距離比賽已經(jīng)整整一年了，今天突然想整理一下以前比賽的代碼，所以下面是回憶著寫的，可能有錯(cuò)誤的地方，歡迎大家指正。

主要是建了下面3個(gè)模型，一一說(shuō)明：

Model I

首先要建立多種真菌存在下的分解速率模型，這里我是考慮到單個(gè)菌落的分解速度以及菌落之間的競(jìng)爭(zhēng)作用。這里多種菌落分為強(qiáng)弱菌種，建立的模型中強(qiáng)菌會(huì)逐漸覆蓋掉弱菌。而決定菌種生長(zhǎng)速度的，則是耐濕性和分解速率（根據(jù)題意）。然后我將真菌的相互作用分為了3個(gè)階段：無(wú)影響、干擾和寄生，具體原因可見后面的reference。每個(gè)階段都有對(duì)應(yīng)的解析式，并且我用了一個(gè)幾何模型來(lái)表示真菌之間的擴(kuò)散作用。然后是大氣趨勢(shì)變化，這里給出了相互作用的短期和長(zhǎng)期趨勢(shì)。

Model II

這里結(jié)合Model I給各種菌做了ranking 然后給出了一些影響ranking的指標(biāo)，全部是結(jié)合文獻(xiàn)而來(lái)。

Model III

這里用元胞自動(dòng)機(jī)做的生態(tài)系統(tǒng)仿真，時(shí)間原因只用了2種菌仿真，主要是多種菌的代碼由于狀態(tài)轉(zhuǎn)換問(wèn)題求補(bǔ)集容易有bug，當(dāng)時(shí)沒(méi)時(shí)間調(diào)了。并且也用元胞自動(dòng)機(jī)做了Sensitivity Analysis 。

先上摘要和符合說(shuō)明

The carbon cycle is a significant part of the Earth’s biosphere activities. The
degradation of wood littered by fungi plays a key role in the carbon cycle. Based
on the idea of differential equation and computer simulation, three models were
established by studying fungi and their growth environment, which was helpful to
understand the key parts of carbon cycle.

Model I, A dynamic decomposition model of the interaction of various strong
and weak fungi with environmental impact: we took the growth rate of fungi and
its moisture tolerance as the main factors affecting the decomposition rate. Based
on this, a mathematical representation of the decomposition process of the colony
was constructed. This paper found that the interaction between fungi includes three
stages of non-influence, interference, and parasitism. Then the mathematical
expression of the decomposition rate in each stage was derived. And the dynamic
interaction of any two fungi was shown in a geometric way. The results showed
that the competition between the colonies will not be conducive to the decompo-
sition of both parties. The influence mechanism of atmospheric trend changes on
the interaction was shown. The results showed the short-term and long-term trends
of the interaction between fungi.

Model II, A prediction model of the advantages and disadvantages of fungal
species considering environmental factors: the competition ranking of fungi in
the same environment was quantified. The projection of each fungus on the main
components of the competition ranking was used to quantify their competitive
ability. Then we predicted the influence of other environmental components on the
advantages and disadvantages of each fungus. We used data from Alaska to Puerto
Rico. The data can reflect the adaptability of fungi to different environments. Then
the optimal value of each fungus in each environment from the three aspects of
temperature, humidity, and PH was given. We gave the basis to judge the relative
advantages and disadvantages of each kind of fungi. Finally, data from the refer-
ence was used to obtain the optimum values. The values were about temperature
and humidity for each fungus in different environments, then each fungi’s ad-
vantages and disadvantages could be judged.

Model III, A prediction model for the diversity and importance of fungal com-
munities: we analyzed the mechanism of the decomposition of ground waste and
wood fiber by the fungal community system with biological diversity. Then the
mathematical expression of the system decomposition rate was built. The cellular
automata was used to simulate the evolution process of the system with relatively
high and low biodiversity. The Specific value was given under the impact of the
environment on the three aspects of Model II. Among them, the average value of
system deviations with high population abundance was 27%, and the average value
of system deviations with low population abundance was 29%.

