這兩天在結(jié)合教材和MIT公開課的視頻復(fù)習(xí)線代，希望能夠在短時(shí)間內(nèi)撿起兩年前學(xué)過的東西。當(dāng)時(shí)線代給我的最大感覺就是十分抽象，總是毫無道理地就給出一堆定義、概念和一些奇怪的公式推演，平時(shí)做的書后題和考試題大多數(shù)有很強(qiáng)技巧性的各種計(jì)算，最后感覺學(xué)到的全都是各種“毫無關(guān)聯(lián)”的概念、公式和計(jì)算套路。

因此最近復(fù)習(xí)時(shí)，著重思考和查找了許多概念之間存在的聯(lián)系，以及它們的內(nèi)在意義和常見應(yīng)用場(chǎng)景，總結(jié)在博客的“線性代數(shù)”這一類別下。本文主要整理一些基本的公式和結(jié)論。

線性方程組：

行初等變換：倍加，（行）對(duì)換，倍乘。變換前后的矩陣行等價(jià)

若兩個(gè)方程組的增廣矩陣行等價(jià)，則具有相同的解集

矩陣Ａ中主元的位置是Ａ中對(duì)應(yīng)于它的階梯行矩陣先導(dǎo)元素的位置（每列主元pivot的下方元素均為0，主元所在行的左側(cè)元素均為0）

線性方程組的解包括：基本變量（主元列對(duì)應(yīng)的未知量）和自由變量（非主元列對(duì)應(yīng)的未知量）

線性方程組Ax=b 解的存在與唯一性定理：（即方程組相容的充要條件）增廣矩陣的最右列不是主元列（即化簡(jiǎn)后沒有形如：[0,0…0,b] 且b != 0的行）
若有解（相容），則：1.若無自由變量，有唯一解
　　　　　　　　　　2.若有自由變量，有無窮多解

Span{u,v}：表示有向量u,v及其線性組合構(gòu)成的向量集合（包含0向量）

方程Ax=b有解 <=> b是A中各列的線性組合。即矩陣A與向量x相乘，相當(dāng)于以x中各元素值作為A的各個(gè)列向量的權(quán)重，對(duì)A的各個(gè)列向量作線性組合，得到向量b。若A為方陣，則(Ax)的幾何意義是：利用矩陣A(m×m)對(duì)m維空間中的向量x做一個(gè)變換，變換后x的投影為b，仍在m為空間，且變換實(shí)際上是對(duì)x的長(zhǎng)度的方向做了改變。（其幾何意義對(duì)于理解特征值和特征向量很有幫助）

對(duì)于齊次線性方程組 Ax=0，均存在一個(gè)解：向量0，稱作平凡解。當(dāng)且僅當(dāng)方程至少有一個(gè)自有變量時(shí)（即A的列向量組線性相關(guān)時(shí)），它有非平凡解。即齊次線性方程組要么僅有0解，要么有無窮多解。在幾何意義上，含有非平凡解的齊次解相當(dāng)于在空間中通過原點(diǎn)的一個(gè)“平面”，這個(gè)“平面”恰由方程組的基礎(chǔ)解系（解集的極大線性無關(guān)組）的所有線性組合構(gòu)成。對(duì)于非齊次線性方程組：Ax=b，解集為Ax=0的齊次解加上一個(gè)特解，幾何上是不過原點(diǎn)的平面。

相容方程組的求解并把解集用參數(shù)向量表示，步驟如下：
1.把增廣矩陣行化簡(jiǎn)為簡(jiǎn)化階梯形矩陣
2.把每個(gè)基本變量用自有變量表示
3.把一般解x表示成向量，若有自由變量，其元素依賴自由變量
4.把x分解為向量的線性組合，組合系數(shù)為設(shè)定的常數(shù)，最終用自由變量作為參數(shù)

一組向量{vivi}線性無關(guān)定義：若向量方程x1v1+...+xpvp=0x1v1+...+xpvp=0僅有平凡解，則x中的各個(gè)（列）向量線性無關(guān)。若存在不為0的權(quán)值c1...cpc1...cp滿足c1v1+...+cpvp=0c1v1+...+cpvp=0，則它們線性相關(guān)。

RnRn中任意向量組{v1...vpv1...vp}，當(dāng)p>n時(shí)線性相關(guān)。

若向量組{v1...vpv1...vp}包含0向量，則它們線性相關(guān)。

線性變換：

之前在理解方程組時(shí)，把矩陣A與向量x相乘看做是對(duì)A中各列向量的線性組合。除此之外，矩陣乘以向量，也就是對(duì)向量做一個(gè)線性變換，還有著更加鮮明的幾何意義。（這種幾何意義可以直接應(yīng)用在圖像處理和圖形學(xué)中）

對(duì)于矩陣A(m×n)，Ax=b相當(dāng)于矩陣A對(duì)RnRn空間中的向量x做一個(gè)變換，映射到RmRm空間中。由RnRn到RmRm的一個(gè)變換（或稱映射、函數(shù)）T是一個(gè)規(guī)則，將向量x映射為另一維度空間中的向量T(x)。集合RnRn稱為定義域，RmRm為取值空間（或余定義域），T(x)稱為x在T作用下的像，所有像T(x)的集合稱為T的值域。從x映射到Ax即為一個(gè)矩陣變換。若A為方陣，則映射后的向量b僅僅是原向量x在長(zhǎng)度和方向上的改變（拉伸和旋轉(zhuǎn)）。

線性變換定義：保持向量的加法運(yùn)算和標(biāo)量乘法運(yùn)算具有線性性的變換。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数基本公式结论简要总结(1)的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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