的函數(shù)內(nèi)容，所以可能會(huì)先入為主的形成一個(gè)誤區(qū)→那就是容易認(rèn)為映射的兩個(gè)非空集合都是數(shù)集。

其實(shí)不是，映射指的是所有的對(duì)應(yīng)關(guān)系，不僅僅只是數(shù)與數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

（當(dāng)然，這可能是因?yàn)閷?duì)集合的概念的理解存在偏差。集合是指具有某種特定性質(zhì)的具體的或抽象的對(duì)象匯總成的集體，比如狗可以形成一個(gè)集合，狗窩也可以形成一個(gè)集合。而單純的數(shù)，則是數(shù)的集合。）

具體舉個(gè)映射例子，比如狗和狗窩，這兩者就可以形成一個(gè)居住的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

每只狗都要有一個(gè)狗窩給它居住，也可以兩只狗住同一個(gè)狗窩，卻不可能一只狗同時(shí)住兩個(gè)狗窩（畢竟它又沒有分身術(shù)）。

這里把理解對(duì)應(yīng)之前給出的定義就是，

存在一個(gè)法則f（也就是對(duì)應(yīng)關(guān)系），
使得集合X中的每個(gè)元素x（集合X中不可剩余x，要求的是每一個(gè)元素。），
在集合Y中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)（如果集合X中有x找不到與之對(duì)應(yīng)元素的y，那么就無法構(gòu)成映射）。

元素x還有個(gè)名字叫原象，與元素x對(duì)應(yīng)的元素y叫x的象（在集合Y中那些沒有x與之對(duì)應(yīng)的y不是象），集合X稱為映射f的定義域。

象的集合在函數(shù)關(guān)系中被稱為值域，是集合Y的一個(gè)子集。

要形成一個(gè)映射同時(shí)具備三個(gè)要素：

1、集合X（定義域）
2、集合Y（值域范圍）
3、對(duì)應(yīng)法則f（使得定義域中的每個(gè)元素x，有唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)）

以上，可以知道，映射就是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，而函數(shù)只是映射的一種（函數(shù)是實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射）。

對(duì)映射有了一定概念后，我們來看一下，映射的三種特殊情況，單射、滿射、一一映射（雙射）。

（1）單射：設(shè)f是集合A到集合B的一個(gè)映射，如果對(duì)于任意a，b屬于A，當(dāng)a不等于b時(shí)有f(a)不等于f(b)，則稱f是A到B內(nèi)的單映射 。

（2）滿射：如果對(duì)任意的b屬于B都有一個(gè)a屬于A使得f（a）=b，則稱f是A到B上的映射，或稱f是A到B的滿映射。

（3）一一映射，又稱雙射，即同時(shí)滿足單射和滿射。

映射除了這三種情況，還延伸出了相關(guān)內(nèi)容——逆映射和復(fù)合映射。

與我們之前接觸的反函數(shù)相似，逆映射：

復(fù)合映射：

以上是關(guān)于映射的內(nèi)容，下面我們來看看函數(shù)。

由于函數(shù)是映射的一種特殊情況，所以函數(shù)的本質(zhì)也是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。

介于我們高中是學(xué)過基本函數(shù)的，所以相信各位對(duì)函數(shù)的性質(zhì)→奇偶性、單調(diào)性、以及周期性都是知道的，所以我就不講這幾個(gè)了，主要提一下函數(shù)的有界性。

初等函數(shù)：經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所組成的可用一個(gè)式子表示的函數(shù)。

比如三角函數(shù)，它就是基本初等函數(shù)。

余切函數(shù)與正切函數(shù)

余割函數(shù)與正弦函數(shù)

正割函數(shù)與余弦函數(shù)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的映射是什么？函数是什么？映射与函数的关系？的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。