交流异步电机矢量控制（一）——电机模型及其坐标变换
目錄
1 異步電機(jī)在三相靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型
1.1 電壓方程
1.2 磁鏈方程
?1.3 轉(zhuǎn)矩方程
?1.4 運(yùn)動(dòng)方程
小結(jié)：
2 異步電機(jī)在兩相靜止坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)模型
1.2.1 恒功率原則下三相/兩相靜止坐標(biāo)變換
?1.2.2 恒相電流幅值三相/兩相靜止坐標(biāo)變換
1.2.3 兩相靜止坐標(biāo)系電機(jī)模型
3 異步電機(jī)在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)模型
總結(jié)：
前言：隨著國(guó)內(nèi)工業(yè)自動(dòng)化技術(shù)的發(fā)展，電機(jī)作為產(chǎn)線的動(dòng)力核心，其控制技術(shù)的要求也越來(lái)越高，電機(jī)控制技術(shù)在制造業(yè)領(lǐng)域的重要程度也逐年增強(qiáng)。其中異步電機(jī)作為控制技術(shù)最成熟的電機(jī)種類之一，其應(yīng)用范圍最為廣泛，因此有必要對(duì)其控制技術(shù)進(jìn)行深入研究。博客前期更新內(nèi)容永磁同步電機(jī)的內(nèi)容較多，異步電機(jī)的內(nèi)容非常少，其實(shí)也是因?yàn)槲以趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中，總是在畏懼異步電機(jī)這個(gè)四階模型的電機(jī)，他相對(duì)于同步電機(jī)確實(shí)要難一些。本文記錄異步電機(jī)的學(xué)習(xí)過(guò)程，由于這方面也是初學(xué)可能理解不夠，每個(gè)部分內(nèi)容出處都會(huì)標(biāo)注出來(lái)，大家可以參照原文原著。博客大家都是以直接了當(dāng)?shù)墨@得想要結(jié)果為主，因此后續(xù)文章均以一個(gè)問(wèn)題為切入點(diǎn)進(jìn)行記錄。
本篇博客解決的目標(biāo)問(wèn)題：異步電機(jī)不同坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)模型
1 異步電機(jī)在三相靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型
在研究異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型之前，為了排除機(jī)械制造安裝、環(huán)境因素等的影響，需要對(duì)電機(jī)進(jìn)行一定的理想化假設(shè)：
需要明確的是，后續(xù)研究的內(nèi)容均以鼠籠型異步電機(jī)為對(duì)象，鼠籠型電機(jī)轉(zhuǎn)子是短路的，即轉(zhuǎn)子端電壓為零。根據(jù)上述理想化假設(shè)可以構(gòu)建異步電機(jī)在三相靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型。
1.1 電壓方程
電機(jī)六個(gè)繞組的電壓矩陣方程可表示為：
?電機(jī)的電壓方程是一個(gè)六階的數(shù)組，相對(duì)dq軸的電壓模型來(lái)說(shuō)模型階層是較高的，這也是后續(xù)需要進(jìn)行坐標(biāo)變換的原因。式中 Rs 和 Rr 分別為定子電阻和折算到定子側(cè)的轉(zhuǎn)子電阻；is（abc）為定子三相電流；ir（abc）為折算到定子側(cè)的轉(zhuǎn)子三相電流；p為微分算子；phis（abc）為三相定子磁鏈；phir（abc）為折算到定子側(cè)的三相轉(zhuǎn)子磁鏈。
1.2 磁鏈方程
根據(jù)電機(jī)各繞組的空間位置，假設(shè)電機(jī)各相繞組如下圖所示，
?在電壓、電流、磁鏈三者的正方向都符合右手螺旋定則時(shí)，電機(jī)六個(gè)繞組的磁鏈矩陣方程可以被表示為，式中，Lsl 、Lrl?為定子漏感和折算到轉(zhuǎn)子側(cè)的轉(zhuǎn)子漏感，L1m 為主磁通對(duì)應(yīng)的定子電感，?為定子A軸和轉(zhuǎn)子A軸之間的空間夾角。
?1.3 轉(zhuǎn)矩方程