下面就簡(jiǎn)單說(shuō)一下重要的模型部分

分解率定義

地面廢棄物和木材纖維上真菌的分解速度主要與真菌的兩個(gè)特性有關(guān): 真菌的生長(zhǎng)速度和真菌的抗?jié)裥浴Ｒ虼?#xff0c;主要研究這兩個(gè)特性，以建立多種真菌存在時(shí)的分解模型。最后，確定了兩者之間的關(guān)系如下: 地面廢棄物和木材纖維上的真菌的分解速度取決于菌絲的延伸速度和真菌的抗?jié)裥?。菌絲體的擴(kuò)展速度實(shí)質(zhì)上是真菌的生長(zhǎng)速度 ，它是由大氣環(huán)境的溫度和濕度決定的，如下圖所示。

要研究真菌對(duì)地面廢棄物和木材纖維的分解速率，必須考慮外界環(huán)境因素和真菌系統(tǒng)內(nèi)部的相互作用。為了簡(jiǎn)化模型，我們首先忽略了真菌之間的相互作用。在外界環(huán)境的作用下，每一種群體都有其最佳的生存環(huán)境，包括溫度和濕度。因此，僅考慮外部環(huán)境，地面廢棄物和木材纖維的分解是由多種真菌在特定溫度和濕度下的所有單菌落分解地面廢棄物和木材纖維的簡(jiǎn)單合成。因此，該問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為研究在特定的外部條件下，單個(gè)菌落分解地面廢棄物和木材纖維的問(wèn)題。

對(duì)于一個(gè)菌落，其地面廢棄物和木材纖維的分解遵循一個(gè)指數(shù)動(dòng)態(tài)規(guī)律如下


如前所述，真菌在地面廢棄物和木材纖維上的分解速率取決于菌絲的延伸速率和菌絲的耐濕性，而菌絲的延伸速率取決于大氣環(huán)境的溫度和濕度。因此，應(yīng)該有以下的形式


然后下面是結(jié)合的組織增長(zhǎng)模型，因?yàn)榫N的規(guī)模越大生長(zhǎng)速率就越慢，這里就用logistic了，得到下面的規(guī)律：

用matlab求解，可以求得該式的解析解：

這樣就可以得到某種菌的生長(zhǎng)速率，如上式左邊與r的乘積

那么到這里其實(shí)就得到了生長(zhǎng)率的解析式了。但是看這個(gè)式子，這里的函數(shù)還需要具體解釋。

通過(guò)查閱文獻(xiàn)資料，我們發(fā)現(xiàn)北美37種真菌菌絲伸長(zhǎng)率與溫度的關(guān)系如下圖所示。研究了菌絲伸長(zhǎng)率與濕度的關(guān)系，結(jié)果表明: 菌絲伸長(zhǎng)率隨濕度的增加而增加，隨濕度的增加而增加。根據(jù)數(shù)據(jù)，這里要符合一個(gè)倒的對(duì)勾函數(shù)。

因此可得到以下兩式：



這里的最大值可以求一階導(dǎo)得到，包括

這里符合比較多，不再解釋，可以對(duì)照上面的表，不是特別重要。

那么根據(jù)上面幾個(gè)式子，就可得到

對(duì)于單菌落來(lái)說(shuō)，分解木質(zhì)纖維的速度滿足：

那么對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)，整體的分解速率就是所有菌落的分解速度之和（不考慮相互作用時(shí)）

相互作用

這里定義了3個(gè)階段，以兩種菌落為例，有接觸前，即將接觸時(shí)，接觸后，分別定義為
non-contact area, the interference area, and the parasitic area

兩種真菌在初始階段處于非接觸區(qū)，隨后以此為順序進(jìn)入狀態(tài)

代入上方ki的表達(dá)式，3個(gè)階段的表達(dá)式依次是：

特別解釋一下第3個(gè)式子，其實(shí)就是下面這個(gè)圖

該圖顯示了強(qiáng)真菌 j (綠色)侵入弱真菌 i (黃色)的過(guò)程。實(shí)際上，不同菌群相互接觸后存在以下三種情況，強(qiáng)菌群侵入弱菌群的可能性較大，兩個(gè)菌群處于死鎖狀態(tài)，弱菌群侵入強(qiáng)菌群的可能性較小，這里不考慮最后一種情況。

