伯努利方程?
Bernoulli equation
流體宏觀運(yùn)動(dòng)機(jī)械能守恒原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式。1738年瑞士數(shù)學(xué)家D.伯努利在《水動(dòng)力學(xué)──關(guān)于流體中力和運(yùn)動(dòng)的說明》中提出了這一方程。它可由理想流體運(yùn)動(dòng)方程（即歐拉方程）在定態(tài)流動(dòng)條件下沿流線積分得出；也可由熱力學(xué)第一定律導(dǎo)出。它是一維流動(dòng)問題中的一個(gè)主要關(guān)系式，在分析不可壓縮流體的定態(tài)流動(dòng)時(shí)十分重要，常用于確定流動(dòng)過程中速度和壓力之間的相互關(guān)系。
方程的形式? 對于不可壓縮的理想流體，密度不隨壓力而變化，可得：?

式中Z為距離基準(zhǔn)面的高度;p為靜壓力;u為流體速度;ρ為流體密度;g為重力加速度。方程中的每一項(xiàng)均為單位質(zhì)量流體所具有的機(jī)械能，其單位為N·m/kg，式中左側(cè)三項(xiàng)，依次稱為位能項(xiàng)、靜壓能項(xiàng)和動(dòng)能項(xiàng)。方程表明三種能量可以相互轉(zhuǎn)換，但總和不變。當(dāng)流體在水平管道中流動(dòng)時(shí)Z不變，上式可簡化為：

此式表述了流速與壓力之間的關(guān)系:流速大處壓力小,流速小處壓力大。?
對于單位重量流體,取管道的1、2兩截面為基準(zhǔn),則方程的形式成為：

式中每一項(xiàng)均為單位重量流體的能量，具有長度的因次，三項(xiàng)依次稱為位頭、靜壓頭和動(dòng)壓頭（速度頭）。?
對于可壓縮理想流體，密度隨壓力而變化。若這一變化是可逆等溫過程，則方程可寫成下式：?

若為可逆絕熱過程，方程可寫為：?

式中γ為定壓比熱容c_p和定容比熱容c_V之比，即比熱容比，也稱為絕熱指數(shù)。?
對于粘性流體，流動(dòng)截面上存在著速度分布，如用平均流速ū表達(dá)動(dòng)能項(xiàng)，應(yīng)對其乘以動(dòng)能校正系數(shù) α。此外,還需考慮因粘性引起的流動(dòng)阻力,即造成單位質(zhì)量流體的機(jī)械能損失h_f，若在流體流動(dòng)過程中，單位質(zhì)量流體又接受了流體輸送機(jī)械所做的功W，在這些條件下,若取處于均勻流段的兩截面1和2為基準(zhǔn)，則方程可擴(kuò)充為：?

α 值可由速度分布計(jì)算而得, 流體在圓管內(nèi)作層流流動(dòng)時(shí) α=2；作湍流流動(dòng)時(shí)， α≈1.06。?
方程的應(yīng)用? 伯努利方程闡明的位能、動(dòng)能、靜壓能相互轉(zhuǎn)換的原理，可用來分析計(jì)算一些實(shí)際問題，例如：?
①計(jì)算流體從小孔流出的流速 設(shè)在容器中盛有液體，液面維持不變,距液面下h處的容器壁面上開有一小孔，液體在重力作用下自小孔流出。據(jù)伯努利方程可以計(jì)算出液體由小孔流出時(shí)的平均流速為：?

式中Cd為孔流系數(shù)，其值由實(shí)驗(yàn)確定，約為0.61～0.62；g為重力加速度。由上述速度及已知的小孔面積,可算出通過小孔的流量；或由這一關(guān)系，計(jì)算確定達(dá)到一定流量所必須維持的液面高度。若氣體在一定壓力差作用下由容器壁上的小孔流出，當(dāng)速度不過大時(shí)，可視為不可壓縮流體，其流量也可以利用伯努利方程來估計(jì)。?