?根據(jù)載流導(dǎo)體在磁場(chǎng)中受力的基本公式可以得到電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩方程，如下所示。式中，np 為電機(jī)極對(duì)數(shù)，從方程結(jié)構(gòu)可以看出，電機(jī)轉(zhuǎn)矩是定子電流 is（abc）、轉(zhuǎn)子電流 ir（abc）以及 定轉(zhuǎn)子空間角度??的函數(shù)，這是一個(gè)多變量的、強(qiáng)耦合的方程，非常不利于直接控制。
?1.4 運(yùn)動(dòng)方程
一般情況下，如果將摩擦阻力合并到負(fù)載轉(zhuǎn)矩 TL 中，電機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程如下所示。式中，Te 為電機(jī)輸出的電磁轉(zhuǎn)矩，?為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)電氣角速度。這里也有用機(jī)械角速度?來(lái)表示的，其實(shí)本質(zhì)是一致的，因?yàn)殡?strong>機(jī)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)電氣角速度和機(jī)械角速度之間存在固定的比例關(guān)系（比例為極對(duì)數(shù)），即??= np *?。
小結(jié)：
根據(jù)對(duì)上述四個(gè)方程的分析可知，首先構(gòu)成異步電機(jī)在ABC三相靜止坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)模型是較為困難的，其次電機(jī)關(guān)鍵輸出電機(jī)轉(zhuǎn)矩是一個(gè)多變量、強(qiáng)耦合數(shù)學(xué)方程，單一變量的控制無(wú)法決定電機(jī)轉(zhuǎn)矩的精準(zhǔn)輸出，因此在控制過(guò)程中相對(duì)較為困難。而對(duì)于我們做自動(dòng)化控制而言，理想的控制狀態(tài)就是唯一變量控制唯一輸出變量，有需求就會(huì)有鉆研，也就有了后續(xù)電機(jī)領(lǐng)域關(guān)鍵的突破——坐標(biāo)變換。
2 異步電機(jī)在兩相靜止坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)模型
為了降低系統(tǒng)的階數(shù)，降低控制難度，需要對(duì)異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，將電機(jī)模型從三相靜止坐標(biāo)系變換到兩相靜止坐標(biāo)系能夠降低系統(tǒng)的階數(shù)。三相/兩相靜止坐標(biāo)變換又叫做Clark變換，是以空間位置固定的兩相靜止繞組代替電機(jī)實(shí)際三相繞組。下圖為三相/兩相靜止坐標(biāo)變換示意圖：
?令靜止兩相坐標(biāo)系的 α軸?與定子 A軸 線重合，β軸 超前 α軸90°。在此基礎(chǔ)上，假設(shè)電流、電壓、磁鏈遵循同一個(gè)線性變換的關(guān)系，則可以得到三相/兩相靜止坐標(biāo)變換的一般關(guān)系式。（若這里對(duì)一般關(guān)系式詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程有需要探究的同學(xué)，可以翻看陳伯時(shí)電力拖動(dòng)中書籍的198頁(yè)）
?式中 y 代表電機(jī)定轉(zhuǎn)子側(cè)的電流、電壓、磁鏈等變量，?與??為坐標(biāo)變換系數(shù)，?與??為坐標(biāo)變換矩陣。順便值得指出的是，以上坐標(biāo)變換都是基于電機(jī)定子側(cè)進(jìn)行的，也可以基于轉(zhuǎn)子側(cè)進(jìn)行，但是不經(jīng)常使用。
相信有過(guò)接觸的同學(xué)應(yīng)該了解，三相/兩相靜止坐標(biāo)變換是有兩種的（一種是恒功率變換，一種是恒幅值變換），為什么會(huì)有這種區(qū)別呢？這里需要回歸一定的線性代數(shù)知識(shí)，由于三相/兩相變換前后獨(dú)立變量個(gè)數(shù)不變，因此三相/兩相變換其實(shí)是用新變量對(duì)原變量進(jìn)行線性變換的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程若依據(jù)的物理原則不同，變換的矩陣也就不同。目前已有的文獻(xiàn)中，有關(guān)電機(jī)矢量控制的文獻(xiàn)中采用的靜止坐標(biāo)變換原則并不統(tǒng)一，不同變換原則得到變換矩陣、電機(jī)轉(zhuǎn)矩方程等都不同，非常容易引起混淆，為此本篇文章對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行針對(duì)性的解決。
1.2.1 恒功率原則下三相/兩相靜止坐標(biāo)變換