面積 G 和 D 分別代表深黃色和深綠色圓形區(qū)域中心，E 和 F 分別代表 D 面積以外的兩層圓盤結(jié)構(gòu)，H 面積代表 G 面積以外的圓盤。面積 D 代表強(qiáng)菌群形成的菌落半徑，面積 G 代表弱菌群形成的菌落半徑。

那么弱勢(shì)真菌在強(qiáng)勢(shì)真菌入侵時(shí)的生長(zhǎng)區(qū)域則為

而表明強(qiáng)菌入侵結(jié)束后，強(qiáng)菌群的領(lǐng)地，被粉紅線包圍是

強(qiáng)菌入侵時(shí)強(qiáng)菌的生長(zhǎng)區(qū)域則是

當(dāng)入侵過(guò)程不發(fā)生時(shí)，表示弱勢(shì)真菌在強(qiáng)勢(shì)真菌入侵期間的生長(zhǎng)面積。

所以下面就只剩一個(gè)當(dāng)入侵過(guò)程發(fā)生時(shí)的生長(zhǎng)速度，這里還是根據(jù)文獻(xiàn)，提出了一個(gè)覆蓋率的概念。

根據(jù)這個(gè)式子，可以表示上述圖形中的各個(gè)參數(shù)，公式推導(dǎo)這里就不寫了，直接寫結(jié)果：

到目前為止，本文已經(jīng)得到了關(guān)鍵參數(shù)的表達(dá)式和公式 ，可以把它們放入前面的分解率計(jì)算公式中，得到系統(tǒng)的分解速率。
這個(gè)模型我覺(jué)得比較合理的是，上面的各式正好可以得到一個(gè)比較漂亮的結(jié)果：
對(duì)于弱真菌，下面的公式適用于

而對(duì)于強(qiáng)真菌，下面的公式適用于

在菌落分解速率與菌落邊緣周長(zhǎng)成正比的前提下，可以得到物理中反映的規(guī)律：

這里$k_{i3}$ 和$k_{j3}$代表寄生區(qū)較弱真菌和較強(qiáng)真菌的分解速度；$k_{i2}$ 和$k_{j2}$則代表干擾區(qū)弱、強(qiáng)真菌的分解速率。

正好是不考慮相互左右的分解率×了一個(gè)小于1的衰減系數(shù)（為什么小于1可以根據(jù)${\theta }_1$和${\theta }_2$的表達(dá)式證明），而對(duì)于強(qiáng)勢(shì)菌，則加了一項(xiàng)與衰減量相同系統(tǒng)的增長(zhǎng)系數(shù)，所以可以得到如下結(jié)論：

由于強(qiáng)菌進(jìn)入寄生區(qū)后取代弱菌的速度比弱菌的膨脹速度慢得多，本文認(rèn)為強(qiáng)菌在環(huán)境不發(fā)生干燥變化的情況下，不會(huì)完全取代弱菌，而是處于侵入與入侵并存的狀態(tài)。由于弱勢(shì)真菌有膨脹率，當(dāng)強(qiáng)勢(shì)真菌侵入弱勢(shì)真菌時(shí)，侵入弱勢(shì)真菌相應(yīng)部位的強(qiáng)勢(shì)真菌的生長(zhǎng)速度低于強(qiáng)勢(shì)真菌邊緣其他部位的生長(zhǎng)速度。

大氣作用

這項(xiàng)并不是我認(rèn)為模型中的精彩部分，就不多做敘述了，只放一張思路圖

結(jié)合上面的部分，也可以得出解析式（運(yùn)氣好），正好是個(gè)雙曲正切，但是有點(diǎn)復(fù)雜。

多菌落分解模型

首先分析了利用真菌群落多樣性分解地表廢棄物的機(jī)理，建立了以分段函數(shù)描述系統(tǒng)總體分解效率的數(shù)學(xué)表達(dá)式。然后利用元胞自動(dòng)機(jī)模擬了生物多樣性系統(tǒng)和非生物多樣性系統(tǒng)在局部環(huán)境具有不同程度變異時(shí)的演化過(guò)程，給出了環(huán)境影響率的三個(gè)方面。

