文章目錄

• 8.1 關于隨機游動的積分
• 8.2 關于Brown運動的積分
• 8.5隨機微分方程
• • 8.5.1解的存在惟一性定理

• 目的:
  • 引入關于Brown運動的積分,
  • 論其性質
  • 給出隨機分析及
    • 金融學中有重要應用的Ito

8.1 關于隨機游動的積分

• 關于簡單的隨機游動的積分.
• $X_1,X_2,\dots ,$獨隨,
  • $P\{X_i=1\}=P\{X_i=?1\}=\frac{1}{2}$,
    $$S_n=X_1+...+X_n$$
  • $X_n$為第$n$次賭博結果(=1贏1元,=-1輸1元)
  • $F_n=\sigma (X_1,\dots ,X_n)(由\{X_i,1\le i\le n\}$生成的$\sigma$代數),
    • 可理解為包含$X_1,\dots ,X_n$的信息.
• $B_n$是$F_{n?1}$可測的隨變序列,
  • 第$n$次賭博時所下賭注,它只能用第$n?1$次及以前的信息,不能用第n次賭博的結果.
• 時刻$n$的收益$Z_n$為

• 稱$Z_n$為$B_n$關于$S_n$的積分

?

• $\{Z_n\}$是關于$F_n$的鞅,
• 若$m<n$,則
  $$E(Z_n|F_m)=Z_m$$
  • $E(X_{m+2}{B}_{m+2}|F_m)=E(E(X_{m+2}{B}_{m+2}|F_{m+1})|F_m)=0$
  • 哈哈我太機智
• 特別地,$E{Z}_n=0$.
• 此外,若假定$E(B_n^2)<\infty$,則
  $$var(Z_n)=E(Z_n^2)=\sum _{i=1}^{n}E(B_i^2)$$

?

• 證

• 如果$i<j$,則$B_i,X_i,B_j$都是$F_{j?1}$可測的,
  • 且$X_j$獨立于$F_{j?1}$
• 于是由定理1.12,得
  $$E(B_i{B}_j{X}_i{X}_j)=E[E(B_i{B}_j{X}_i{X}_j|F_{j?1})]=E[B_i{B}_j{X}_{i}E(X_j)]=0$$

8.2 關于Brown運動的積分

• 定義關于Brown運動的積分${\int }_0^{T}X(t)dB(t)(\int XdB)$
• $\{B(t)\}$是一維標準B
  • 也記$\{W_t\}$
• 先看非隨機的簡單過程$X(t)$
  • $X(t)$是簡單函數(不依賴$B(t)$
• 由簡單函數的定義,存在$[0,T]$的分割
  • $0=t_0<t_1<?<t_n=T$
  • $c_0,c_1,?,c_{n?1}$
  • 使

• 或表示為

• 由Brown的獨增性知
  • (8.2.2)是啥分布的隨機變量
  • 均值0,方差為

$$var(\int XdB)=E\{\sum _{i=0}^{n?1}{c}_i[B(t_{i+1})?B(t_i)]{\}}^2$$
$$=\sum _{i=0}^{n?1}{c}_i^2(t_{i+1}?t_i)$$

• 取極限可將定義推廣到一般的非隨機函數$X(t)$
• 但要定義的是隨機過程的積分,
  • 將簡單函數中的常數$c_i$,
  • 用隨變${\xi }_i$來代替,
  • 并要求${\xi }_i$是${\mathcal{F}}_{t_i}$可測的
  • ${\mathcal{F}}_t=\sigma \{B(u),0\le u\le t\}$
  • 于是,由Brown運動的鞅性質得

?

• 定義8.1

• $\{X(t),0\le t\le T\}$是簡單隨機過

• 即存在$[0,T]$的分割$0=t_0<t_1<?<t_n=T$

• 隨變${\xi }_0$,${\xi }_1$,$?$,${\xi }_{n?1}$

  • 使${\xi }_0$是常數為啥是常數！

我覺得可以近似理解成隨機過程初值是定下來的啊!

• ${\xi }_i$依賴于$B(t),t\le t_i$
• 但不依賴$B(t)$,$t>t_i$,$i=0,1,?,n?1$
• 且
  $$X(t)={\xi }_0{I}_0(t)+\sum _{i=0}^{n?1}{\xi }_i{I}_{(t_i,t_{i+1}](t)}\text{\hspace{1em}(8.2.5)}$$
• 此時,Ito積分${\int }_0^{T}XdB$定義為
  $${\int }_0^{T}X(t)dB(t)=\sum _{i=0}^{n?1}{\xi }_i[B(t_{i+1})?B(t_i)]\text{\hspace{1em}(8.2.6)}$$
• 簡單過程的積分是個隨變,滿足

?

• 性質8.1

• $X(t)$,$Y(t)$是簡單過程,

  • 則

• ${\int }_0^T{I}_{[a,b]}dB(t)=B(b)?B(a)$
  • $I_{[a,b]}(t)$是$[a,b]$的示性函數
• 如果$E({\xi }_i)<\infty (i=0,1,\dots ,n?1)$,則
  $$E\left[{\int }_0^{T}X(t)dB(t)\right]=0$$
• 如果$E({\xi }_i)<\infty (i=0,1,\dots ,n?1)$則

$$E{\left[{\int }_0^{T}X(t)dB(t)\right]}^2={\int }_0^{T}E[X^2(t)]dt$$

• 只證(4)
• 用Cauchy-schwarz不等式,得

$$E\left[|{\xi }_i(B(t_{i+1})?B(t_i))|\right]\le \sqrt{E\left({\xi }_i^2\right)E{\left[B(t_{i+1})?B(t_i)\right]}^2}<\infty$$

