主要談及直流電機的速度PID控制，在智能車中還有方向PID控制（舵機調整方向）。

參考文獻
[1] 胡壽松. 自動控制原理[M]. 第六版. 北京:科學出版社, 2015.
[2] 陳伯時. 電力拖動自動控制系統——運動控制系統[M]. 第三版. 北京:機械工業出版社, 2020.
[3] 陳國強, Putra A S. 工業自動化中的驅動與控制[M]. 第1版. 北京:機械工業出版社, 2016.

1為什么要用PID

在理想情況下，小車的速度調節成線性，即當PWM=60%時，小車速度是2M/S；把PWM提高到90%，則小車速度為3M/S；但實際上由于各種因素的影響，往往實際速度和輸入速度有誤差，因此必須要通過某種算法進行調整，PID控制的意義就在于消除這種誤差。

2前置知識

2.1線性系統的穩定性

根據李雅普諾夫穩定性理論，線性系統的穩定性表述為：若線性系統在初始擾動的影響下，其動態過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零，則稱系統漸進穩定，簡稱穩定；若在初始擾動的影響下，系統的動態過程隨時間的推移而發散，則稱系統不穩定。

線性系統的穩定性由系統結構決定，與外界因素無關，這是因為控制系統中一般含有儲能元件或慣性元件，不可能突變，因此當受到擾動或有輸入量時，控制系統不會立即完成，而是有一定延緩，這就使得被控量恢復期望值或跟蹤輸入量有一個過渡過程。

系統的穩態誤差除了與系統本身結構和參數有關外，還與系統輸入信號的形式和大小有關。

2.2控制系統的性能指標

控制系統的性能指標有兩種體系：時域指標和頻域指標。時域指標分為穩態指標和動態指標。

穩態指標

穩態誤差：指時間趨于無窮時（即系統穩定后）輸出量與期望輸出的偏差。控制系統的穩態誤差越小說明控制精度越高。一般要求穩態誤差在給定量的2%-5%之間。計算穩態誤差以系統穩定為前提。

誤差信號e(t)中，包含瞬態分量ets(t)和穩態分量ess(t)，系統必須穩定，當時間趨于無窮時，必有ets(t)趨于0。控制系統的穩態誤差定義為誤差信號e(t)的穩態分量ess（∞），簡記為ess。
系統在多個信號共同作用下總的穩態誤差等于多個信號單獨作用下的穩態誤差之和。

動態指標

動控制系統的動態性能指標包括對給定輸入型號的跟隨性能指標和對擾動輸入信號的抗干擾指標。通常調速系統的動態指標以抗擾性能為主，而隨動系統（伺服系統）的動態指標以跟隨性能為主。

跟隨性能指標
在給定信號或參考輸入信號R（t）的作用下，系統輸出量C（t)的變化可用跟隨性能指標描述。給定信號不同時，輸出響應不同，通常以輸出量的初始值為零時給定信號階躍變化下的過渡過程作為典型的跟隨過程，此時的輸出量動態響應稱作階躍響應。
常用的階躍響應跟隨性能指標見下方時域圖。

另外兩種類型的時域圖。

上升時間：對有振蕩系統定義為響應從零第一次上升到終值所需時間。

峰值時間：響應超過其終止到達第一個峰值所需時間。

調節時間：響應到達并保持在穩態值的±5%誤差范圍內所需的最短時間。

超調量：響應的最大偏離量h與終值之差的百分比。

振蕩次數： 在調節時間內，響應曲線穿越穩態值次數的1/2.

抗擾性能指標
控制系統穩定運行中，突加一個使輸出量降低的擾動量F后，輸出量由降低到恢復的過渡過程是系統典型的抗擾過程。
常用的抗擾性能指標為動態降落和恢復時間。

動態降落： 系統穩定運行時，突加一個約定的標準負擾動量，所引起的輸出量最大降落稱為動態降落，輸出亮在動態降落后逐漸恢復，達到新穩態值C∞2，則原穩態值C∞1與C∞2之差（C∞1-C∞2）是系統在該擾動作用下的穩態誤差，即靜差。

恢復時間： 從階躍擾動作用開始，到輸出量基本恢復穩態，距新穩態值C∞2之差進入某基準值Cb的±5（±2）范圍內所需的時間，定義為恢復時間。

3 PID理論基礎

3.1 PID控制原理與參數簡述

PID控制的主要過程是通過對被控對象的當前值進行采樣，并計算采樣值與期望值的偏差，再將這個偏差反饋給PID控制器，從而調整對被控對象的輸入（執行器的輸出）。這里的偏差指給定量與反饋量之差，可以量測；而我們常說的誤差為系統輸出的實際值與期望值之差，無法量測，只有數學意義。偏差存在極性，有正偏差和負偏差之分。

