Ito公式的證明很繁瑣，暫時不寫證明。完整的證明可以看Karatzas和Shreve在1991年的Brownian motion and stochastic calculus.2nd ed.。

$$V^{?}=\{(Y(t),t\ge 0):實值連續隨機過程，適應的(adaptive)，可測的，且\mathbb{P}\left({\int }_0^{\infty }Y(t{)}^2\mathrm{d}t<\infty \right)=1\}$$
定理：設$h\in V^{?}$，$(g(t),t\ge 0)$是一個適應的過程，且滿足$?T>0$，${\int }_0^T|g(t)|\mathrm{d}t<\infty$幾乎處處成立。令$$X(t):={\int }_0^{t}g(s)\mathrm{d}s+{\int }_0^{t}h(s)\mathrm{d}W(s),t\ge 0,$$設$F\in C^{2,1}(\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^{+},\mathbb{R})$，$Y(t)=F(X(t),t)$，則$$\begin{array}{rl}Y(t)=& Y(0)+{\int }_0^t\frac{?F}{?x}(X(s),s)h(s)\mathrm{d}W(s)\\ & +{\int }_0^t\left(\frac{?F}{?t}(X(s),s)+\frac{?F}{?x}(X(s),s)g(s)+\frac{1}{2}\frac{{?}^{2}F}{?x^2}(X(s),s)h^2(s)\right)\mathrm{d}s,t\ge 0.\end{array}$$

定理：設h是一個${\mathbb{R}}^{d\times m}$值過程，其分量都屬于$V^{?}$，$(g(t),t\ge 0)$是一個${\mathbb{R}}^d$-值適應的過程，且$?T>0$，${\int }_0^{\infty }\Vert g(t)\Vert \mathrm{d}t<\infty$幾乎處處成立。令$$X(t):={\int }_0^{t}g(s)\mathrm{d}s+{\int }_0^{t}h(s)\mathrm{d}W(s),t\ge 0,$$設$W$是一個$m$-維布朗運動，$F\in C^{2,1}({\mathbb{R}}^d\times {\mathbb{R}}^{+},{\mathbb{R}}^p)$，$Y(t)=F(X(t),t),t\ge 0$，則$$\begin{array}{rl}Y(t)=& Y(0)+{\int }_0^{t}DF(X(s),s)h(s)\mathrm{d}W(s)\\ & +{\int }_0^t\left(\frac{?F}{?t}(X(s),s)+DF(X(s),s)g(s)+\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^d\frac{{?}^{2}F}{?x_i?x_j}(X(s),s)\left(\sum _{l=1}^m{h}_{i,l}(s)h_{j,l}(s)\right)\right)\mathrm{d}s,t\ge 0.\end{array}$$其中$DF=({?}_{x_i}{F}_j{)}_{1\le i\le d,1\le j\le p}$表示$F$的Jacobian矩陣。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的随机微分方程学习笔记04 Ito公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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