一、正交向量組

（1）定義

? ? ? ? 若一個非零向量組中的向量兩兩相交，則稱該向量組為正交向量組；

? ? ? ? 由單個非零向量組成的向量組也為正交向量組

（2）判斷

1.2.1 方法

????????證明兩兩相交的的方法就是計算向量的內積和是否為 0 ；

?1.2.2?

????????例：

? ? ? ? 有一向量組 α1 = （ 1，1，1 ），α2 = （ -1，2，-1 ），α3 = （ -1，0，1 ），問其是否為正交向量組；

????????解：?

? ? ? ? ?因為向量組中的向量內積和都為 0 ，所以該向量組為正交向量組；

二、正交基與規范正交基

（1）正交基

2.1.1 定義

? ? ? ? ?設 α1，α2，……，αr 是向量空間 V ( V ? R^n ) 的一個基，如果 α1，α2，……，αr 兩兩相交，那么我們就稱? α1，α2，……，αr 是 V 的一個正交基；

2.1.2?

????????例：

????????已知三維空間組的兩個向量正交，試求?α3 使 α1，?α2，?α3，構成三位空間的一個正交基；

?????????解：

（2）規范正交基

2.2.1 定義

? ? ? ? ?設 n 維向量 e1，e2，……，er 是向量空間 V ( V ? R^n ) 的一個基，如果 e1，e2，……，er 兩兩相交并且都是單位向量，那么我們就稱? e1，e2，……，er 是 V 的一個規范正交基；

2.2.2 正交規范化

施密特正交化公式：

?2.2.3

????????例：

?????????解：

三、正交矩陣

（1）定義

? ? ? ? 如果 n 階矩陣 A 滿足 A^T A = A A^T = E ,則稱 A 為正交矩陣；( E 為單位矩陣?)

（2）性質

? ? ? ? a.?正交矩陣的轉置矩陣跟它的逆矩陣相等；

? ? ? ? b. 正交矩陣的行列式等于 ±1 ；

? ? ? ? c. 正交矩陣的行（列）向量都是規范正交基；

?（3）

????????例：

?????????解：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数（9）：线性正交的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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