頻域分析與設(shè)計(jì)法是經(jīng)典控制理論的核心內(nèi)容。頻域法中用到的Bode plot，Nyquist plot等是工程中控制設(shè)計(jì)與分析有力的工具。學(xué)好頻域法是學(xué)好經(jīng)典控制內(nèi)容最重要的一步。

應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到現(xiàn)代控制技術(shù)多已經(jīng)轉(zhuǎn)向以狀態(tài)空間分析法為主的時(shí)域分析方法，但是頻域分析方法在實(shí)際工程中依舊能夠提供豐富的信息。這其中不乏很多信號(hào)分析的有關(guān)知識(shí)和技巧，涉及到“信號(hào)與系統(tǒng)（Signals & Systems）”與“數(shù)字信號(hào)處理（Digtial Signal Processing,DSP）”等方面。

我們之前講過時(shí)域分析系統(tǒng)性能和根軌跡設(shè)計(jì)。在頻域分析與設(shè)計(jì)中，我們同樣有頻域中的系統(tǒng)性能指標(biāo)，以及設(shè)計(jì)相應(yīng)指標(biāo)的設(shè)計(jì)方法。在頻域中，利用Bode plot和Nyquist plot等圖解方法可以高效地完成SISO系統(tǒng)的設(shè)計(jì)工作。

本篇介紹頻域分析方法一些基礎(chǔ)，為后續(xù)做鋪墊：

頻率響應(yīng) Frequency Response

伯德圖 Bode Plot

帶寬 Bandwidth

系統(tǒng)型號(hào) 與 穩(wěn)態(tài)誤差 Type and steady-state Error

本篇小節(jié)

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1. 頻率響應(yīng) Frequency Response

頻率響應(yīng)（Frequency Response）通常是指LTI系統(tǒng)對(duì)正弦類信號(hào)的響應(yīng)。如果LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的，當(dāng)瞬態(tài)消失后，最后響應(yīng)只留下的穩(wěn)態(tài)信號(hào)依舊是正弦類信號(hào)，只是幅值和相位發(fā)生了改變。我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)一個(gè)傳遞函數(shù)為

的系統(tǒng)輸入正弦類函數(shù)后，其幅值會(huì)變?yōu)樵瓉淼? 倍，相位差變成了 ，這樣我們可以把幅頻特性和相頻特性用冪指數(shù)的方法結(jié)合在一起 。這一點(diǎn)在非線性系統(tǒng)或者時(shí)變系統(tǒng)中不成立，輸出的信號(hào)最后可能含有除了輸入信號(hào)頻率之外的頻率。我們把 稱為幅值頻率特性（magnitude）， 稱為相位頻率特性（phase）。

2. 伯德圖 Bode Plot

伯德圖 (Bode Plot) 是頻域分析的重要工具，它圖示了系統(tǒng)的頻率特性。

Bode Plot 由對(duì)數(shù)幅頻曲線和對(duì)數(shù)相頻曲線組成。在Bode Plot中頻率特性

可以根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)分解成獨(dú)立乘積項(xiàng)的對(duì)數(shù)之和差。一般縱軸上的幅值會(huì)以分貝（dB）為單位。由于Power dB的標(biāo)準(zhǔn)定義式是功率之比的以10為底的對(duì)數(shù)的十倍：

我們知道功率與電壓的平方成正比，所以功率增益power gain也可以寫作

這就是Bode圖中縱軸幅值以

形式出現(xiàn)的原因，此外幅值的乘除由于對(duì)數(shù)的性質(zhì)就可以轉(zhuǎn)化為加減運(yùn)算，方便了Bode圖曲線的疊加。

Bode的橫軸采用的對(duì)數(shù)分度，當(dāng)頻率增大10倍時(shí)，坐標(biāo)軸上距離變化為一個(gè)單位長(zhǎng)度。這種做法使橫軸實(shí)現(xiàn)了非線性的壓縮，能夠在較大頻率范圍內(nèi)表示頻率特性的變化[2]。

頻域設(shè)計(jì)法和根軌跡設(shè)計(jì)法中設(shè)計(jì)閉環(huán)控制系統(tǒng)的思路是一樣的，即通過系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)來設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)指標(biāo)，達(dá)到設(shè)計(jì)要求。所以應(yīng)該明確一般設(shè)計(jì)控制器時(shí)，我們都會(huì)根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)（Open loop transfer function,OLTF）來畫開環(huán)Bode plot。我們會(huì)在接下來的幾篇文章中介紹開環(huán)Bode plot設(shè)計(jì)方法。