基于恒功率的坐標(biāo)變換是指變換前的三相電機(jī)和變換后的三相電機(jī)具有相同的功率和磁動(dòng)勢(shì)，即在電和磁兩個(gè)方面完全等效，是基于等效電機(jī)原則的坐標(biāo)變換。若定義三相系統(tǒng)和兩相系統(tǒng)每相繞組匝數(shù)分別為 N3 和 N2，因?yàn)樽儞Q前后總磁動(dòng)勢(shì)不變，則有以下磁動(dòng)勢(shì)關(guān)系式：
?所以變換矩陣??= N3 / N2 ，變換矩陣為。這里值得注意的是：不管是哪種原則的坐標(biāo)變換，到磁動(dòng)勢(shì)這里都是完全一樣的，區(qū)別產(chǎn)生的過(guò)程就在于下面的約束條件不同，從而導(dǎo)致變換矩陣的系數(shù)不同。在等功率變換時(shí)約束條件為變換前后功率相等；在等相電流幅值變換中，變換時(shí)約束條件為變換前后相電流幅值相等；在等矢量幅值變換中，變換時(shí)約束條件變?yōu)樽儞Q前后空間矢量的幅值相等。
?對(duì)于等功率變換而言，通過(guò)功率表達(dá)式可得以下關(guān)系式：
?如果將恒功率變換的磁動(dòng)勢(shì)關(guān)系式 和 變換矩陣 帶入上式，并結(jié)合三相/兩相靜止坐標(biāo)變換的一般關(guān)系式可得??=??= sqrt(2/3) 。由此可以得到三相/兩相靜止變換矩陣：
根據(jù)變換矩陣對(duì)電機(jī)變換前后的電流、電壓、磁鏈、功率等進(jìn)行關(guān)系推導(dǎo)可得到以下結(jié)論：
?1.2.2 恒相電流幅值三相/兩相靜止坐標(biāo)變換
對(duì)于恒矢量變換原則的線性變換，要求變換前后相電流幅值相等， 因此有
?如果將磁動(dòng)勢(shì)方程 和 幅值表達(dá)式聯(lián)立 ，即可得到 恒相電流幅值變換（等幅值變換）矩陣：
?? ?根據(jù)變換矩陣對(duì)電機(jī)變換前后的電流、電壓、磁鏈、功率等進(jìn)行關(guān)系推導(dǎo)可得到以下結(jié)論：
綜合以上分析，不同的變換原則變換的匝數(shù)比都是相等的，變換前后磁動(dòng)勢(shì)都是相等的，恒相電流幅值變換前后，相電流電壓未發(fā)生改變，但電機(jī)的總功率發(fā)生了改變，而恒功率變換前后，電機(jī)總功率未發(fā)生改變。從這個(gè)角度講，恒相電流幅值變換可以認(rèn)為是一種非等效變換，而恒功率變換可以被認(rèn)為是等效變換。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)需求進(jìn)行合理的選取。為了理解方便，選擇恒功率的等效變換原則。下面基于恒功率變換建立兩相靜止坐標(biāo)系的電機(jī)模型。
1.2.3 兩相靜止坐標(biāo)系電機(jī)模型
（1）電壓方程
（2）磁鏈方程
（3）轉(zhuǎn)矩方程，轉(zhuǎn)矩方程根據(jù)不同的物理變量有多種不同的表達(dá)式，實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中在以下方程中選擇即可。
從以上方程可以看到，電機(jī)模型從六階被降低為了四階，此時(shí)的分析和控制相對(duì)于三相靜止坐標(biāo)系都更為簡(jiǎn)單快捷。但是從這些方程的表達(dá)式中，各個(gè)物理量均為交流量，是一個(gè)時(shí)變值。此時(shí)電機(jī)內(nèi)部交流量在控制過(guò)程中是復(fù)雜的耦合的，若深入的探究分析可以發(fā)現(xiàn)控制變量還需要考慮電機(jī)轉(zhuǎn)子與定子之間的夾角，在考慮物理量的幅值特性時(shí)，還需要考慮物理量的相位特性。要實(shí)現(xiàn)更優(yōu)的控制性能，就需要將這些交流量轉(zhuǎn)化為直流量去控制，僅需要控制其幅值特性即可。
3 異步電機(jī)在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)模型
通過(guò)靜止兩相坐標(biāo)變換，雖然異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型得到了簡(jiǎn)化，但是按照矢量控制原理，需要將這些交流量轉(zhuǎn)化為直流量，這個(gè)過(guò)程就需要引入旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換。三相靜止到兩相靜止的函數(shù)推導(dǎo)較為復(fù)雜，但物理含義理解上并不困難，兩相旋轉(zhuǎn)變換數(shù)學(xué)推導(dǎo)并不困難，較為困難的地方是如何去理解旋轉(zhuǎn)變換。
?兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換示意圖如上所示，圖中 sa為兩相靜止坐標(biāo)系的橫軸，sd 為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的橫軸。變換前后系統(tǒng)的兩相系統(tǒng)的匝數(shù)相等，按照變換前后磁動(dòng)勢(shì)等效的原則，可以得到以下關(guān)系式：
?從而可以得到坐標(biāo)變換矩陣為：
?數(shù)學(xué)推導(dǎo)到這里就結(jié)束了，但是這個(gè)思想上呢為什么要這么變其實(shí)還沒(méi)有搞清楚。引用一下大學(xué)老師講的一個(gè)比喻，逆變器驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)就像一個(gè)人在拉著一個(gè)圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)，由于磁場(chǎng)的極性特性，導(dǎo)致這個(gè)圓環(huán)有些特殊，他只有一個(gè)固定的地方可以用力。在兩相靜止坐標(biāo)系中，我想要驅(qū)動(dòng)圓環(huán)旋轉(zhuǎn)，我就得一邊控制自己雙腿位置要和這個(gè)用力的地方匹配，一邊還要控制自己的手出力推動(dòng)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)起來(lái)，有時(shí)候控制不好了就轉(zhuǎn)不動(dòng)了，出的力也白出了。但是如果圓環(huán)的中間轉(zhuǎn)盤，這個(gè)轉(zhuǎn)盤能夠時(shí)刻與圓環(huán)固定發(fā)力點(diǎn)匹配位置，我就可以站在這個(gè)轉(zhuǎn)盤上，從此以后我不用再管我雙腳的位置了，我就只用管我的手，我就只要狠狠的出力，出大力拉圓環(huán)轉(zhuǎn)就行了，和出力點(diǎn)的匹配就交給轉(zhuǎn)盤全權(quán)搞定了。這個(gè)時(shí)候控制圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)就變得非常的簡(jiǎn)單了，就是出力，出大力，控制就解耦了。而兩相旋轉(zhuǎn)變換就等價(jià)于這個(gè)轉(zhuǎn)盤的作用，我們看旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換的矩陣?yán)锩嬗薪嵌葏?shù)theta，其實(shí)就是因?yàn)檗D(zhuǎn)盤需要實(shí)時(shí)的和圓環(huán)的發(fā)力點(diǎn)匹配，這也是為什么矢量控制中必須要用到編碼器、位置傳感器等元件的原因，實(shí)際上就是為了得到這個(gè)theta。
（1）兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中電壓方程（基于轉(zhuǎn)子磁鏈定向）
（2）兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中磁鏈方程（基于轉(zhuǎn)子磁鏈定向）
（3）兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中轉(zhuǎn)矩方程（基于轉(zhuǎn)子磁鏈定向）
（4）轉(zhuǎn)子磁鏈表達(dá)式
?式中，taor為轉(zhuǎn)子時(shí)間常數(shù)，從上述方程可以看出，經(jīng)過(guò)基于轉(zhuǎn)子磁鏈定向的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換后，定子電流的兩個(gè)分量 isd? 和 isq 兩個(gè)分量實(shí)現(xiàn)了解耦。其中d軸分量 isd 唯一確定轉(zhuǎn)子磁鏈的 phir 的穩(wěn)態(tài)幅值，q軸分量 isq 只影響輸出轉(zhuǎn)矩的大小。“巧合”的是這兩個(gè)電流分別與他勵(lì)直流電機(jī)的勵(lì)磁電流和電樞電流相對(duì)應(yīng)，這樣就大大簡(jiǎn)化了多變量、強(qiáng)耦合的交流異步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的控制問(wèn)題。
總結(jié)：
1、三相靜止坐標(biāo)系下異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)為多變量、非線性、強(qiáng)耦合的形式，直接對(duì)其求解十分困難。所以，需要引入恒功率、恒相幅值原則下的三相/兩相靜止坐標(biāo)變換，得到異步電機(jī)簡(jiǎn)化的基于兩相靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型。
