交流异步电机矢量控制（一）——电机模型及其坐标变换
目錄
1 異步電機在三相靜止坐標系下的數學模型
1.1 電壓方程
1.2 磁鏈方程
?1.3 轉矩方程
?1.4 運動方程
小結：
2 異步電機在兩相靜止坐標系中的數學模型
1.2.1 恒功率原則下三相/兩相靜止坐標變換
?1.2.2 恒相電流幅值三相/兩相靜止坐標變換
1.2.3 兩相靜止坐標系電機模型
3 異步電機在兩相旋轉坐標系中的數學模型
總結：
前言：隨著國內工業自動化技術的發展，電機作為產線的動力核心，其控制技術的要求也越來越高，電機控制技術在制造業領域的重要程度也逐年增強。其中異步電機作為控制技術最成熟的電機種類之一，其應用范圍最為廣泛，因此有必要對其控制技術進行深入研究。博客前期更新內容永磁同步電機的內容較多，異步電機的內容非常少，其實也是因為我在學習的過程中，總是在畏懼異步電機這個四階模型的電機，他相對于同步電機確實要難一些。本文記錄異步電機的學習過程，由于這方面也是初學可能理解不夠，每個部分內容出處都會標注出來，大家可以參照原文原著。博客大家都是以直接了當的獲得想要結果為主，因此后續文章均以一個問題為切入點進行記錄。
本篇博客解決的目標問題：異步電機不同坐標系的數學模型
1 異步電機在三相靜止坐標系下的數學模型
在研究異步電機數學模型之前，為了排除機械制造安裝、環境因素等的影響，需要對電機進行一定的理想化假設：
需要明確的是，后續研究的內容均以鼠籠型異步電機為對象，鼠籠型電機轉子是短路的，即轉子端電壓為零。根據上述理想化假設可以構建異步電機在三相靜止坐標系下的數學模型。
1.1 電壓方程
電機六個繞組的電壓矩陣方程可表示為：
?電機的電壓方程是一個六階的數組，相對dq軸的電壓模型來說模型階層是較高的，這也是后續需要進行坐標變換的原因。式中 Rs 和 Rr 分別為定子電阻和折算到定子側的轉子電阻；is（abc）為定子三相電流；ir（abc）為折算到定子側的轉子三相電流；p為微分算子；phis（abc）為三相定子磁鏈；phir（abc）為折算到定子側的三相轉子磁鏈。
1.2 磁鏈方程
根據電機各繞組的空間位置，假設電機各相繞組如下圖所示，
?在電壓、電流、磁鏈三者的正方向都符合右手螺旋定則時，電機六個繞組的磁鏈矩陣方程可以被表示為，式中，Lsl 、Lrl?為定子漏感和折算到轉子側的轉子漏感，L1m 為主磁通對應的定子電感，?為定子A軸和轉子A軸之間的空間夾角。
?1.3 轉矩方程
?根據載流導體在磁場中受力的基本公式可以得到電機的電磁轉矩方程，如下所示。式中，np 為電機極對數，從方程結構可以看出，電機轉矩是定子電流 is（abc）、轉子電流 ir（abc）以及 定轉子空間角度??的函數，這是一個多變量的、強耦合的方程，非常不利于直接控制。
?1.4 運動方程
一般情況下，如果將摩擦阻力合并到負載轉矩 TL 中，電機的運動方程如下所示。式中，Te 為電機輸出的電磁轉矩，?為轉子旋轉電氣角速度。這里也有用機械角速度?來表示的，其實本質是一致的，因為電機轉子旋轉電氣角速度和機械角速度之間存在固定的比例關系（比例為極對數），即??= np *?。
小結：
根據對上述四個方程的分析可知，首先構成異步電機在ABC三相靜止坐標系的數學模型是較為困難的，其次電機關鍵輸出電機轉矩是一個多變量、強耦合數學方程，單一變量的控制無法決定電機轉矩的精準輸出，因此在控制過程中相對較為困難。而對于我們做自動化控制而言，理想的控制狀態就是唯一變量控制唯一輸出變量，有需求就會有鉆研，也就有了后續電機領域關鍵的突破——坐標變換。
2 異步電機在兩相靜止坐標系中的數學模型
為了降低系統的階數，降低控制難度，需要對異步電機的數學模型進行簡化，將電機模型從三相靜止坐標系變換到兩相靜止坐標系能夠降低系統的階數。三相/兩相靜止坐標變換又叫做Clark變換，是以空間位置固定的兩相靜止繞組代替電機實際三相繞組。下圖為三相/兩相靜止坐標變換示意圖：
?令靜止兩相坐標系的 α軸?與定子 A軸 線重合，β軸 超前 α軸90°。在此基礎上，假設電流、電壓、磁鏈遵循同一個線性變換的關系，則可以得到三相/兩相靜止坐標變換的一般關系式。（若這里對一般關系式詳細的推導過程有需要探究的同學，可以翻看陳伯時電力拖動中書籍的198頁）