這里的分解率公式都是根據(jù)上面的模型建立的。

主要考慮了任意兩個(gè)群體之間的相互作用，建立了一個(gè)動(dòng)力學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，我們繼續(xù)研究了不同真菌菌落分解模型的形成，并探討其對(duì)系統(tǒng)分解地面垃圾總效率的影響。

如果只有兩種菌的情況下

所以當(dāng)系統(tǒng)中存在多種菌時(shí)，分解率隨時(shí)間的變化如下圖所示：

如果 $t_{disi}$ 的數(shù)量趨近與無(wú)窮，意味著系統(tǒng)中如果存在足夠多個(gè)菌落，由上圖可以輕易看出，整體系統(tǒng)的分解速率滿足：

這與上面定義的單菌落的公式完全對(duì)應(yīng)。

元胞自動(dòng)機(jī)仿真

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，本文將某一地區(qū)兩種不同真菌的存在視為生物多樣性，將某一地區(qū)一種真菌只有兩個(gè)亞種的存在視為非生物多樣性。為他們制定規(guī)則。本文討論了環(huán)境波動(dòng)對(duì)真菌群落的影響。主要表現(xiàn)在三個(gè)方面: 某種真菌停止生長(zhǎng)和死亡，強(qiáng)真菌的置換率增加，弱真菌轉(zhuǎn)化為強(qiáng)真菌。我們的工作是量化這三個(gè)方面的內(nèi)容。當(dāng)一個(gè)地區(qū)有兩種不同的真菌時(shí)，在三種情況下，某種真菌的實(shí)際生長(zhǎng)率下降50% ，其他真菌不變，弱真菌的實(shí)際生長(zhǎng)率下降50% ，強(qiáng)真菌的實(shí)際生長(zhǎng)率上升50% ，強(qiáng)真菌對(duì)弱真菌的覆蓋率上升50% ，弱真菌直接被強(qiáng)真菌取代。當(dāng)一個(gè)地區(qū)有一種真菌的兩個(gè)亞種時(shí)，這三種情況分別對(duì)應(yīng)兩種真菌的實(shí)際生長(zhǎng)率下降50% ，兩種真菌的實(shí)際生長(zhǎng)率下降50% ，沒(méi)有影響。

讓程序進(jìn)入循環(huán)，使分解過(guò)程圖像和變量變化過(guò)程圖像。分解速率公式以概率的形式給出。具體規(guī)則是: 當(dāng)細(xì)胞周圍有 n 個(gè)代表木纖維的細(xì)胞，可以轉(zhuǎn)化為代表真菌的細(xì)胞時(shí)，它就有轉(zhuǎn)化的可能性N*P，其中 p 與真菌的分解速度相對(duì)應(yīng)。值得注意的是，考慮到弱真菌在直接競(jìng)爭(zhēng)中弱于強(qiáng)真菌，他們需要改進(jìn)其他方面，以增加生存的可能性，所以我們讓弱真菌比強(qiáng)真菌生長(zhǎng)得更快。