PID控制器（比例-積分-微分控制器），由比例單元(Proportion)、積分單元(Integral)和微分單元(Derivative)組成，通過Kp， Ki和Kd三個參數進行設定。
Kp（比例系數）代表了當前的信息，起糾正偏差的作用，使反應迅速；
Kd（微分系數）代表了將來的信息，在過程開始時強迫過程進行，過程結束時減小超調，克服振蕩，提高系統的穩定性，加快系統的過渡過程；
Ki（積分系數）代表了過去積累的信息，它能消除靜差，改善系統的靜態特性。

PID控制器主要適用于線性且動態特性不隨時間變化的系統。
當不完全了解一個系統和被控對象或不能通過有效的測量手段來獲得系統參數時，最適合采用PID控制技術。

Ki和Kd可以用Ti（積分時間）和Td（微分時間）進行代替，二者含義：
積分時間Ti： 偏差產生后，積分動作的 MV 達到比例動作 MV 所需的時間稱為積分時間。

微分時間Td： 偏差產生后，微分動作的 MV 達到比例動作的 MV 所需的時間稱為微分時間。

Ki、Kd同Ti、Td的換算關系為：
$Ti=Kp?\frac{Tp}{Ki}$
$Td=Kp?\frac{Kd}{Tp}$
可以看到Ti和Ki成反比關系，Ti越大，積分作用越弱；Td和Kd成反比關系，Td越大，微分作用越強。
值增大時，PID參數對快速性和穩定性的影響見下表：

PID參數快速性穩定性

Kp	提高	降低
Ti	降低	提高
Td	提高	降低

PID如何整定？

3.2比例（P）控制

比例控制器能立即成比例地、不失真也無時間滯后地復響應輸入的變化量，其實質相當于一個放大器。控制器的輸出量與偏差之間成比例關系，輸出值為誤差值和kp相乘。如果偏差為0，比例控制器就會失去作用，從而再次產生偏差（即穩態誤差，見后文），因此很少單獨使用比例控制。

$u(t)=Kp?e(t)$

比例度
工業上常用比例度（ proportional band，或稱比例帶）來代替Kp，其值是Kp的倒數。
比例度是指在只有比例作用的情況下，能使控制器輸出量做滿量程變化的輸入量相對變化的百分數。
以調節閥為例，為被調量產生50%的偏差時，調節閥能從全開到全關(或全關到全開)滿量程變化。

僅有比例控制時，系統輸出存在穩態誤差 ess，這是由比例控制的本質決定的。
由公式可知：

$ess=\frac{u(t)}{Kp}$

只有當滿足Kp無限大，或u為0時，穩態誤差為0。

3.3比例積分（PI）控制

即比例+積分（PI）控制器，是最為常用的一種控制器。
在比例控制的基礎上，為了消除穩態誤差，在控制器中必須引入“積分項”。通過“I”分量計算，則控制器的輸出量與偏差的持續時間成比例增加。所以即便誤差很小，積分項也會隨時間增加而加大，它推動控制器的輸出上升或下降（取決于誤差的正負），使穩態誤差進一步減小，直到等于零。
比例積分控制對于時間滯后的被控對象使用不夠理想。

PI控制器相當于滯后校正，提高穩定性，但降低了快速性。

$u(t)=Kp[e(t)+\frac{1}{Ti}{\int }_0^{t}e(t)dt]$

式中可看出PI控制器輸出為比例控制和積分控制兩部分之和。積分控制和比例控制的根本區別在于，比例控制器的輸出只與當前的偏差有關，而積分控制器的輸出則包含系統過去所有偏差的積累，只要歷史偏差存在，即便當前偏差為0，其積分也一定有數值，從而產生輸出；如果偏差不再變化，則終值便保持恒定不再變化。即偏差大于0時，積分控制器輸出上升；偏差等于0時，積分控制器輸出停止上升（下降）；偏差小于0時，積分控制器輸出下降。

3.4比例微分（PD）控制

即比例+微分（PD）控制器，可以用一個積分環節和比例環節來表示。
在微分控制中，控制器的輸出量與偏差的微分（即誤差的變化率）成正比關系。自動控制系統在克服誤差的調節過程中可能會出現振蕩甚至失穩。其原因是由于存在有較大慣性組件（如儲能元件）或有滯后(delay)組件，具有抑制誤差的作用，其變化總是落后于誤差的變化。
解決的辦法是使抑制誤差的作用的變化“超前”，即在誤差接近零時，抑制誤差的作用就應該是零。目前需要增加的是“微分項”，它能預測誤差變化的趨勢，這樣，具有比例+微分的控制器，就能夠提前使抑制誤差的控制作用等于零，甚至為負值，從而避免了被控量的嚴重超調。
所以對有較大慣性或滯后的被控對象，比例+微分(PD)控制器能改善系統在調節過程中的動態特性，否則反而會使系統的控制受到影響。

