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• 例題五
• • 例5.14?設(shè)函數(shù)$f(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，在$(0,1)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(0)=0,f(1)=1$，證明存在不同的${\xi }_1,{\xi }_2\in (0,1)$，使得$\frac{1}{f^{\prime }({\xi }_1)}+\frac{1}{f^{\prime }({\xi }_2)}=2$。
  • 例5.16?設(shè)函數(shù)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$0?a<b?\frac{\pi }{2}$，證明存在$\xi ,\eta \in (a,b)$，使得$f^{\prime }(\eta )\tan \frac{a+b}{2}=f^{\prime }(\xi )\frac{\sin \eta }{\cos \xi }$。
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例題五

例5.14?設(shè)函數(shù)$f(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，在$(0,1)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(0)=0,f(1)=1$，證明存在不同的${\xi }_1,{\xi }_2\in (0,1)$，使得$\frac{1}{f^{\prime }({\xi }_1)}+\frac{1}{f^{\prime }({\xi }_2)}=2$。

證??用$\xi$將劃分為$[0,\xi ],[\xi ,1]$。在這兩個區(qū)間上分別對$f(x)$使用拉格朗日中值定理，得
$$\begin{gathered} f(\xi )?f(0)=f^{\prime }({\xi }_1)(\xi ?0)?\frac{1}{f^{\prime }({\xi }_1)}=\frac{\xi }{f(\xi )},{\xi }_1\in (0,\xi ), \\ f(1)?f(\xi )=f^{\prime }({\xi }_2)(1?\xi )?\frac{1}{f^{\prime }({\xi }_2)}=\frac{1?\xi }{1?f(\xi )},{\xi }_2\in (\xi ,1). \end{gathered}$$
??與欲證等式相比較，只需證$\frac{\xi }{f(\xi )}+\frac{1?\xi }{1?f(\xi )}=2$即可，于是可取$f(\xi )=\frac{1}{2}$，則$\frac{\xi }{f(\xi )}+\frac{1?\xi }{1?f(\xi )}=2(\xi +1?\xi )=2.$

例5.16?設(shè)函數(shù)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$0?a<b?\frac{\pi }{2}$，證明存在$\xi ,\eta \in (a,b)$，使得$f^{\prime }(\eta )\tan \frac{a+b}{2}=f^{\prime }(\xi )\frac{\sin \eta }{\cos \xi }$。

證??令$g(x)=\sin x$，于是在$[a,b]$上對$f(x),g(x)$使用柯西中值定理，存在$\xi \in (a,b)$，使得
$$\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{\cos \xi }=\frac{f(b)?f(a)}{\sin b?\sin a}.\text{\hspace{1em}(1)}$$
??令$h(x)=?\cos x$，于是在$[a,b]$上對$f(x),h(x)$使用柯西中值定理，存在$\eta \in (a,b)$，使得
$$\frac{f^{\prime }(\eta )}{h^{\prime }(\eta )}=\frac{f^{\prime }(\eta )}{\cos \eta }=\frac{f(b)?f(a)}{?\cos b+\cos a}.\text{\hspace{1em}(2)}$$
??由$(1)/(2)$，有$\frac{f^{\prime }(\xi )}{\cos \xi }/\frac{f^{\prime }(\eta )}{\cos \eta }=\frac{\cos a?\cos b}{\sin b?\sin a}=\frac{?2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a?b}{2}}{2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{b?a}{2}}=\tan \frac{a+b}{2}$，命題得證。

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總結(jié)

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