文章目錄

• • • 量詞的推理規(guī)則
    • • 代換（置換，substitution）
      • 全稱量詞實例化（UI規(guī)則）
      • 存在量詞的實例化
    • 合一和提升
    • • 一般假言推理規(guī)則
      • 合一
    • 歸結(jié)
    • • 一階邏輯的合取范式CNF
      • 一階邏輯的歸結(jié)推理規(guī)則（消解原理）
      • 歸結(jié)反駁(Resolution Refutation)
    • 前向鏈接與反向鏈接
    • • 一階限定字句（一階確定子句）
      • 后向鏈接
    • 一階邏輯語句翻譯示例
    • 資源分享

量詞的推理規(guī)則

在命題邏輯中，根據(jù)歸結(jié)原理：
可由P∨R, Q∨￢R 得到 P∨Q
可由P∨R(a), Q∨￢R(a) 得到 P∨Q
那么，可由P∨R(x), Q∨￢R(y) 得到P∨Q嗎？
這里，首先需要了解代換（置換，substitution）。

代換（置換，substitution）

Subst(θ, α), θ is like {x/Michael, y/Bob}，其中θ是substitution，α是centence。

• (?x )( Man ( x ) ? Mortal ( x ))
• Subst({ x / Michael }, (?x)(Man(x) ? Mortal(x)))
• Man(Michael) ? Mortal(Michael)

只能將變元代換成常量，不能將常量代換成常量或者常量代換成變元。

• Subst({Michael/x}, Man(Michael) ? Mortal(Michael))
  = Max(x) ? Mortal(x) no
• Subst({Michael/Bob}, Man(Michael) ? Mortal(Michael))
  = Max(Bob) ? Mortal(Bob) no
• Subst({x/Bob}, Man(x) ? Mortal(x))
  = Max(Bob) ? Mortal(Bob) yes

全稱量詞實例化（UI規(guī)則）

UI規(guī)則：用基項（沒有變量的項）置換變量得到的語句。
注意：置換是用一個項（語法成分）替代某個變量，產(chǎn)生新語句，而解釋則將變量映射到論域中的某個對象。

存在量詞的實例化

Subst({Michael/x} ,?x AtAI(x)∧Sleep(x)
=AtAI(Michael)∧Sleep(Michael)

上面替換y的不是skolem常量而是關(guān)于x的Skolem函詞

例子：
Subst({m(y)/x},?y?xMother(x,y)
=?y Mother(m(y),y)
在邏輯中，這個新的名稱Michael在知識庫中其他地方未出現(xiàn)過，把它稱作Skolem常數(shù)。
存在量詞實例化的過程叫做Skolem標(biāo)準(zhǔn)化。
上述的m(y)是一個Skolem函數(shù)。

全稱量詞實例化可以應(yīng)用多次而得到不同的結(jié)果，而存在量詞實例化只能應(yīng)用一次，然后存在量化的語句就可以被拋棄。

一旦進(jìn)行了去量詞產(chǎn)生新語句的操作，就可能將一階邏輯簡化成為命題邏輯。

合一和提升

一般假言推理規(guī)則

對于原子語句$p_i$、$p_i^{\prime }$和$q$,存在置換$\theta$使得對所有的i都有$SUBST(\theta ,p_i^{\prime })$成立，

$$\frac{p_1^{\prime },p_2^{\prime },...,p_i^{\prime },(p_1\wedge p_2\wedge ...\wedge p_n?q)}{SUBST(\theta ,q)}$$
該規(guī)則有n+1個前提：n個原子語句$p_i'$和一個蘊(yùn)含式。結(jié)論就是將置換應(yīng)用于后項q得到的語句。

在邪惡的國王的例子中：
$p_1^{\prime }$是King(John) p1是King(x)
$p_2^{\prime }$是Gredy(y) p2是Gredy(x)
θ是{x/John,y/John} q是Evil(x)
SUBST(θ,q)是Evil(John)

一般化假言推理規(guī)則是假言推理規(guī)則的升級版本，它將假言推理規(guī)則從（沒有變量的命題邏輯）提高到一階邏輯。

合一

合一（Unification）：找到使不同的邏輯表示變得相同的置換的過程。合一是所有一階邏輯推理算法的關(guān)鍵。合一算法UNIFY以兩條語句為輸入，如果合一置換存在則返回它們的合一元（unifier）θ：
UNIFY(p,q)=θ where SUBST(θ,p)=SUBST(θ,q)

也有可能有多個合一元，即多種置換方式：

• UNIFY (Knows(John,x), Knows(y,z))
• unifier：{y/John, x/z} or {x/John, y/John, z/John}
• ? Knows (John, z) or Knows (John, John)

上例的最一般合一置換是{y/John, x/z} 。
結(jié)果表明，對每對可合一的表達(dá)式，存在唯一的最一般合一置換（MGU）。不考慮變量的取名情況它是唯一的（如{x/John}和{y/John}是等價的，{x/John, y/John}和{x/John，y/x}也是等價的）。

歸結(jié)

一階邏輯的合取范式CNF

一階邏輯的每個語句都可以轉(zhuǎn)化成推理等價的CNF語句。特別是，CNF語句只有當(dāng)原始語句不可滿足時才不可滿足，這是應(yīng)用CNF語句上的反證法證明的基礎(chǔ)。
轉(zhuǎn)換成CNF的過程和命題邏輯類似。主要的不同在于一階邏輯要消除存在量詞。
步驟如下：

