群

基本定義

設V=<S, ° >是代數系統，°為二元運算，如果°運算是可結合的，則稱V為半群（代數系統的前提不要忘，詳情可看第九章）

如果半群中有單位元==> 含幺半群|獨異點

含幺半群還有逆元==>群通常記作G

群中的二元運算可交換==>交換群|阿貝爾群

Klein四元群

特征：

1. 滿足交換律

2. 每個元素都是自己的逆元

3. a, b, c中任何兩個元素運算結果都等于剩下的第三個元素

平凡群

只有單位元

有限群

群中元素有限

子群

如果把群看成集合，子群就是子集中能滿足群定義的 一個集合（可以有多個集合）

群是代數系統，最基本要滿足封閉性！

真子群就類似真子集

子群判定定理：

設G為群，H是G的非空子集. H是G的子群當且僅當∀a,b∈H 有ab−1∈H（感覺很懵逼） 證 必要性顯然. 只證充分性. 因為H非空，必存在a∈H. 根據給定條件得aa−1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea−1∈H，即a−1∈H. 任取a,b∈H，知b⁻¹∈H. 再利用給定條件得a(b⁻¹) ⁻¹∈H，即 ab∈H. 綜合上述，可知H是G的子群.

生成子群：

設G為群，a∈G，令H={a^k| k∈Z}，則H是G的子

群，稱為由 a 生成的子群，記作<a>

例如：

Klein四元群 G = {e,a,b,c}的所有生成子群是：

<e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}.

則偏序集< L(G), ⊆ >稱為G的子群格

就相當于子群先變成偏序集然后就滿足了格的定義？

因為是子群所以叫子群格？

右（左）陪集

設H是G的子群，a∈G.令

Ha={ha | h∈H}

稱Ha是子群H在G中的右陪集. 稱a為Ha的代表元素.

相當于右（左）乘a所得的集合？

循環群

設G是群，若在G中存在一個元素a,使得G中

的任意元素都是a的冪，則稱該群為循環群，

元素a為循環群G的生成元。記G =<a>.

生成子群就是一個循環群！

G 的子群也是循環群

若G 是無限階，則G 的子群除{e}外也是無限階 （{e}是1階）

若G 是n 階的，則對于n 的每個正因子d,

在G 中有且僅有一個d 階子群.

置換群

設S＝{1,2,…,n}，S上的任何雙射函數σ：S→S稱為S上的n元置換。可以理解為雙射函數....

設σ,τ是n元置換，則σ和τ的復合σ°τ也是n元置換，稱為σ與τ的乘積，記作στ。就是雙射函數的復合函數...

設 π ∈ Sn, π : i1 → i2 , i2 → i3, ⋅⋅⋅, ik → i1 ，并使其余的元

素保持不變，則稱 π 為一個k階循環置換，記為(i₁ i₂⋅⋅⋅ i_k )

由于(i1 i2 i3 ⋅⋅⋅ ik ) = (i2 i3 ⋅⋅⋅ ik i1 ) = ⋅⋅⋅ = (ik i1 i2 ⋅⋅⋅ ik-1 ), 因此一個k階循環置換有 k種表示方式，且k階循環置換的階為k

1階循環置換只有 1 種表示方式，即恒等置換（i）可視作 (i,i) 但是一階循環置換

2階循環置換又稱為對換

對換分解式：(i1 i2…ik) = (i1 i2) … (i1 ik-1) (i1 ik)

奇置換：表成奇數個對換之積

偶置換：表成偶數個對換之積

奇置換與偶置換之間存在一一對應，因此各有n!/2個

階

設G是群，a∈G，使得等式 a^k=e 成立的最小正整數k 稱為a 的階，記作|a|=k，

稱 a 為 k 階元. 若不存在這樣的正整數 k，則稱 a 為無限階元

群的階 <==> 群的基數<==> 群中元素的個數

環與域

設<R,+,·>是代數系統，+和·是二元運算. 如果滿足

以下條件:

(1) <R,+>構成交換群

(2) <R,·>構成半群| 代數系統中只有結合率

(3) · 運算關于+運算適合分配律 | 有分配率

則稱<R,+,·>是一個環

一般有整數環，實數環，復數環，有理數環...

如果半群==>有交換率|環==>交換環 （有交換律的半群不一定是交換群！！！）

如果半群存在單位元環==>環|含幺環

若∀a,b∈R，ab=0 ⇒ a=0∨b=0，則稱R是無零因子環懵？？？

若R既是交換環、含幺環、無零因子環，則稱R是整環

設R是整環，且R中至少含有兩個元素. 若∀a∈R*，其中R*=R−{0}，都有a^－1∈R，則稱R是域

都是概念沒啥感覺

總結

以上是生活随笔為你收集整理的离散数学--第十章 群，环，域的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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