綜上，這部分在matlab里做初始化

m = 500;n = 500; % 元胞自動(dòng)機(jī)的空間大小 % 用1, 2, 3 分別表示 S, E, I, R. 無(wú)養(yǎng)分區(qū)用 0 表示 % S = 未分解木質(zhì)纖維 ； E = 弱勢(shì)菌 ； R = 強(qiáng)勢(shì)菌[S, E, R] = deal(0,1,2); %deal就是匹配輸出 相互對(duì)應(yīng)出來(lái)的 使其一一對(duì)應(yīng) %可能這種代碼意味著初始最多有兩種狀態(tài)，就是初始狀態(tài)終止?fàn)顟B(tài)和啥也不是態(tài) %rhoN = 0.00008; rhoS = 0.9995; %初始未分解木質(zhì)纖維密度 rhoE = 0.0004; % 初始弱勢(shì)菌密度 rhoR = 0.0001;% 初始強(qiáng)勢(shì)菌密度 % X 為每一個(gè)元胞的狀態(tài) X = zeros(m,n); % 先建立一個(gè)全零矩陣 %X(rand(m,n)<rhoN) = N; X(rand(m,n)<rhoS) = S; % 如果隨機(jī)的一個(gè)是小于0.96的，就是未分解木質(zhì)纖維 X(rand(m,n)<rhoE) = E; %也是同上了 先定義上啊 X(rand(m,n)<rhoR) = R; time = zeros(m,n); %計(jì)時(shí)： 用于計(jì)算潛伏時(shí)間和治療時(shí)間 從 0 開始嗎 ？ % 鄰居方位d = {[1,0], [0,1], [-1,0], [0,-1],[1,1], [-1,1], [-1,-1], [1,-1]};%下面是一種狀態(tài)轉(zhuǎn)換為另一種狀態(tài)的時(shí)間 T = 1; % S-E的時(shí)間，對(duì)應(yīng)弱菌的實(shí)際生長(zhǎng)率 D = 3; % S-R的時(shí)間，對(duì)應(yīng)強(qiáng)菌的實(shí)際生長(zhǎng)率P1 = 0.6; % 弱菌孢子存活率 P2 = 0.5; % 強(qiáng)菌孢子存活率 P3 = 0.05; %強(qiáng)勢(shì)菌吃掉弱勢(shì)菌的概率 % 每一個(gè)元胞的潛伏期和治愈時(shí)間服從均值為 T 和 D 的正態(tài)分布 Tmn = normrnd(T,T/2,m,n); Dmn = normrnd(D,D/2,m,n); %正態(tài)分布的表示方法

狀態(tài)轉(zhuǎn)換如下圖：

一開始系統(tǒng)中全部是未分解的木質(zhì)纖維，隨后大部分被弱勢(shì)菌分解并替代，當(dāng)大部分的地方都被強(qiáng)勢(shì)菌和弱勢(shì)菌占領(lǐng)后，開始兩種菌之間的競(jìng)爭(zhēng)作用，最后強(qiáng)勢(shì)菌將完全覆蓋掉弱勢(shì)菌。

元胞數(shù)量變化是這樣的。

ifS2R_S = rand(m,n)<(N2*P2);%S-RifS2E_S = rand(m,n)<(N1*P1);%S-EifS2R_E = rand(m,n)<(N2*P3);%E-RifS2E_or_R_S = rand(m,n)<(N1*P1)|rand(m,n)<(N2*P2); %A|BifS2E_and_R_S = rand(m,n)<(N1*P1)&rand(m,n)<(N2*P2); %A&BRule1 = S*(isS & ~(ifS2R_S|ifS2E_S|ifS2R_E)) ;Rule2 = R*isR;Rule3 = R*(isE & ifS2R_E)+R*(isS & ifS2R_S);Rule4 = E*(isE & (ifS2R_S|ifS2E_S|ifS2R_E-ifS2R_S|ifS2E_S))+E*(isS & (ifS2E_S- ifS2R_S&ifS2E_S)) ;

狀態(tài)轉(zhuǎn)換規(guī)則如上，主要一個(gè)狀態(tài)如果不變的情況也要考慮。

總結(jié)

因?yàn)橐呀?jīng)過(guò)了一年了，只寫了一些當(dāng)時(shí)還記憶深刻的東西，這里有全篇論文和可以直接跑的代碼以及當(dāng)時(shí)比賽時(shí)的一些手稿，有寫論文中表述不清的問(wèn)題可以看看手稿，公式有很多都是手推的，但是論文只寫了結(jié)果。由于論文中有篇幅限制，元胞自動(dòng)機(jī)中的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖放在手稿中了。整理不易，希望大家理解。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的2021美赛A题元胞自动机解法（M奖）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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