2、不管是哪種原則的坐標(biāo)變換，合成磁動(dòng)勢(shì)都是完全一樣的，區(qū)別產(chǎn)生的過(guò)程就在于約束條件不同，從而導(dǎo)致變換矩陣的系數(shù)不同。在等功率變換時(shí)約束條件為變換前后功率相等；在等相電流幅值變換中，變換時(shí)約束條件為變換前后相電流幅值相等；在等矢量幅值變換中，變換時(shí)約束條件變?yōu)樽儞Q前后空間矢量的幅值相等。
3、不同的變換原則變換的匝數(shù)比都是相等的，變換前后磁動(dòng)勢(shì)都是相等的，恒相電流幅值變換前后，相電流電壓未發(fā)生改變，但電機(jī)的總功率發(fā)生了改變，而恒功率變換前后，電機(jī)總功率未發(fā)生改變。
4、兩相靜止坐標(biāo)系中各個(gè)物理量均為交流量，是一個(gè)時(shí)變值。此時(shí)電機(jī)內(nèi)部交流量在控制過(guò)程中是復(fù)雜的耦合的，若深入的探究分析可以發(fā)現(xiàn)控制變量還需要考慮電機(jī)轉(zhuǎn)子與定子之間的夾角，在考慮物理量的幅值特性時(shí)，還需要考慮物理量的相位特性。要實(shí)現(xiàn)更優(yōu)的控制性能，就需要將這些交流量轉(zhuǎn)化為直流量去控制，僅需要控制其幅值特性即可。為了分析方便，進(jìn)一步引入了dq兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，將異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型中的各物理量轉(zhuǎn)換為在空間靜止不動(dòng)的直流量。當(dāng)dq坐標(biāo)系按轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)定向后，即可實(shí)現(xiàn)定子電流的解耦控制。
5、逆變器驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)就像一個(gè)人在拉著一個(gè)圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)，由于磁場(chǎng)的極性特性，導(dǎo)致這個(gè)圓環(huán)有些特殊，他只有一個(gè)固定的地方可以用力。而兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換的引入即是使得驅(qū)動(dòng)器的功率能夠精準(zhǔn)作用到這個(gè)固定的地方，不僅提高了異步電機(jī)矢量控制的性能，還提高了系統(tǒng)的效率，但是這些高效的提升是基于theta精準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，因此矢量控制的應(yīng)用同時(shí)也對(duì)theta的精準(zhǔn)獲得提出了較高的要求。
綜上，本篇博客解決的目標(biāo)問(wèn)題：異步電機(jī)不同坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)模型。解決完成，覺(jué)得還不錯(cuò)的話來(lái)個(gè)一鍵三~連。
?在進(jìn)行異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型方面的學(xué)習(xí)之后，有需要了解異步電機(jī)的工作原理的同學(xué)可以看看這個(gè)視頻，比較形象的講解了異步電機(jī)磁、電與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系：
【Motor】三相交流異步電機(jī)（感應(yīng)電機(jī) Induction Motor）是如何工作的_嗶哩嗶哩_bilibili
?系列文章傳送門：
1、交流異步電機(jī)矢量控制（一）——電機(jī)模型及其坐標(biāo)變換
2、交流異步電機(jī)矢量控制（二）——矢量控制原理
3、交流異步電機(jī)矢量控制（三）——磁場(chǎng)定向
4、交流異步電機(jī)矢量控制（四）——simulink仿真搭建
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的交流异步电机矢量控制（一）——电机模型及其坐标变换的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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