（一）兩種不同的平穩性定義
1.嚴平穩過程
若對于時間$t$的任意$n$個值$t_1<t_2<?<t_n$，序列中的隨機變量$X_{t_1+s},X_{t_2+s},...,X_{t_n+s}$聯合分布與整數$s$無關，即有：
$$F_{t_1,t_2,...t_n}(X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_n})=F_{t_1+s,t_2+s,...,t_n+s}(X_{t_1+s},X_{t_2+s},...,X_{t_n+s})$$

則稱$\{X_t\}$為嚴平穩/狹義平穩/強平穩過程。
嚴平穩的概率分布與時間無關。
2.寬平穩過程
如時間序列有有窮的二階矩，且$\{X_t\}$滿足一下兩個條件：
$$\begin{array}{l}(1){\mu }_t=E(X_t)=c\\ (2)\gamma (t,s)=E(X_t?c)(X_s?c)=\gamma (t?s,0)\end{array}$$

則稱該時間序列為寬平穩過程。
寬平穩過程各隨機變量的均值為常數，且任意兩個變量的協方差僅與時間間隔$(t?s)$有關。
3.嚴平穩過程和寬平穩過程的聯系和區別
區別:
(1)嚴平穩的概率分布隨時間的平移而不變，寬平穩序列的均值和自協方差隨時間的平移而不變。
(2)一個嚴平穩序列，不一定是寬平穩序列;一個寬平穩序列也不一定是嚴平穩序列。
聯系:
(1)若一個序列為嚴平穩序列，且有有窮的二階矩，那么該序列也必為寬平穩序列。
(2)若時間序列為正態序列(即它的任何有限維分布都是正態分布)，那么該序列為嚴平穩序列和寬平穩序列是相互等價的。

（二）時間序列的分布、均值和協方差函數
1.時間序列的概率分布
由于確定時間序列的分布函數一般不可能，人們更加注意使用時間序列的各種特征量的描述，如均值函數、協方差函數、自相關函數、偏自相關函數等，這些特征量往往能代表隨機變量的主要特征。
2.均值函數
一個時間序列$\{X_t,t=0,t=\pm 1,t=\pm 2,....,\}$的均值函數指：
$${\mu }_t=E(X_t)={\int }_{?a}^{a}Xd(F_t(X_t))$$

${\mu }_t$即為$\{X_t\}$的均值函數，它實質上是一個實數列，均值表示隨機過程在各個時刻的擺動中心。
3.自協方差函數
$$\gamma (t,s)=E(X_t?{\mu }_t)(X_s?{\mu }_s)={\int }_{?a}^a{\int }_{?a}^a(x?{\mu }_t)(y?{\mu }_s)d{F}_{t,s}(x,y)$$

對稱性:$\gamma (t,s)=\gamma (s,t)$
4.自相關函數
$$\rho (t,s)=\frac{\gamma (t,s)}{\sqrt{\gamma (t,t)\gamma (s,s)}}$$

自相關函數描述了時間序列的$\{X_t\}$自身的相關結構。
時間序列的自相關函數具有對稱性，且有$\rho (t,t)=1$

（三）平穩序列的自協方差和自相關函數
1.平穩序列的自協方差函數和自相關函數
若$\{X_t\}$為平穩序列，假定$E{X}_t=0$，則我們可以用以下記號表示平穩序列的自協方差函數。
$${\gamma }_k=E(X_t?E{X}_t)(X_{t?k}?E{X}_{t?k})=E{X}_t{X}_{t?k}$$

相應的，嚴平穩序列的自相關函數記為:
$${\rho }_k=\frac{{\gamma }_k}{{\gamma }_0}$$

2.平穩序列的自協方差序列和自相關函數列的性質
$$\begin{array}{l}(1){\gamma }_k={\gamma }_{?k}{\rho }_k={\rho }_{?k}\\ (2){\gamma }_k\le |{\gamma }_0||{\rho }_k|\le 1\end{array}$$

(四)白噪聲序列和獨立同分布序列
1.白噪聲序列
定義：若時間序列$\{X_t\}$滿足下列性質，
$$\begin{array}{l}(1)E{X}_t=0\\ (2)E{X}_t{X}_s=\{\begin{array}{l}{\sigma }^2,t=s\\ 0,t=s\end{array}\end{array}$$

則稱此序列為白噪聲序列。
白噪聲序列是一種特殊的寬平穩序列，也是一種最簡單的平穩序列。
2.獨立同分布序列
定義：如果時間序列$\{X_t\}$中的隨機變量$X_t,t=0,\pm 1,\pm 2,...$是相互獨立的隨機變量，且$X_t$具有相同的分布（當$X_t$有一階矩時，往往還假定$E{X}_t=0$），則稱$\{X_t\}$為獨立同分布序列。
獨立同分布序列$\{X_t\}$是一個嚴平穩序列
一般來說，白噪聲序列與獨立同分布序列是不同的兩種序列。
但是當白噪聲序列為正態序列時，它也是獨立同分布序列，此時我們稱其為正態白噪聲序列。

總結

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