• 于是

$$var({\int }_0^{T}XdB)=E{\left[\sum _{i=0}^{n?1}{\xi }_i(B(t_{i+1})?B(t_i))\right]}^2$$
$$=E\left[\sum _{i=0}^{n?1}{\xi }_i(B(t_{i+1})?B(t_i))?\sum _{i=0}^{n?1}{\xi }_i(B(t_{i+1})?B(t_i))\right]$$

$$=\sum _{i=0}^{n?1}E\left[{\xi }_i^2{\left(B(t_{i+1})?B(t_i)\right)}^2\right]+2\sum _{i<j}E\left[{\xi }_i{\xi }_j(B(t_{i+1})?B(t_i))(B(t_{j+1})?B(t_j))\right]\text{\hspace{1em}(8.2.7)}$$

• 由Brown的獨增性及關于${\xi }_i$的假定

• 用定理1.12(1)
  $$E\left[{\xi }_i{\xi }_j(B(t_{i+1})?B(t_i))(B(t_{j+1})?B(t_j))\right]=0$$

• 所以,(8.2.7)中的最后一項為零.

• 由 Brown運動的鞅性質,得

• 這不就是

$$=\sum _{i=0}^{n?1}{\int }_{t_i}^{t_{i+1}}E[{\xi }_i^2]dt$$

$$=\sum _{i=0}^{n?1}{\int }_{t_i}^{t_{i+1}}E[X^2(t)]dt$$

• 現將上述隨機積分定義擴展到一般的可測適應隨機過程類

?

• 定義8.2

• $X(t),t\ge 0)$是隨機過程

• $\{{\mathcal{F}}_t,t\ge 0\}$是$\sigma$代數流

• 對任何$t$,$X(t)$是${\mathcal{F}}_t$可測的

• 則稱$\{X(t)\}$是$\{{\mathcal{F}}_t\}$適應的

?

• 記$\mathcal{B}$為$[0,\infty )$上的 Borel $\sigma$代數

?

• $$\mathcal{V}=\{h:\{h\}是定義在[0,\infty )上的\mathcal{B}\times \mathcal{F}可測的適應過程,滿足E\left[{\int }_0^T{h}^2(s)ds\right]<\infty \}$$
• 將隨機積分的定義按下述步聚擴展到$\mathcal{V}$

?

• 首先,令$h\in \mathcal{V}$有界,且對每個$w\in \Omega$
• $h(?,w)$連續。
• 則存在簡單過程$\{{\phi }_n\}$
• 其中

$${\phi }_n=\sum _{j}h(t_j,w)?1_{[t_j,t_{j+1}]}(t)\in \mathcal{V}$$

• 使當$n\to \infty$時,對每個$w\in \Omega$

$${\int }_0^T(h?{\phi }_n{)}^{2}dt\to 0$$

• 有界收斂定理得$$E\left[{\int }_0^T(h?{\phi }_n{)}^{2}dt\right]\to 0$$

?

• 其次,令$h\in \mathcal{V}$有界,
• 可證,存在$h_n\in \mathcal{V}$有界
• 且對每個$w\in \Omega$,$?n$
• $h_n(?,w)$連續
• 使得

$$E\left[{\int }_0^T(h?h_n{)}^{2}dt\right]\to 0\text{\hspace{1em}(8.2.8)}$$

• 事實上,設$|h(t,w)|\le M$,$?(t,w)$
• 定義

$$h_n(t,w)={\int }_0^t{\psi }_n(s?t)h(s,w)ds$$

• ${\psi }_n$是$R$上非負連續函,
• 使得對所有的x(コ)()=0且
  (x)dx=1,則對每個a∈2,hn(?,o)連續且1h,(,o)1≤M.、由h∈y
  可以看出hn∈y,并且當n→∞時,對每個a∈,有
  h,(s, a)-h(s, a)]d
  因此再次利用有界收劍定理得式(8.2.8)。

?

• 最后,對$?f\in \mathcal{V}$,
• 存在有界列$h_n\in \mathcal{V}$
• 使

KaTeX parse error: Expected '}', got '\right' at position 37: …)-h_n(t,w)]^2dt\?r?i?g?h?t?}\to 0

• 事實上,只要令
  若f(t,o)<
  若一n≤f(t,o)≤
  若f(t,o)>
  利用控制收斂定理即得

好多沒寫

?

• 例8.2

• 求$J={\int }_0^{1}tdB(t)$的均值與方差

• 因為${\int }_0^1{t}^{2}dt<\infty$,且$t$是${\mathcal{F}}_t=\sigma \{B(s),0\le s\le t\}$適應的.

• 所以,Ito積分$J$是適定的

• 均值0,

• 方差為$E(J^2)={\int }_0^1{t}^{2}dt=\frac{1}{3}$

• 例8.3

• 估計使得積分(1-D)dB(D適定的a的值
  只要』「(1ーの-」む<,即、(1ーD由,上述16積分就適定
  所以只要a<即可

8.5隨機微分方程

• 上節定義Ito過程,
• 本節將上節的隨機積分的形式稍做變化
• 考慮

• 這就是所謂隨機微分方程,
• 式(8.5.1)的意義是下述的隨機積分方程的微分形式.

• 自然會問,隨機微分方程的解是否存在?
• 如果存在,是否惟一?有什么性質?

8.5.1解的存在惟一性定理

總結

以上是生活随笔為你收集整理的8 随机积分与随机微分方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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