設(shè)計(jì)精美的寬基線雙目相機(jī)鎮(zhèn)文

Mo^’ersi lilun
莫爾斯理論(卷名：數(shù)學(xué))
Morse theory

　　微分拓?fù)涞囊粋€重要分支。通常是指兩部分內(nèi)容：一部分是微分流形上可微函數(shù)的莫爾斯理論，即臨界點(diǎn)理論；另一部分是變分問題的莫爾斯理論，即大范圍變分法。確切地說，假設(shè)?是n維微分流形M上的實(shí)值可微函數(shù)，?的臨界點(diǎn)p是指梯度向量場grad?的零點(diǎn)，即在局部坐標(biāo)下使得的點(diǎn)。?的全部臨界點(diǎn)的性態(tài)與流形M本身的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有密切的關(guān)系，探索這些關(guān)系就是臨界點(diǎn)理論的主要任務(wù)。例如，著名的莫爾斯不等式就是這樣一種關(guān)系：

M₀≥R₀

M₁-M₀≥R₁-R₀，
????????????????……

M_k-M_k-1+…±M₀≥R_k-R_k-1+…±R₀，
????????????????……

M_n-M_n-1+…±M₀=R_n-R_n-1+…±R₀，

式中R_k是n維閉流形M的k維模2貝蒂數(shù)，即同調(diào)群h_k(M，Z₂)的秩，M_k是M上非退化函數(shù)?的指數(shù)為k的臨界點(diǎn)的個數(shù)。這里說?是非退化函數(shù)，是指?的任何臨界點(diǎn)p均非退化，即在局部坐標(biāo)下?在p處的黑塞矩陣?? 之秩為n；這個矩陣的負(fù)特征值的個數(shù)稱為臨界點(diǎn)p的指數(shù)。莫爾斯不等式是H.M.莫爾斯本人在20世紀(jì)20年代建立的基本結(jié)果，后來有了遠(yuǎn)為一般的結(jié)果。

?

例如，考慮圖1中環(huán)面M?關(guān)于水平切面V的高度函數(shù)?:M→R，其中p，q，r，s是?的四個非退化臨界點(diǎn)，其指數(shù)分別為0，1，1，2，因?yàn)榭梢赃m當(dāng)選擇局部坐標(biāo)，使得在p的鄰近?=?(p)+x²+y²(旋轉(zhuǎn)拋物面)，在q的鄰近?=?(q)-x²+y²(鞍面)，在r的鄰近?=?(r)-x²+y²（鞍面），在s的鄰近?=?(s)-x²-y²(旋轉(zhuǎn)拋物面)。命不難看出，當(dāng)α由小變大經(jīng)過各個臨界值時，M^α的同倫型發(fā)生表中所列的變化。
　　可見，當(dāng)α從小變大經(jīng)過指數(shù)為λ的臨界點(diǎn)時，M^α的同倫型變化相當(dāng)于粘上一個λ維胞腔，從而整個環(huán)面M的同倫型相當(dāng)于由一個 0維胞腔、兩個一維胞腔以及一個二維胞腔組成的CW復(fù)形，這樣就把M的同倫型與??的臨界點(diǎn)的性態(tài)聯(lián)系起來了。如果把這個事實(shí)推廣到一般情形就是：
臨界點(diǎn)理論的基本定理?　命M是微分流形，?:M→B是非退化函數(shù)，并且任何M^α都是緊致集。于是，每個M^α都具有一個有限CW復(fù)形的同倫型，從而整個M具有一個至多是可數(shù)的CW復(fù)形的同倫型：對于指數(shù)為λ的每個臨界點(diǎn)，這個復(fù)形有一個λ維胞腔。
　　臨界點(diǎn)理論的應(yīng)用中最完美的是對測地線問題的應(yīng)用，這就是變分學(xué)的莫爾斯理論。例如，考慮完備黎曼流形M上兩個固定端點(diǎn)p和q之間的測地線問題，即是使弧長為極小的變分問題：

式中ω:[0，1]→M?表示M上的逐段光滑道路，ω(0)=p，ω(1)=q；這個變分問題的泛極線就是所謂測地線。于是，從p?到q?的所有光滑測地線的性態(tài)與流形M的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間是否有什么關(guān)系，這就是大范圍變分學(xué)要研究的主要問題，可以應(yīng)用臨界點(diǎn)理論的框架得到相似的結(jié)果。命Ω=Ω?(M；p，q)表示M上從p到q所有逐段光滑道路組成的空間，具有尺度拓?fù)洹?/span>

式中ρ 表示M上由黎曼尺度導(dǎo)出的距離函數(shù)；表示ω?上的弧長。
大范圍變分學(xué)基本定理?　命M是完備黎曼流形，p，q∈M沿任何測地線不共軛，則Ω(M；p，q)具有可數(shù)CW復(fù)形的同倫型：對于從p到q每條指數(shù)為λ的測地線，這個復(fù)形有一個λ維胞腔。
　　隨著拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展，莫爾斯理論本身也有很大的飛躍。例如，由于臨界點(diǎn)定義為梯度向量場grad??的零點(diǎn)，自然可以考慮n維閉流形M上一般向量場X?的零點(diǎn)與M的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，即M上的動力系統(tǒng)

的奇點(diǎn)與M的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的關(guān)系。S.斯梅爾在某些假設(shè)下得到了形式相同的莫爾斯不等式，不過這時M_k=α_k+b_k+b_k+1，α_k表示向量場X?的k型零點(diǎn)的個數(shù)，b_k表示k型閉軌線的條數(shù)。斯梅爾正是在這個基礎(chǔ)上完成了他關(guān)于高維龐加萊猜想的卓越工作，這是微分拓?fù)鋵W(xué)的重大成就之一。其次，由于測地線問題是一維變分問題，本來是無限維的空間Ω才能化為有限維流形應(yīng)用臨界點(diǎn)理論來處理。但一般的多維變分問題就無法做到這一點(diǎn)，因而要求發(fā)展無限維流形上的臨界點(diǎn)理論，直接處理相應(yīng)的無限維空間Ω，從而把原來的兩個方面統(tǒng)一起來。
參考書目
J.Milnor 著，江嘉禾譯：Morse理論，《數(shù)學(xué)譯林》，北京，1980～1981。(J. Milnor，Morse Theory，Ann. Math. Studies，Princeton Univ. Press，Princeton，1963.)
H.賽弗爾、W.施雷法著，江嘉禾譯:《大范圍變分學(xué)》，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，上海，1963。(H.Seifert und W.Threlfall，variationsrechnung im Grossen，Chelsea Pub.Co.，1948.)
S.Smale， Morse Inequalities for a ?Dynamical Systems，Bull. Amer. Math.Soc.，Vol. 66， pp.43～49，1960.
R.S.Palais， Morse Theory on Hibert Manifolds，Topology，Vol.2，pp. 299～340，1963.
R.S.Palais and S.Smale，A Generalized MorseTheory，Bull. Amer. Math. Soc.，Vol.70，pp.165～172，1964.?

江嘉禾

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎勵來咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Morse理论：拓扑不变性特征匹配原理的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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