PD控制器相當于超前校正，增加頻帶寬度，提高快速性，但損失增益，不利于穩定性。

$u(t)=Kp[e(t)+Td?\frac{de(t)}{dt}]$

3.5比例積分微分（PID）控制

$u(t)=Kp[e(t)+\frac{1}{Ti}{\int }_0^{t}e(t)dt+Td?\frac{de(t)}{dt}]$

上圖為比例積分微分控制（理想情況）。

PID控制器相當于超前-滯后校正。

3.6積分飽和

當輸出信號上升至執行器的極限后仍沒有大到足以實現控制誤差時，積分部分仍會繼續上升，從而產生很大的積累值，即進入飽和區；當偏差反向時，控制器需要先消除已經飽和的積分項，才能消除誤差，且進入飽和區愈深則退飽和時間愈長（退飽和超調），此時執行器仍停留在極限位置而不能隨著偏差反向立即做出相應的改變，此即為積分飽和。積分飽和會導致具有很大過沖和強穩定時間的響應。

克服方法之一是進行積分限幅。

3.7死區

死區用于在控制器中防止對小誤差的響應，從而減少振蕩現象和運動部件的磨損。
死區公式見下圖，當偏差值小于現值，則認為無偏差，不進行調節；當偏差值大于等于限值，則進行調節。

需要注意的是，偏差置0會造成積分消失。

3.8關于PID輸出量的含義

我們知道對于自動控制系統來說，輸入量和反饋量必須為同一類型，否則無法通過比較器比較；但是輸出量卻不需要與輸入量為同一類型，例如對于水位控制系統來說，輸入量為期望水位，反饋量為實際水位，而輸出量則可以為閥門開度。

給定與過程反饋的一致性指：給定與反饋的物理意義一致；給定與反饋的數值范圍對應。

那么對于PID控制器來說，它的輸出量是什么？
PID控制器的輸出量就是期望的輸出量，也可以是任何需要的量，例如對于輸入量為水位的PID系統來說，輸出量就是閥門開度。
這同PID控制器特性有關。PID控制器根據輸入偏差調整輸出，其最終目的是為了消滅誤差，這就決定了PID控制器本身不關心輸出量的含義，只要存在誤差，PID控制器便能達到預想的控制效果。

不過這也是個人淺見，推薦各位看一下這篇文章，有空我也會貼上相應專業文獻。
pid控制器輸出的量到底是什么？

4 PID數字化控制

4.1 位置式PID和增量式PID

數字PID調節器由位置式和增量式兩種算法。
位置式PID的離散化公式為：

在位置式PID中，比例部分只與當前的偏差有關，而積分部分則是系統過去所有偏差的積累。

增量式PID的離散化公式為：

在增量式PID中，只需要當前和上一排的偏差即可計算輸出的偏差量。

PID控制器相當于超前-滯后校正。

變頻器的閉環運行就是在變頻器控制的拖動系統中引入負反饋，進行反饋控制，以提高反饋精度。

關于對PID算法的通俗理解，可參考：PID控制算法原理（拋棄公式，從本質上真正理解PID控制）

在控制系統中，需要對控制器輸出進行限幅。
對于位置式PID，只需設置輸出限幅；而在增量式PID中，則需同時設輸出限幅和積分限幅，后者用于避免產生較大的退飽和超調。

4.2采樣周期和控制周期

周期越短，計算機實現的離散控制器就越接近連續控制器。

PID 算法的采樣周期表示兩次模擬量數據采樣之間的時間。時間越短則越能反應模擬量的變化情況，并提高系統的抗干擾能力，但會加重ADC的計算負荷。在控制效果上，針對滯后系統，過短的采樣周期會使相鄰兩次采樣的差值幾乎沒有變化，致使積分和微分的調節作用會削弱。對于變化快速的對象，采樣周期需要縮短。
采樣實質等價于在反饋回路中引入額外死區時間，使控制器的突然擾動只能在半個采樣周期的平均時間之后檢測到。

PID 算法的控制周期表示兩次輸出值（控制值）計算之間的時間，即PID控制器進行對系統進行一次偏差調節時間。控制周期越短，則控制效果越好，但CPU計算負擔越重。此外因為受控系統/執行單元也有響應帶寬上限，所以到達一定的控制周期后，繼續減小周期將不繼續帶來系統性能的顯著提高，并使控制器對高頻噪聲更加敏感。