• Eliminate implications 消除蘊(yùn)含詞
• Move negation inwards 將￢內(nèi)移
• Standardize variables 變量標(biāo)準(zhǔn)化
• Skolemize Skolem化
• Drop universal quantifiers 刪除全稱量詞
• Distribute ∧ over ∨ 將∧分配到∨中

try：

$$?x\left\{P(x)?[?y[P(y)?P(f(x,y))]\wedge ??y[Q(x,y)?P(y)]]\right\}$$

一階邏輯的歸結(jié)推理規(guī)則（消解原理）

一階邏輯的子句的歸結(jié)規(guī)則簡單而言就是命題邏輯歸結(jié)規(guī)則的升級版本。
$$\frac{l_1\vee ...\vee l_k,m_1\vee ...\vee m_n}{SUBST(\theta ,l_1\vee ...\vee l_{i?1}\vee l_{i+1}\vee ,...,\vee l_k\vee m_1\vee ...\vee m_{j?1}\vee m_{j+1}\vee ...\vee m_n)}$$
其中$UNIFY(l_i,?m_j)=\theta$

一個二元歸結(jié)規(guī)則的例子如下，剛好可以對兩個文字進(jìn)行歸結(jié)：
通過合一置換θ={u/G(x),v/x}消除互補(bǔ)文字Loves(G(x),x)和?Loves(u,v)，可以對兩個子句進(jìn)行歸結(jié)：
[Animal(F(x))∨Loves(G(x),x)]和[?Loves(u,v)∨?Kills(u,v)]
產(chǎn)生歸結(jié)子句:[Animal(F(x))∨?Kills(G(x),x)]

全歸結(jié)規(guī)則對每個可合一的子句中的文字子句進(jìn)行歸結(jié)。
另外一種方法是歸并：去除冗余文字。命題邏輯的歸并是指如果兩個文字相同，則將這兩個文字減少到一個；一階邏輯的歸并是指如果這兩個文字可合一，則將這兩個文字減少到一個。合一置換必須應(yīng)用到整個子句。

歸結(jié)反駁(Resolution Refutation)

證明：KB ╞ α
反證法思路：證明KB∧?α不可滿足，即推導(dǎo)出空語句

理發(fā)師悖論(Barber Paradox)
在某個城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽(yù)滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。

可是，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。

證明：不存在這樣的理發(fā)師

存在一個人只為每個不給自己刮胡子的人刮胡子。
?p?q S(p,q)?￢S(q,q)

?x Horse(x)? Animal(x)
等于?x(￢ Horse(x)∨Animal(x))
不等于￢ ?x(Horse(x)∨Animal(x))

庸醫(yī)問題(quack problem)

前向鏈接與反向鏈接

在命題邏輯中，給出了命題邏輯限定子句的前向鏈接算法：從知識庫中的原子語句出發(fā),在前向推理中應(yīng)用假言推理規(guī)則,增加新的原子語句,直到不能進(jìn)行任何推理。

下面討論在一階邏輯中，如何應(yīng)用于一階限定子句,如何高效地實現(xiàn)。

一階限定字句（一階確定子句）

一階限定子句和命題邏輯中的限定子句非常相似：它們是文字的析取，其中正好只有一個正文字。它可以是原子語句;或是蘊(yùn)含語句,蘊(yùn)含語句的前提是正文字的合取,結(jié)論是單個正文字。
例如：
King(x) ∧ Greedy(x) ?Evil(x)
King(John)
Greedy(y)

和命題邏輯文字不同，一階限定子句中,一階文字可以包含變量，假設(shè)變量是全稱量化的,書寫時省略全稱量詞

有些知識庫可寫成限定子句的集合,但并非每個知識庫都可寫為限定子句的集合(單一正文字的限制過于嚴(yán)格)。

考慮以下問題:
美國法律規(guī)定美國人販賣武器給敵對國家是犯法的。美國的敵對國家Nono有一些導(dǎo)彈,所有這些導(dǎo)彈都是美國人West上校賣給他們的。
證明West是罪犯(criminal)。

用一階限定子句來表示這些事實：

• （1）美國人販賣武器給敵對國家是犯法的：American ( x )∧ Weapon ( y )∧ Sells ( x , y , z )∧ Hostile ( z ) ?Criminal ( x )
• Nono…有導(dǎo)彈：?x Owns ( Nono , x )∧ Missile ( x )
• 消去存在量詞被轉(zhuǎn)換成兩個限定子句:
• （2）Owns ( Nono , M1 )
• （3）Missile ( M1 )
• （4）所有該國的導(dǎo)彈都購自West上校：Missile ( x )∧ Owns ( Nono , x ) ? Sells ( West , x , Nono )
• （5）還需要知道導(dǎo)彈是武器：Missile ( x ) ? Weapon ( x )
• （6）還需要知道美國的敵人被稱為“敵對的”：Enemy ( x , America ) ? Hostile ( x )
• （7）West,一個美國人：American ( West )
• （8）Nono國,美國的敵人：Enemy ( Nono , America )

后向鏈接

一階邏輯語句翻譯示例

1.使用三個謂詞：HeadOf(h,x)(h是x的頭),Horse(x),Animal(x)
前提：馬是動物
?x Horse(x)? Animal(x)
結(jié)論：一匹馬的頭是一只動物的頭
?x,h Horse(x)∧HeadOf(h,x) ? ?yAnimal(y) ∧ HeadOf(h,y)

資源分享

實驗代碼下載：
https://github.com/yyl424525/AI_Homework
人工智能-一種現(xiàn)代方法中文第三版pdf、課件、作業(yè)及解答、課后習(xí)題答案、實驗代碼和報告、歷年考博題下載：https://download.csdn.net/download/yyl424525/11310392

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的人工智能 一种现代方法 第9章 一阶逻辑的推理的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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