?式中 y 代表電機定轉子側的電流、電壓、磁鏈等變量，?與??為坐標變換系數，?與??為坐標變換矩陣。順便值得指出的是，以上坐標變換都是基于電機定子側進行的，也可以基于轉子側進行，但是不經常使用。
相信有過接觸的同學應該了解，三相/兩相靜止坐標變換是有兩種的（一種是恒功率變換，一種是恒幅值變換），為什么會有這種區別呢？這里需要回歸一定的線性代數知識，由于三相/兩相變換前后獨立變量個數不變，因此三相/兩相變換其實是用新變量對原變量進行線性變換的過程，這個過程若依據的物理原則不同，變換的矩陣也就不同。目前已有的文獻中，有關電機矢量控制的文獻中采用的靜止坐標變換原則并不統一，不同變換原則得到變換矩陣、電機轉矩方程等都不同，非常容易引起混淆，為此本篇文章對這個問題進行針對性的解決。
1.2.1 恒功率原則下三相/兩相靜止坐標變換
基于恒功率的坐標變換是指變換前的三相電機和變換后的三相電機具有相同的功率和磁動勢，即在電和磁兩個方面完全等效，是基于等效電機原則的坐標變換。若定義三相系統和兩相系統每相繞組匝數分別為 N3 和 N2，因為變換前后總磁動勢不變，則有以下磁動勢關系式：
?所以變換矩陣??= N3 / N2 ，變換矩陣為。這里值得注意的是：不管是哪種原則的坐標變換，到磁動勢這里都是完全一樣的，區別產生的過程就在于下面的約束條件不同，從而導致變換矩陣的系數不同。在等功率變換時約束條件為變換前后功率相等；在等相電流幅值變換中，變換時約束條件為變換前后相電流幅值相等；在等矢量幅值變換中，變換時約束條件變為變換前后空間矢量的幅值相等。
?對于等功率變換而言，通過功率表達式可得以下關系式：
?如果將恒功率變換的磁動勢關系式 和 變換矩陣 帶入上式，并結合三相/兩相靜止坐標變換的一般關系式可得??=??= sqrt(2/3) 。由此可以得到三相/兩相靜止變換矩陣：
根據變換矩陣對電機變換前后的電流、電壓、磁鏈、功率等進行關系推導可得到以下結論：
?1.2.2 恒相電流幅值三相/兩相靜止坐標變換
對于恒矢量變換原則的線性變換，要求變換前后相電流幅值相等， 因此有
?如果將磁動勢方程 和 幅值表達式聯立 ，即可得到 恒相電流幅值變換（等幅值變換）矩陣：
?? ?根據變換矩陣對電機變換前后的電流、電壓、磁鏈、功率等進行關系推導可得到以下結論：
綜合以上分析，不同的變換原則變換的匝數比都是相等的，變換前后磁動勢都是相等的，恒相電流幅值變換前后，相電流電壓未發生改變，但電機的總功率發生了改變，而恒功率變換前后，電機總功率未發生改變。從這個角度講，恒相電流幅值變換可以認為是一種非等效變換，而恒功率變換可以被認為是等效變換。在實際應用中，應根據需求進行合理的選取。為了理解方便，選擇恒功率的等效變換原則。下面基于恒功率變換建立兩相靜止坐標系的電機模型。
1.2.3 兩相靜止坐標系電機模型
（1）電壓方程
（2）磁鏈方程
（3）轉矩方程，轉矩方程根據不同的物理變量有多種不同的表達式，實際應用過程中在以下方程中選擇即可。
從以上方程可以看到，電機模型從六階被降低為了四階，此時的分析和控制相對于三相靜止坐標系都更為簡單快捷。但是從這些方程的表達式中，各個物理量均為交流量，是一個時變值。此時電機內部交流量在控制過程中是復雜的耦合的，若深入的探究分析可以發現控制變量還需要考慮電機轉子與定子之間的夾角，在考慮物理量的幅值特性時，還需要考慮物理量的相位特性。要實現更優的控制性能，就需要將這些交流量轉化為直流量去控制，僅需要控制其幅值特性即可。
3 異步電機在兩相旋轉坐標系中的數學模型
通過靜止兩相坐標變換，雖然異步電機的數學模型得到了簡化，但是按照矢量控制原理，需要將這些交流量轉化為直流量，這個過程就需要引入旋轉坐標變換。三相靜止到兩相靜止的函數推導較為復雜，但物理含義理解上并不困難，兩相旋轉變換數學推導并不困難，較為困難的地方是如何去理解旋轉變換。
?兩相旋轉坐標變換示意圖如上所示，圖中 sa為兩相靜止坐標系的橫軸，sd 為旋轉坐標系的橫軸。變換前后系統的兩相系統的匝數相等，按照變換前后磁動勢等效的原則，可以得到以下關系式：
?從而可以得到坐標變換矩陣為：