②畢托管 設(shè)均勻氣流以等速uo繞過某物體流動(dòng)，氣流受阻后在物體前緣（A處）停滯，形成駐點(diǎn)（圖1），該點(diǎn)處的壓力稱為駐點(diǎn)壓力p_A。若未受擾動(dòng)的某點(diǎn)O壓力為p_o，由伯努利方程可得?

測出p_A與p_o的差值,即可算出流速u_o。據(jù)此原理計(jì)設(shè)的測速裝置，稱測速器,又稱畢托管。畢托管（圖2）由一個(gè)圓頭的雙層套管組成，在圓頭中心處開有與內(nèi)套管相連的小孔,內(nèi)套管與測壓計(jì)的一頭聯(lián)接,以測定駐點(diǎn)壓力pA；在外套管側(cè)表面一定距離處，沿周向均勻地開一排與管壁垂直的靜壓孔，外套管與測壓計(jì)的另一頭相聯(lián)，以測定壓力p_o。根據(jù)測得的壓力差h,可計(jì)算測點(diǎn)處的流速。?

③文丘里管 又稱文氏管(圖3)，是一種先收縮而后逐漸擴(kuò)大的管道。由于截面積有變化，流速改變，根據(jù)伯努利方程，壓力也隨之改變。量出管前與喉管處的壓力差，即可推算流量。用于測量流量的文丘里管，稱文丘里流量計(jì)。又由于文丘里管喉部形成高速氣流，會(huì)產(chǎn)生負(fù)壓而抽吸液體，使氣液密切接觸，用于完成氣體的洗滌、冷卻、吸收和反應(yīng)等操作。用于這類操作的文丘里管稱為文丘里洗滌器。

伯努利方程
Bernoulli equation
流體在忽略粘性損失的流動(dòng)中，流線上任意兩點(diǎn)的壓力勢能、動(dòng)能與位勢能之和保持不變。這個(gè)理論是由瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾第一·伯努利在1738年提出的，當(dāng)時(shí)被稱為伯努利原理。后人又將重力場中歐拉方程在定常流動(dòng)時(shí)沿流線的積分稱為伯努利積分，將重力場中無粘性流體定常絕熱流動(dòng)的能量方程稱為伯努利定理。這些統(tǒng)稱為伯努利方程，是流體動(dòng)力學(xué)基本方程之一。
重力場中無粘性不可壓縮流體定常流動(dòng)的伯努利方程有以下3種形式
(1)

(2)

(3)

式中下角標(biāo)"1"、"2"分別表示流線上任意兩點(diǎn)的位置；式(1)中、、gz和E分別視為單位質(zhì)量流體的壓力勢能、動(dòng)能、位勢能和總能量；式(2)常用在水力工程方面。式中、、z 和H 分別稱為壓力水頭、速度水頭、位置水頭和總水頭;式(3)經(jīng)常用于流體測量方面，它忽略了重力項(xiàng)的影響。式中p、和p0分別稱為靜壓、動(dòng)壓和總壓。以上 3式分別表示流線上任意兩點(diǎn)的總能量、總水頭和總壓相同。
圖中的水箱小孔出流，可作為伯努利方程的應(yīng)用實(shí)例。p1=p2=pα，pα為大氣壓力，因?yàn)榱魉?#xff0c;由式(1)可得小孔出流速度。其中h為小孔到液面的高度。

對于重力場中無粘性氣體的定常絕熱流動(dòng)，伯努利方程有以下形式?

式中h1、h2分別為流線上任意1、2兩點(diǎn)氣體的比焓（見焓）；h 0為氣體的總焓。上式表示流線上任意兩點(diǎn)見煮沸法,CaCO3,MgCO3,藥劑軟化法,離子交換法,電滲析和超濾技術(shù)焓相等。對于重力場中粘性氣體定常絕熱管內(nèi)流動(dòng)，上式也適用，這時(shí)下角標(biāo)1、2表示任意兩橫截面的位置，v1、v2、h1、h2、h0均取對應(yīng)管道橫截面上的平均值。

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總結(jié)

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