設(shè)計(jì)開環(huán)Bode plot的意義在于我們可以不斷調(diào)整開環(huán)傳遞函數(shù)(OLTF)，其中包含了我們想要設(shè)計(jì)的控制器或者補(bǔ)償器部分，來實(shí)現(xiàn)達(dá)到閉環(huán)設(shè)計(jì)指標(biāo)的目的。可以對(duì)比我們?cè)诟壽E設(shè)計(jì)中的做法，我們同樣是根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)畫出了閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡來確定系統(tǒng)性能的。 至于如何調(diào)整OLTF，我們會(huì)在接下來介紹相位裕度(phase margin,PM)，幅值裕度(gain margin,GM)，穿越頻率(crossover frequency)等開環(huán)頻域指標(biāo)以及他們是如何影響閉環(huán)系統(tǒng)性能的。

我們也可以畫閉環(huán)Bode plot。閉環(huán)Bode plot是閉環(huán)系統(tǒng)在頻域中幅值與相位的圖示。這與時(shí)域中閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線表示系統(tǒng)性能的意義是一致的，即閉環(huán)Bode plot中我們也可以定義閉環(huán)頻域指標(biāo)，我們將閉環(huán)頻域指標(biāo)與閉環(huán)時(shí)域指標(biāo)進(jìn)行對(duì)應(yīng)。所以時(shí)域指標(biāo)就可以轉(zhuǎn)化為頻域指標(biāo)，通過頻域設(shè)計(jì)的方法實(shí)現(xiàn)。關(guān)于開環(huán)Bode plot和閉環(huán)Bode plot的內(nèi)容，我認(rèn)為 @lenleo 的回答非常好，以下貼鏈接：

開環(huán)或者閉環(huán)傳遞函數(shù)的伯德圖意義？?www.zhihu.com

總結(jié)一下Bode plot設(shè)計(jì)閉環(huán)控制系統(tǒng)的思路：

設(shè)計(jì)controller(or compensator)

→ 畫出開環(huán)傳遞函數(shù) 的Bode plot → 根據(jù)開環(huán)頻域指標(biāo)調(diào)整設(shè)計(jì) → 畫出閉環(huán)傳遞函數(shù)的Bode plot → 檢驗(yàn)各閉環(huán)指標(biāo)

3. 帶寬 Bandwidth

頻率特性本身并沒有要求一定要是開環(huán)系統(tǒng)或者閉環(huán)系統(tǒng)的特性。 即便如此，我們最后關(guān)心的還是閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性，因?yàn)槲覀冏罱K的目的就是要設(shè)計(jì)控制器來實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制，讓閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到我們期望的性能。因此建立起閉環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能之間的聯(lián)系是很有必要的，這將指導(dǎo)我們檢驗(yàn)頻域設(shè)計(jì)的好壞。 研究開環(huán)頻率特性便于我們進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，最終目的還是要讓閉環(huán)頻率特性達(dá)到我們的要求。

帶寬（Bandwidth）是閉環(huán)系統(tǒng)的一個(gè)設(shè)計(jì)指標(biāo)之一。以機(jī)械系統(tǒng)中典型的二階標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)為例：

其Bode plot如下，橫軸這里取的是與自然頻率的比值：

我們定義帶寬是幅值第一次衰減到比DC gain小-3db的值或者DC gain的70.7%處時(shí)的頻率。這個(gè)點(diǎn)的來源是由于此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出的功率變?yōu)榱嗽瓉淼?/2，所以幅值就是原來的

，即0.707。對(duì)于圖示的系統(tǒng)，由于DC gain為1（即s=0時(shí)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入幅值比為1），所以帶寬頻率就對(duì)應(yīng)幅值為-3db處的頻率。在帶寬頻率之內(nèi)我們認(rèn)為系統(tǒng)的輸出還是能夠很好的跟蹤正弦輸入的，超出帶寬之外我們發(fā)現(xiàn)幅值隨著頻率會(huì)驟然下降。低通濾波器的截止頻率（Cutoff frequency）和這里的帶寬定義式一致的。