?數學推導到這里就結束了，但是這個思想上呢為什么要這么變其實還沒有搞清楚。引用一下大學老師講的一個比喻，逆變器驅動電機的轉動就像一個人在拉著一個圓環轉動，由于磁場的極性特性，導致這個圓環有些特殊，他只有一個固定的地方可以用力。在兩相靜止坐標系中，我想要驅動圓環旋轉，我就得一邊控制自己雙腿位置要和這個用力的地方匹配，一邊還要控制自己的手出力推動轉盤轉起來，有時候控制不好了就轉不動了，出的力也白出了。但是如果圓環的中間轉盤，這個轉盤能夠時刻與圓環固定發力點匹配位置，我就可以站在這個轉盤上，從此以后我不用再管我雙腳的位置了，我就只用管我的手，我就只要狠狠的出力，出大力拉圓環轉就行了，和出力點的匹配就交給轉盤全權搞定了。這個時候控制圓環的轉動就變得非常的簡單了，就是出力，出大力，控制就解耦了。而兩相旋轉變換就等價于這個轉盤的作用，我們看旋轉坐標變換的矩陣里面有角度參數theta，其實就是因為轉盤需要實時的和圓環的發力點匹配，這也是為什么矢量控制中必須要用到編碼器、位置傳感器等元件的原因，實際上就是為了得到這個theta。
（1）兩相旋轉坐標系中電壓方程（基于轉子磁鏈定向）
（2）兩相旋轉坐標系中磁鏈方程（基于轉子磁鏈定向）
（3）兩相旋轉坐標系中轉矩方程（基于轉子磁鏈定向）
（4）轉子磁鏈表達式
?式中，taor為轉子時間常數，從上述方程可以看出，經過基于轉子磁鏈定向的旋轉坐標變換后，定子電流的兩個分量 isd? 和 isq 兩個分量實現了解耦。其中d軸分量 isd 唯一確定轉子磁鏈的 phir 的穩態幅值，q軸分量 isq 只影響輸出轉矩的大小。“巧合”的是這兩個電流分別與他勵直流電機的勵磁電流和電樞電流相對應，這樣就大大簡化了多變量、強耦合的交流異步電機調速系統的控制問題。
總結：
1、三相靜止坐標系下異步電機的數學模型表現為多變量、非線性、強耦合的形式，直接對其求解十分困難。所以，需要引入恒功率、恒相幅值原則下的三相/兩相靜止坐標變換，得到異步電機簡化的基于兩相靜止坐標系下的數學模型。
2、不管是哪種原則的坐標變換，合成磁動勢都是完全一樣的，區別產生的過程就在于約束條件不同，從而導致變換矩陣的系數不同。在等功率變換時約束條件為變換前后功率相等；在等相電流幅值變換中，變換時約束條件為變換前后相電流幅值相等；在等矢量幅值變換中，變換時約束條件變為變換前后空間矢量的幅值相等。
3、不同的變換原則變換的匝數比都是相等的，變換前后磁動勢都是相等的，恒相電流幅值變換前后，相電流電壓未發生改變，但電機的總功率發生了改變，而恒功率變換前后，電機總功率未發生改變。
4、兩相靜止坐標系中各個物理量均為交流量，是一個時變值。此時電機內部交流量在控制過程中是復雜的耦合的，若深入的探究分析可以發現控制變量還需要考慮電機轉子與定子之間的夾角，在考慮物理量的幅值特性時，還需要考慮物理量的相位特性。要實現更優的控制性能，就需要將這些交流量轉化為直流量去控制，僅需要控制其幅值特性即可。為了分析方便，進一步引入了dq兩相旋轉坐標系，將異步電機數學模型中的各物理量轉換為在空間靜止不動的直流量。當dq坐標系按轉子磁場定向后，即可實現定子電流的解耦控制。
5、逆變器驅動電機的轉動就像一個人在拉著一個圓環轉動，由于磁場的極性特性，導致這個圓環有些特殊，他只有一個固定的地方可以用力。而兩相旋轉坐標變換的引入即是使得驅動器的功率能夠精準作用到這個固定的地方，不僅提高了異步電機矢量控制的性能，還提高了系統的效率，但是這些高效的提升是基于theta精準的基礎上，因此矢量控制的應用同時也對theta的精準獲得提出了較高的要求。
綜上，本篇博客解決的目標問題：異步電機不同坐標系的數學模型。解決完成，覺得還不錯的話來個一鍵三~連。
?在進行異步電機數學模型方面的學習之后，有需要了解異步電機的工作原理的同學可以看看這個視頻，比較形象的講解了異步電機磁、電與運動的關系：
【Motor】三相交流異步電機（感應電機 Induction Motor）是如何工作的_嗶哩嗶哩_bilibili
?系列文章傳送門：
1、交流異步電機矢量控制（一）——電機模型及其坐標變換
2、交流異步電機矢量控制（二）——矢量控制原理
3、交流異步電機矢量控制（三）——磁場定向
4、交流異步電機矢量控制（四）——simulink仿真搭建
總結
以上是生活随笔為你收集整理的交流异步电机矢量控制（一）——电机模型及其坐标变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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