原文-LSTM的反向傳播：深度學習(6)-長短期網路；此處僅摘抄一小段，建議拜訪全文。

LSTM的參數訓練：https://www.jianshu.com/p/dcec3f07d3b5；LSTM的參數訓練和前向計算比RNNs還是稍微復雜一些。

長短時記憶網絡的前向計算

前面描述的開關是怎樣在算法中實現的呢？這就用到了門（gate）的概念。門實際上就是一層全連接層，它的輸入是一個向量，輸出是一個0到1之間的實數向量。假設W是門的權重向量，b是偏置項，那么門可以表示為：

門的使用，就是用門的輸出向量按元素乘以我們需要控制的那個向量。因為門的輸出是0到1之間的實數向量，那么，當門輸出為0時，任何向量與之相乘都會得到0向量，這就相當于啥都不能通過；輸出為1時，任何向量與之相乘都不會有任何改變，這就相當于啥都可以通過。因為（也就是sigmoid函數）的值域是(0,1)，所以門的狀態都是半開半閉的。

LSTM用兩個門來控制單元狀態c的內容，一個是遺忘門（forget gate），它決定了上一時刻的單元狀態有多少保留到當前時刻；另一個是輸入門（input gate），它決定了當前時刻網絡的輸入有多少保存到單元狀態。LSTM用輸出門（output gate）來控制單元狀態有多少輸出到LSTM的當前輸出值。

我們先來看一下遺忘門：

上式中，是遺忘門的權重矩陣，表示把兩個向量連接成一個更長的向量，是遺忘門的偏置項，是sigmoid函數。如果輸入的維度是，隱藏層的維度是，單元狀態的維度是（通常），則遺忘門的權重矩陣維度是。事實上，權重矩陣都是兩個矩陣拼接而成的：一個是，它對應著輸入項，其維度為；一個是，它對應著輸入項，其維度為。可以寫為：

下圖顯示了遺忘門的計算：

接下來看看輸入門：

上式中，是輸入門的權重矩陣，是輸入門的偏置項。下圖表示了輸入門的計算：

接下來，我們計算用于描述當前輸入的單元狀態，它是根據上一次的輸出和本次輸入來計算的：

下圖是的計算：

現在，我們計算當前時刻的單元狀態。它是由上一次的單元狀態按元素乘以遺忘門，再用當前輸入的單元狀態按元素乘以輸入門，再將兩個積加和產生的：

符號o表示按元素乘。下圖是的計算：

這樣，我們就把LSTM關于當前的記憶和長期的記憶組合在一起，形成了新的單元狀態。由于遺忘門的控制，它可以保存很久很久之前的信息，由于輸入門的控制，它又可以避免當前無關緊要的內容進入記憶。下面，我們要看看輸出門，它控制了長期記憶對當前輸出的影響：

下圖表示輸出門的計算：

LSTM最終的輸出，是由輸出門和單元狀態共同確定的：

下圖表示LSTM最終輸出的計算：

式1到式6就是LSTM前向計算的全部公式。至此，我們就把LSTM前向計算講完了。

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長短時記憶網絡的訓練

熟悉我們這個系列文章的同學都清楚，訓練部分往往比前向計算部分復雜多了。LSTM的前向計算都這么復雜，那么，可想而知，它的訓練算法一定是非常非常復雜的。現在只有做幾次深呼吸，再一頭扎進公式海洋吧。

LSTM訓練算法框架

LSTM的訓練算法仍然是反向傳播算法，對于這個算法，我們已經非常熟悉了。主要有下面三個步驟：

前向計算每個神經元的輸出值，對于LSTM來說，即五個向量的值。計算方法已經在上一節中描述過了。

反向計算每個神經元的誤差項值。與循環神經網絡一樣，LSTM誤差項的反向傳播也是包括兩個方向：一個是沿時間的反向傳播，即從當前t時刻開始，計算每個時刻的誤差項；一個是將誤差項向上一層傳播。

根據相應的誤差項，計算每個權重的梯度。

關于公式和符號的說明

首先，我們對推導中用到的一些公式、符號做一下必要的說明。

接下來的推導中，我們設定gate的激活函數為sigmoid函數，輸出的激活函數為tanh函數。他們的導數分別為：

從上面可以看出，sigmoid和tanh函數的導數都是原函數的函數。這樣，我們一旦計算原函數的值，就可以用它來計算出導數的值。

LSTM需要學習的參數共有8組，分別是：遺忘門的權重矩陣和偏置項、輸入門的權重矩陣和偏置項、輸出門的權重矩陣和偏置項，以及計算單元狀態的權重矩陣和偏置項。因為權重矩陣的兩部分在反向傳播中使用不同的公式，因此在后續的推導中，權重矩陣都將被寫為分開的兩個矩陣：、。