Bandwidth是一個(gè)很重要的用來衡量響應(yīng)速度的指標(biāo)，非常類似于時(shí)域中的rise time或者peak time。圖6.3中阻尼比0.7左右時(shí)，帶寬和自然頻率基本相等，從而可以用帶寬來替代自然頻率估計(jì)系統(tǒng)性能，在其他阻尼比時(shí)也可以近似這樣處理。

需要指出的是這里對(duì)Bandwidth的定義是基于有低通濾波器（low-pass filter）性質(zhì)的系統(tǒng)而言的，也就是說在低頻率時(shí)（s較小時(shí)）輸出的幅值比能保持為一個(gè)較大的數(shù)值, 從而實(shí)現(xiàn)低頻率信號(hào)“直接”通過的目的，即低通的含義。從6.3和6.5中我們都能看出，隨著頻率變高，信號(hào)衰減越來越厲害，做到了“阻止”高頻信號(hào)通過，即高阻。 低通高阻是low-pass filter的特點(diǎn)，絕大部分實(shí)際的控制系統(tǒng)都是如此的。 回憶我們說過絕大多數(shù)的實(shí)際系統(tǒng)的傳遞函數(shù)都是proper的，也就是分子階次低于分母階次。

我們以

為例，這個(gè)傳遞函數(shù)的DC gain是s=0時(shí)的值，為1/4。隨著s的增大，這個(gè)傳遞函數(shù)趨于0，在bode plot上就會(huì)不斷下降。因此我們可以想象其頻率特性曲線的樣子。 下圖是MATLAB中用bode命令繪畫出來的圖。

我們看到Bode Plot在頻率很小時(shí)，其幅值為 -12 dB左右，正是20log(1/4)的值（-12.0412）。在一段頻率區(qū)間之內(nèi)其幅頻一直保持不變，隨后迎來了共振峰，然后會(huì)開始下降。這與我們的預(yù)期分析是一致的。我們可以計(jì)算帶寬的大小，應(yīng)該是在幅頻為-12db-3db=-15dB處的頻率。我們可以看到約為6.32就是我們知道的帶寬。帶寬越大，這個(gè)系統(tǒng)響應(yīng)速度就越快，我們?cè)谙乱黄恼轮兄vBode Plot的繪制時(shí)再提一提這個(gè)理解。

那么如果分子和分母的階次一樣了會(huì)怎么樣呢，我們可以想象其頻率不斷增大時(shí)，其輸出幅值會(huì)保持在一個(gè)數(shù)。例如一個(gè)一階高通濾波器（High-pass filter）

這個(gè)HPF的截止頻率同樣一般是定義為0dB-3dB=-3dB處的頻率，也就是極點(diǎn)s=-1處。但是我們卻無法定義其帶寬，因?yàn)殡S著s增大，其值只會(huì)慢慢接近0dB，也可以認(rèn)為其帶寬是無窮大的，輸出會(huì)和輸入的幅值相等，實(shí)現(xiàn)“高通低阻”。

對(duì)于一般的系統(tǒng)基本都是具有低階濾波器性質(zhì)的，頻率不斷增加信號(hào)會(huì)衰減，因此分母的階次都會(huì)比分子要高，這與Bode Plot所顯示的高頻部分是對(duì)應(yīng)的。

帶寬的定義并不是唯一的，我們可以自己定義cutoff frequency，但是在控制工程中一般還是以-3dB為標(biāo)準(zhǔn)。

關(guān)于傳遞函數(shù)階數(shù)的問題可以參考知乎回答，希望給大家一點(diǎn)啟示：

為什么傳遞函數(shù)分母中s的階數(shù)n必不小于分子中s的階數(shù)m??www.zhihu.com

4. 系統(tǒng)型號(hào)System Type 與 穩(wěn)態(tài)誤差 Steady-state Error

我們?cè)僖淮位氐搅薙ystem Type和穩(wěn)態(tài)誤差的問題。

我們重新回顧一下，我們這里的穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)對(duì)多項(xiàng)式信號(hào)（Polynomial Signal）的穩(wěn)態(tài)誤差。你可能注意到了一個(gè)問題，頻率特性的幅頻特性其實(shí)也是一種穩(wěn)態(tài)誤差的表現(xiàn)。在不同頻率下，輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的比值會(huì)發(fā)生變化。對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)我們發(fā)現(xiàn)隨著頻率的增加，輸出信號(hào)的幅值會(huì)越來越小，這意味著正弦類信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差會(huì)隨著頻率的增大而逐漸增大，誤差的最大值應(yīng)該會(huì)逼近原輸入信號(hào)的幅值（因?yàn)榉l隨著頻率會(huì)趨于無窮小）。

