前面介紹過基于DFS鄰域的DeepWalk和基于BFS鄰域的LINE。

DeepWalk：算法原理，實現和應用
LINE：算法原理，實現和應用

node2vec是一種綜合考慮DFS鄰域和BFS鄰域的graph embedding方法。簡單來說，可以看作是eepwalk的一種擴展，可以看作是結合了DFS和BFS隨機游走的deepwalk。

nodo2vec 算法原理

優化目標

設$f(u)$是將頂點$u$映射為embedding向量的映射函數,對于圖中每個頂點$u$，定義$N_S(u)$為通過采樣策略$S$采樣出的頂點$u$的近鄰頂點集合。

node2vec優化的目標是給定每個頂點條件下，令其近鄰頂點出現的概率最大。

$ma{x}_f{\sum }_{u\in V}\log Pr(N_S(U)|f(u))$

為了將上述最優化問題可解，文章提出兩個假設：

• 條件獨立性假設
  假設給定源頂點下，其近鄰頂點出現的概率與近鄰集合中其余頂點無關。
  $Pr(N_s(u)|f(u))={\prod }_{n_i\in N_s(u)}Pr(n_i|f(u))$
• 特征空間對稱性假設
  這里是說一個頂點作為源頂點和作為近鄰頂點的時候共享同一套embedding向量。(對比LINE中的2階相似度，一個頂點作為源點和近鄰點的時候是擁有不同的embedding向量的)
  在這個假設下，上述條件概率公式可表示為$Pr(n_i|f(u))=\frac{\exp f(n_i)?f(u)}{{\sum }_{v\in V}\exp f(v)?f(u)}$

根據以上兩個假設條件，最終的目標函數表示為
$ma{x}_f{\sum }_{u\in V}[?\log Z_u+{\sum }_{n_i\in N_s(u)}f(n_i)?f(u)]$

由于歸一化因子$Z_u={\sum }_{n_i\in N_s(u)}\exp (f(n_i)?f(u))$的計算代價高，所以采用負采樣技術優化。

采樣策略

node2vec依然采用隨機游走的方式獲取頂點的近鄰序列，不同的是node2vec采用的是一種有偏的隨機游走。

給定當前頂點$v$，訪問下一個頂點$x$的概率為
$$P(c_i=x|c_{i?1}=v)=?\begin{array}{rlr}\frac{{\pi }_{vx}}{Z}& & \text{if?}(v,x)\in E\\ 0& & \text{otherwise}\end{array}$$
${\pi }_{vx}$是頂點$v$和頂點$x$之間的未歸一化轉移概率，$Z$是歸一化常數。

node2vec引入兩個超參數$p$和$q$來控制隨機游走的策略，假設當前隨機游走經過邊$(t,v)$到達頂點$v$
設${\pi }_{vx}={\alpha }_{pq}(t,x)?w_{vx}$，$w_{vx}$是頂點$v$和$x$之間的邊權，

$${\alpha }_{pq}(t,x)=?\begin{array}{rlr}\frac{1}{p}& =& \text{if?}{d}_{tx}=0\\ 1& =& \text{if?}{d}_{tx}=1\\ \frac{1}{q}& =& \text{if?}{d}_{tx}=2\end{array}$$
$d_{tx}$為頂點$t$和頂點$x$之間的最短路徑距離。

下面討論超參數$p$和$q$對游走策略的影響

• Return parameter,p
  參數$p$控制重復訪問剛剛訪問過的頂點的概率。
  注意到$p$僅作用于$d_{tx}=0$的情況，而$d_{tx}=0$表示頂點$x$就是訪問當前頂點$v$之前剛剛訪問過的頂點。
  那么若$p$較高，則訪問剛剛訪問過的頂點的概率會變低，反之變高。
• In-out papameter,q
  $q$控制著游走是向外還是向內，若q>1，隨機游走傾向于訪問和$t$接近的頂點(偏向BFS)。若$q<1$，傾向于訪問遠離$t$的頂點(偏向DFS)。

