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Solution

對于問題\(B(x)=A^k(x) \mod x^n\)

我們有一個既定的式子
\[ B(x)=e^{k\ln(A(x))} \]

如果此時不保證\(a_0=1\)，那么就不能保證\([k\ln(A(x))](0)=0\)，在求exp的時候，就會很麻煩

解決辦法是，我們設(shè)\(a_tx^t\)是多項式的\(A\)的次數(shù)最小的項

那么直接將原來的多項式除去\(a_tx^t\)，最后求完exp后再乘回\(a_t^kx^{tk}\)即可

實踐的時候，發(fā)現(xiàn)如果直接套用原來的模板，求出來的恰好就是\((\frac{A(x)}{a_tx^t})^k\)

雖然不知道為什么，感覺怎么也證明不出來，貌似是有問題的吧

還是先把原式都除以\(a_tx^t\)再算比較靠譜些

Code?

#include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; #define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b)) #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b)) #define reg register const int N=1<<18|5,P=998244353,g=3,invg=332748118; inline int read() {ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x*10ll+ch-'0')%P;ch=getchar();}return x*f; } #define Mul(x,y) (1ll*(x)*(y)%P) #define ri reg int i int _[N],pos[N]; int fpow(int x,int m){int r=1;for(;m;m>>=1,x=Mul(x,x))if(m&1)r=Mul(r,x);return r;} void der(int *a,int *b,int n){for(ri=0;i<n-1;++i) b[i]=Mul(i+1,a[i+1]);b[n-1]=0;} void inte(int *a,int *b,int n) {ri;for(_[1]=i=1;i<n;++i,_[i]=Mul(_[P%i],P-P/i));for(i=n-1;i;--i)b[i]=Mul(a[i-1],_[i]);b[0]=0; } void init(int len) {reg int i;for(i=0;i<len;++i) pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)*(len>>1)); } void NTT(int *a,int n,int type) {register int i,j,k,w,wn,X,Y;for(i=0;i<n;++i) if(i<pos[i]) swap(a[i],a[pos[i]]);for(i=1;i<n;i<<=1){wn=fpow(type>0?g:invg,(P-1)/(i<<1));for(j=0;j<n;j+=i<<1)for(w=1,k=0;k<i;++k,w=Mul(w,wn)){X=a[j+k],Y=Mul(w,a[j+k+i]);a[j+k]=(X+Y)%P;a[j+k+i]=(X-Y+P)%P;}}reg int invn=fpow(n,P-2);if(type==-1)for(i=0;i<n;++i)a[i]=Mul(a[i],invn); } void Comb(int *a,int *b,int *c,int n) {static int A[N],B[N],len;for(len=1;len<(n<<1);len<<=1);memcpy(A,a,sizeof(int[n]));memcpy(B,b,sizeof(int[n]));memset(A+n,0,sizeof(int[len-n]));memset(B+n,0,sizeof(int[len-n]));reg int i;init(len);NTT(A,len,1);NTT(B,len,1);for(i=0;i<len;++i) c[i]=Mul(A[i],B[i]);NTT(c,len,-1);memset(c+n,0,sizeof(int[len-n])); } void _I(int *A,int *b,int n) {if(n==1) return(void)(b[0]=fpow(A[0],P-2));int t=(n+1)>>1;_I(A,b,t);static int a[N],len;for(len=1;len<(n<<1);len<<=1);memcpy(a,A,sizeof(int[n]));memset(a+n,0,sizeof(int[len-n]));memset(b+t,0,sizeof(int[len-t]));init(len);reg int i;NTT(a,len,1);NTT(b,len,1);for(i=0;i<len;++i)b[i]=(Mul(2ll,b[i])-Mul(a[i],Mul(b[i],b[i]))+P)%P;NTT(b,len,-1);memset(b+n,0,sizeof(int[len-n])); } void Inv(int *A,int *b,int n) {static int a[N];memcpy(a,A,sizeof(int[n]));_I(a,b,n); } void ln(int *A,int *B,int n) {static int a[N],da[N];memcpy(a,A,sizeof(int[n]));memcpy(da,A,sizeof(int[n]));Inv(a,a,n);der(da,da,n);Comb(da,a,B,n);inte(B,B,n); } void _e(int *a,int *b,int n) {if(n==1)return(void)(b[0]=1);int t=(n+1)>>1;_e(a,b,t);static int xxx[N];ln(b,xxx,n);reg int i;for(i=0;i<n;++i)xxx[i]=(-xxx[i]+a[i]+P)%P;xxx[0]=(xxx[0]+1)%P;Comb(b,xxx,b,n); } void exp(int *A,int *b,int n) {static int a[N];memcpy(a,A,sizeof(int[n]));_e(a,b,n); } int A[N],xxx[N],B[N],n,k; int main() {n=read();k=read();reg int i,zero=0,x,K;bool flag=false;for(i=0;i<n;++i){x=read();!(x||flag)?++zero:flag=true,A[i-zero]=x;}if(!flag){for(i=0;i<n;++i) putchar('0'),putchar(' ');return 0;}K=fpow(A[0],k);for(i=0;i<n-zero;++i) A[i]=Mul(A[i],K);ln(A,xxx,n-zero);for(i=0;i<n-zero;++i) xxx[i]=Mul(xxx[i],k);exp(xxx,B,n-zero);zero=Mul(zero,k);for(i=0;i<min(zero,n);++i) putchar('0'),putchar(' ');for(i=zero;i<n;++i) printf("%d ",Mul(B[i-zero],K));return 0; }

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總結(jié)

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