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Mo^’ersi lilun
莫爾斯理論(卷名：數學)
Morse theory

　　微分拓撲的一個重要分支。通常是指兩部分內容：一部分是微分流形上可微函數的莫爾斯理論，即臨界點理論；另一部分是變分問題的莫爾斯理論，即大范圍變分法。確切地說，假設?是n維微分流形M上的實值可微函數，?的臨界點p是指梯度向量場grad?的零點，即在局部坐標下使得的點。?的全部臨界點的性態與流形M本身的拓撲結構有密切的關系，探索這些關系就是臨界點理論的主要任務。例如，著名的莫爾斯不等式就是這樣一種關系：

M₀≥R₀

M₁-M₀≥R₁-R₀，
????????????????……

M_k-M_k-1+…±M₀≥R_k-R_k-1+…±R₀，
????????????????……

M_n-M_n-1+…±M₀=R_n-R_n-1+…±R₀，

式中R_k是n維閉流形M的k維模2貝蒂數，即同調群h_k(M，Z₂)的秩，M_k是M上非退化函數?的指數為k的臨界點的個數。這里說?是非退化函數，是指?的任何臨界點p均非退化，即在局部坐標下?在p處的黑塞矩陣?? 之秩為n；這個矩陣的負特征值的個數稱為臨界點p的指數。莫爾斯不等式是H.M.莫爾斯本人在20世紀20年代建立的基本結果，后來有了遠為一般的結果。

?

例如，考慮圖1中環面M?關于水平切面V的高度函數?:M→R，其中p，q，r，s是?的四個非退化臨界點，其指數分別為0，1，1，2，因為可以適當選擇局部坐標，使得在p的鄰近?=?(p)+x²+y²(旋轉拋物面)，在q的鄰近?=?(q)-x²+y²(鞍面)，在r的鄰近?=?(r)-x²+y²（鞍面），在s的鄰近?=?(s)-x²-y²(旋轉拋物面)。命不難看出，當α由小變大經過各個臨界值時，M^α的同倫型發生表中所列的變化。
　　可見，當α從小變大經過指數為λ的臨界點時，M^α的同倫型變化相當于粘上一個λ維胞腔，從而整個環面M的同倫型相當于由一個 0維胞腔、兩個一維胞腔以及一個二維胞腔組成的CW復形，這樣就把M的同倫型與??的臨界點的性態聯系起來了。如果把這個事實推廣到一般情形就是：
臨界點理論的基本定理?　命M是微分流形，?:M→B是非退化函數，并且任何M^α都是緊致集。于是，每個M^α都具有一個有限CW復形的同倫型，從而整個M具有一個至多是可數的CW復形的同倫型：對于指數為λ的每個臨界點，這個復形有一個λ維胞腔。
　　臨界點理論的應用中最完美的是對測地線問題的應用，這就是變分學的莫爾斯理論。例如，考慮完備黎曼流形M上兩個固定端點p和q之間的測地線問題，即是使弧長為極小的變分問題：

式中ω:[0，1]→M?表示M上的逐段光滑道路，ω(0)=p，ω(1)=q；這個變分問題的泛極線就是所謂測地線。于是，從p?到q?的所有光滑測地線的性態與流形M的拓撲結構之間是否有什么關系，這就是大范圍變分學要研究的主要問題，可以應用臨界點理論的框架得到相似的結果。命Ω=Ω?(M；p，q)表示M上從p到q所有逐段光滑道路組成的空間，具有尺度拓撲。

式中ρ 表示M上由黎曼尺度導出的距離函數；表示ω?上的弧長。
大范圍變分學基本定理?　命M是完備黎曼流形，p，q∈M沿任何測地線不共軛，則Ω(M；p，q)具有可數CW復形的同倫型：對于從p到q每條指數為λ的測地線，這個復形有一個λ維胞腔。
　　隨著拓撲學的發展，莫爾斯理論本身也有很大的飛躍。例如，由于臨界點定義為梯度向量場grad??的零點，自然可以考慮n維閉流形M上一般向量場X?的零點與M的拓撲結構之間的關系，即M上的動力系統

的奇點與M的拓撲結構的關系。S.斯梅爾在某些假設下得到了形式相同的莫爾斯不等式，不過這時M_k=α_k+b_k+b_k+1，α_k表示向量場X?的k型零點的個數，b_k表示k型閉軌線的條數。斯梅爾正是在這個基礎上完成了他關于高維龐加萊猜想的卓越工作，這是微分拓撲學的重大成就之一。其次，由于測地線問題是一維變分問題，本來是無限維的空間Ω才能化為有限維流形應用臨界點理論來處理。但一般的多維變分問題就無法做到這一點，因而要求發展無限維流形上的臨界點理論，直接處理相應的無限維空間Ω，從而把原來的兩個方面統一起來。
參考書目
J.Milnor 著，江嘉禾譯：Morse理論，《數學譯林》，北京，1980～1981。(J. Milnor，Morse Theory，Ann. Math. Studies，Princeton Univ. Press，Princeton，1963.)
H.賽弗爾、W.施雷法著，江嘉禾譯:《大范圍變分學》，上海科學技術出版社，上海，1963。(H.Seifert und W.Threlfall，variationsrechnung im Grossen，Chelsea Pub.Co.，1948.)
S.Smale， Morse Inequalities for a ?Dynamical Systems，Bull. Amer. Math.Soc.，Vol. 66， pp.43～49，1960.
R.S.Palais， Morse Theory on Hibert Manifolds，Topology，Vol.2，pp. 299～340，1963.
R.S.Palais and S.Smale，A Generalized MorseTheory，Bull. Amer. Math. Soc.，Vol.70，pp.165～172，1964.?

江嘉禾

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總結

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