下面的圖描述的是當從t訪問到v時，決定下一個訪問頂點時每個頂點對應的$\alpha$。

學習算法

采樣完頂點序列后，剩下的步驟就和deepwalk一樣了，用word2vec去學習頂點的embedding向量。
值得注意的是node2vecWalk中不再是隨機抽取鄰接點，而是按概率抽取，node2vec采用了Alias算法進行頂點采樣。
Alias Method:時間復雜度O(1)的離散采樣方法

node2vec核心代碼

node2vecWalk

通過上面的偽代碼可以看到，node2vec和deepwalk非常類似，主要區別在于頂點序列的采樣策略不同，所以這里我們主要關注node2vecWalk的實現。

由于采樣時需要考慮前面2步訪問過的頂點，所以當訪問序列中只有1個頂點時，直接使用當前頂點和鄰居頂點之間的邊權作為采樣依據。
當序列多余2個頂點時，使用文章提到的有偏采樣。

def node2vec_walk(self, walk_length, start_node):G = self.G alias_nodes = self.alias_nodes alias_edges = self.alias_edgeswalk = [start_node]while len(walk) < walk_length: cur = walk[-1] cur_nbrs = list(G.neighbors(cur)) if len(cur_nbrs) > 0: if len(walk) == 1: walk.append(cur_nbrs[alias_sample(alias_nodes[cur][0], alias_nodes[cur][1])]) else: prev = walk[-2] edge = (prev, cur) next_node = cur_nbrs[alias_sample(alias_edges[edge][0],alias_edges[edge][1])] walk.append(next_node) else: breakreturn walk

構造采樣表

preprocess_transition_probs分別生成alias_nodes和alias_edges，alias_nodes存儲著在每個頂點時決定下一次訪問其鄰接點時需要的alias表（不考慮當前頂點之前訪問的頂點）。alias_edges存儲著在前一個訪問頂點為$t$，當前頂點為$v$時決定下一次訪問哪個鄰接點時需要的alias表。

get_alias_edge方法返回的是在上一次訪問頂點$t$，當前訪問頂點為$v$時到下一個頂點$x$的未歸一化轉移概率${\pi }_{vx}={\alpha }_{pq}(t,x)?w_{vx}$

def get_alias_edge(self, t, v):G = self.G p = self.p q = self.qunnormalized_probs = [] for x in G.neighbors(v): weight = G[v][x].get('weight', 1.0)# w_vx if x == t:# d_tx == 0 unnormalized_probs.append(weight/p) elif G.has_edge(x, t):# d_tx == 1 unnormalized_probs.append(weight) else:# d_tx == 2 unnormalized_probs.append(weight/q) norm_const = sum(unnormalized_probs) normalized_probs = [float(u_prob)/norm_const for u_prob in unnormalized_probs]return create_alias_table(normalized_probs)def preprocess_transition_probs(self):G = self.Galias_nodes = {} for node in G.nodes(): unnormalized_probs = [G[node][nbr].get('weight', 1.0) for nbr in G.neighbors(node)] norm_const = sum(unnormalized_probs) normalized_probs = [float(u_prob)/norm_const for u_prob in unnormalized_probs] alias_nodes[node] = create_alias_table(normalized_probs)alias_edges = {}for edge in G.edges(): alias_edges[edge] = self.get_alias_edge(edge[0], edge[1])self.alias_nodes = alias_nodes self.alias_edges = alias_edgesreturn

node2vec應用

使用node2vec在wiki數據集上進行節點分類任務和可視化任務。 wiki數據集包含 2,405 個網頁和17,981條網頁之間的鏈接關系，以及每個網頁的所屬類別。 通過簡單的超參搜索，這里使用p=0.25,q=4的設置。

本例中的訓練，評測和可視化的完整代碼在下面的git倉庫中，

https://github.com/shenweichen/GraphEmbedding

G = nx.read_edgelist('../data/wiki/Wiki_edgelist.txt',create_using=nx.DiGraph(),nodetype=None,data=[('weight',int)])model = Node2Vec(G,walk_length=10,num_walks=80,p=0.25,q=4,workers=1) model.train(window_size=5,iter=3) embeddings = model.get_embeddings()evaluate_embeddings(embeddings) plot_embeddings(embeddings)

分類任務

micro-F1: 0.6757
macro-F1: 0.5917

這個結果相比于DeepWalk和LINE是有提升的。

可視化

這個結果相比于DeepWalk和LINE可以看到不同類別的分布更加分散了。

參考資料

• Grover A, Leskovec J. node2vec: Scalable Feature Learning for Networks[C]// Acm Sigkdd International Conference on Knowledge Discovery & Data Mining. 2016.

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【Graph Embedding】node2vec:算法原理，实现和应用的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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