我們先以0型系統(tǒng)為例，依舊是

。其Bode Plot我們?cè)谏厦嬉呀?jīng)畫過了。

我們分析得到，當(dāng)頻率非常小時(shí)，原頻率特性直流增益

我們之間計(jì)算過0型系統(tǒng)對(duì)階躍信號(hào)step input的穩(wěn)態(tài)誤差，單位反饋時(shí)為

由此我們發(fā)現(xiàn)大的DC gain可以減小閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。在單位反饋（unity feedback）時(shí)，DC gain就是該系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)。并且我們發(fā)現(xiàn)0型系統(tǒng)的bode plot在低頻段是近似一條斜率為0的直線，和常數(shù)一樣。確實(shí)，低頻段我們發(fā)現(xiàn)幅頻值與DC gain幾乎一樣。

由此我們可以推廣到一個(gè)n型系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)中有n個(gè)積分器（1/s）。對(duì)應(yīng)的頻率特性在低頻段我們可以得到一個(gè)近似的結(jié)果：

上面這個(gè)結(jié)果需要你動(dòng)手寫一寫，看看能不能得到。

當(dāng)n=0時(shí)，0型系統(tǒng)的低頻曲線為常數(shù)

，即DC gain。

當(dāng)n=1時(shí)，I型系統(tǒng)的低頻曲線為

。我們將這個(gè)幅值化為分貝dB，低頻曲線方程約為 ，可知曲線以-20dB/decade下降 。當(dāng) 時(shí)我們就可以從圖中讀出 的值。 是除去一個(gè)積分器后開環(huán)函數(shù)的DC gain。

下圖是

的Bode Plot，可以驗(yàn)證此時(shí)實(shí)際的 為0.4（-7.96dB），斜率為-20dB/decade。根據(jù)上面的結(jié)論 時(shí)我們得到 約為-8.14，結(jié)果是很接近的。

更高type的系統(tǒng)同理，曲線斜率會(huì)增大，每提高一個(gè)type，就會(huì)增加-20db/decade的斜率，其除去積分器后開環(huán)函數(shù)的DC gain總是可以從圖中找出。我們?cè)诤罄m(xù)設(shè)計(jì)中總希望這個(gè)常數(shù)能夠增大一些，讓穩(wěn)態(tài)誤差減小。

本篇小節(jié)：

這篇先對(duì)頻域設(shè)計(jì)和分析方法有一個(gè)大概介紹，并且簡(jiǎn)單回顧了頻率特性和Bode Plot的概念，重點(diǎn)提了提Bandwidth和Steady-state error。我按照 [1]里的順序?qū)@塊進(jìn)行總結(jié)和重點(diǎn)分析，我覺得總體上是非常合理的，也給學(xué)習(xí)[2]的同學(xué)一點(diǎn)不一樣的感覺。

下一篇文章會(huì)講Bode Plot的繪制，我覺得相比于根軌跡的繪制，Bode Plot的繪制方法對(duì)理解Bode Plot是很大幫助的。Bode Plot對(duì)系統(tǒng)的頻率特性進(jìn)行了圖示，讓我們一目了然地看清了系統(tǒng)在不同頻率下的幅值與相位的變化。我們可以對(duì)某一個(gè)系統(tǒng)的低頻響應(yīng)和高頻響應(yīng)做出判斷。我們以低通濾波器LPF和高通濾波器HPF為例，畫了它們各自的Bode Plot，確實(shí)如它們的名字所述“低通高阻”或者“高通低阻”。

之后我們會(huì)通過Bode Plot來理解傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，以及為什么微分信號(hào)會(huì)放大噪音等等這些問題。這一切都會(huì)從Bode Plot的繪制開始說起。

Reference：

[1] G.F. Franklin, J.D. Powell, A.Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, 7th Edition, 2014, Pearson

[2] 胡壽松，自動(dòng)控制原理（第六版），2013，科學(xué)出版社

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的得到频域波形的坐标数组_10. 频域法之序的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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