控制周期因大于等于采樣周期，否則盲目提高采樣周期毫無意義。

5 PID控制器的參數整定

PID參數對控制質量的影響不十分敏感，因而不同的PID系數的組合可能達到相近的控制效果。

編寫可行的PID程序從來不是什么難點，難的是PID參數整定，異常麻煩以至于我們寧愿用開環控制。
需要設定的值有：

● 目標值（Setpoint）
● pid參數（Kp，Ki，Kd）
● 輸出極限（OutputLimits）
● 采樣時間（SampleTime）

5.1 基本方法

控制整定法有理論計算法和經驗整定法兩種。

閱讀本小節前，推薦大家閱讀這篇文章，以形成更為直觀的認識。
需要提醒各位的是，PID參數整定是一件非常痛苦的事情，即便熟悉PID理論，對參數整定方法有所掌握，到實際調試時仍困難重重。

經驗法

首先需要注意的是，由于閉環調節的影響因素，PID參數是無法通過數學建模的方式獲取的，只有通過實際調試獲得參數。即便如此，我們仍可以給出一些保守的PID參數作為初值，見下表：


若需加入積分作用，通常：
$Td=（\frac{1}{3}～\frac{1}{4}）?Ti$

臨界比例法

一般采用的是臨界比例法（屬于工程整定法）。

工程整定法主要依賴工程經驗，直接在控制系統的試驗中進行，且方法簡單、易于掌握，在工程實際中被廣泛采用。（簡單來講就是試湊）。

PID調節的實質在于取得快速性和穩定性的折中，利用該方法進行PID控制器參數的整定步驟如下：
(1)首先預選擇一個足夠短的采樣時間讓系統工作，輸入設定為系統允許的最大值（輸出極限）的60%~70%。 控制時間根據實際工藝過程決定，一般默認1s，通常建議先從默認值開始，再根據結果進行調整，由于電機PID調節無滯后，顧在效果不佳的情況下也可嘗試縮短采樣時間。

(2)僅加入P比例控制環節。 當手動調節PID控制器時，通常按照P，I，D的順序調整參數。初調時，Kp選小一些，這是為了盡可能減小比例作用；然后慢慢調大，直到系統對輸入的階躍信號（Step Function）出現臨界振蕩，記下這時的比例放大系數和臨界振蕩周期。如果后續需要加入積分控制環節，則需設定Kp為當前值的60%~70%，這是因為當Kp調整至接近期望值后，Ki就開始減少到合適值，這會導致穩定性的降低，反過來Ki又需要減少；

臨界是介于收斂和發散的一種過渡狀態。臨界振蕩指等幅振蕩。

(3)加入I積分控制環節。 積分系數初調時要把積分時間設置長些，這是為了減小積分作用；然后慢慢調小直到系統穩定為止，設定PID的積分時間常數Ti為當前值的150%~180%。

一般情況下到此為止

(4)D微分控制環節一般不用設定，待整定參數越多，則整定難度越大。如果通過比例、積分參數的調節還是收不到理想的控制要求，才調節微分時間。初調時把這個系數設小，然后慢慢調大，直到系統穩定。除了會導致調參復雜，不使用微分控制環節的原因是其易受噪聲和其它擾動影響，并將其放大到更大的程度，導致穩定性降低。

1.PID控制器的參數整定(經驗總結)
2.PID：從入門到放棄
3.PID參數整定口訣解析

5.2 PID曲線分析

在PID調節中，根據反饋對給定值的跟隨性能來評判控制效果，因此要衡量PID參數是否合適，必須能夠連續觀察反饋對于給定變化的響應曲線；并根據波形來調試調試PID參數。觀察反饋量的連續波形，可以使用帶慢掃描記憶功能的示波器（如數字示波器），波形記錄儀，或者在PC機上做的趨勢曲線監控畫面等。
下圖建議引自西門子官方文檔，用戶可以將調節的PID反饋與給定曲線與下圖中對比，并修改相關參數：

比例積分微分控制的理想情況見下圖，該曲線為10：1衰減曲線，允許存在一定的過沖以更快的到達目標點，再趨于穩定。

更新記錄

2021.9.5 新增小節”關于PID輸出量的含義“
2021.9.11 對“PID控制器的參數整定”小節進行了擴寫；修正文中的部分錯誤，并進行了補充；文章題目變更為“線性系統的矯正方法——智能車PID控制學習筆記”。
2021.9.20 新增小節“采樣周期和控制周期”
文章題目變更為“線性系統的矯正方法——智能車PID控制理論學習筆記”。
2021.9.25-27 小幅調整小節順序，新增段落“PID曲線分析” “一些建議”
2022.1.15 例行更新

記錄開始時間：2021.9.5

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性系统的矫正方法——PID控制理论学习笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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