我們解釋一下按元素乘符號o。當o作用于兩個向量時，運算如下：

當o作用于一個向量和一個矩陣時，運算如下：

當o作用于兩個矩陣時，兩個矩陣對應位置的元素相乘。按元素乘可以在某些情況下簡化矩陣和向量運算。例如，當一個對角矩陣右乘一個矩陣時，相當于用對角矩陣的對角線組成的向量按元素乘那個矩陣：

當一個行向量右乘一個對角矩陣時，相當于這個行向量按元素乘那個矩陣對角線組成的向量：

上面這兩點，在我們后續推導中會多次用到。

在t時刻，LSTM的輸出值為。我們定義t時刻的誤差項為：

注意，和前面幾篇文章不同，我們這里假設誤差項是損失函數對輸出值的導數，而不是對加權輸入的導數。因為LSTM有四個加權輸入，分別對應，我們希望往上一層傳遞一個誤差項而不是四個。但我們仍然需要定義出這四個加權輸入，以及他們對應的誤差項。

誤差項沿時間的反向傳遞

沿時間反向傳遞誤差項，就是要計算出t-1時刻的誤差項。

我們知道，是一個Jacobian矩陣。如果隱藏層h的維度是N的話，那么它就是一個矩陣。為了求出它，我們列出的計算公式，即前面的式6和式4：

顯然，都是的函數，那么，利用全導數公式可得：

下面，我們要把式7中的每個偏導數都求出來。根據式6，我們可以求出：

根據式4，我們可以求出：

因為：

我們很容易得出：

將上述偏導數帶入到式7，我們得到：

根據的定義，可知：

式8到式12就是將誤差沿時間反向傳播一個時刻的公式。有了它，我們可以寫出將誤差項向前傳遞到任意k時刻的公式：

將誤差項傳遞到上一層

我們假設當前為第l層，定義l-1層的誤差項是誤差函數對l-1層加權輸入的導數，即：

?

本次LSTM的輸入由下面的公式計算：

上式中，表示第l-1層的激活函數。

因為都是的函數，又是的函數，因此，要求出E對的導數，就需要使用全導數公式：

式14就是將誤差傳遞到上一層的公式。

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權重梯度的計算

對于的權重梯度，我們知道它的梯度是各個時刻梯度之和（證明過程請參考文章零基礎入門深度學習(5) - 循環神經網絡），我們首先求出它們在t時刻的梯度，然后再求出他們最終的梯度。

我們已經求得了誤差項，很容易求出t時刻的：

將各個時刻的梯度加在一起，就能得到最終的梯度：

對于偏置項的梯度，也是將各個時刻的梯度加在一起。下面是各個時刻的偏置項梯度：

下面是最終的偏置項梯度，即將各個時刻的偏置項梯度加在一起：

對于的權重梯度，只需要根據相應的誤差項直接計算即可：

以上就是LSTM的訓練算法的全部公式。因為這里面存在很多重復的模式，仔細看看，會發覺并不是太復雜。

當然，LSTM存在著相當多的變體，讀者可以在互聯網上找到很多資料。因為大家已經熟悉了基本LSTM的算法，因此理解這些變體比較容易，因此本文就不再贅述了。

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長短時記憶網絡的實現

完整代碼請參考GitHub:?https://github.com/hanbt/learn_dl/blob/master/lstm.py?(python2.7)

在下面的實現中，LSTMLayer的參數包括輸入維度、輸出維度、隱藏層維度，單元狀態維度等于隱藏層維度。gate的激活函數為sigmoid函數，輸出的激活函數為tanh。

激活函數的實現

我們先實現兩個激活函數：sigmoid和tanh。

class SigmoidActivator(object):def forward(self, weighted_input):return 1.0 / (1.0 + np.exp(-weighted_input))def backward(self, output):return output * (1 - output) class TanhActivator(object):def forward(self, weighted_input):return 2.0 / (1.0 + np.exp(-2 * weighted_input)) - 1.0def backward(self, output):return 1 - output * output

LSTM初始化、前向計算、反向傳播（誤差項、梯度項）、梯度下降法、梯度檢查Python代碼的實現；

請繼續參考原文：

https://zybuluo.com/hanbingtao/note/581764

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的DNN：LSTM的前向计算和参数训练的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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