§1.數據平穩性
協方差平穩：時間序列的期望和方差是有限常數，協方差只跟時間間隔有關而不隨時間變化。
含義：主要分布參數(一階和二階矩)在時間維度上具有穩定性。
平穩是指動態變化有規律可循，受到沖擊衰減。
非平穩是指動態變化無規律可循，累積沖擊的效果。
隨機趨勢：單位根過程
$$\begin{gathered} y_t=y_{t?1}+{\epsilon }_t \\ {\epsilon }_t～iid(0,{\sigma }^2) \\ {y}_{t?1}=y_{t?2}+{\epsilon }_{t?1}?y_t=\sum _{i=0}^t{\epsilon }_i \end{gathered}$$

結論：$y_t$是一個白噪聲過程的疊加，即積分。$y_t～I(1)$，一階求積過程，一個單位根，稱為一階單整過程。
本質：序列受到沖擊不衰減，永久記憶。滯后算子$L,L{y}_t=y_{t?1}?(1?L)y_t={\epsilon }_t?L=1$，單位根為1，在單位圓上。
平穩過程
有零值回復：
$$\begin{gathered} y_t=\rho y_{t?1}+{\epsilon }_t \\ \rho \in (?1,1){\epsilon }_t～iid(0,{\sigma }^2) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \rho 值一般大于0，自相關系數，表示經濟實體具有慣性。 \\ \rho 值小于0時，表示經濟實體處于震蕩狀態。 \\ \rho >1表示經濟實體存在泡沫，但泡沫的最終走向是破滅，故\rho >1不能長期存在。 \end{gathered}$$
漂移：
$$\begin{gathered} y_t=\alpha +\rho y_{t?1}+{\epsilon }_t \\ 需要注意的是，\alpha 不是均值，在MA過程中，\alpha 會乘以\rho ，逐步衰減其作用。 \end{gathered}$$

漂移和時間趨勢：
$$y_t=\alpha +\beta t+\rho y_{t?1}+{\epsilon }_t$$

CODE1: import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt%matplotlib auto""" AR(1)：x[t]=rho*x[t-1]+epsilon """ num = 500 epsilon = np.random.normal(0,1,num) x = np.empty(num)""" 非平穩AR(1) """ t=np.linspace(1,500,500) rho = 1 x[0] = 0 for i in range(1,num):x[i] = 0.3+0.5*t[i]+rho*x[i-1]+epsilon[i] plt.subplot(111,title = "AR({0}):x[t]=0.3+0.5t+{1}*x[t-1]+epsilon".format(1,rho)) plt.plot(x)plt.show() CODE2: import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt%matplotlib auto num = 500 epsilon = np.random.normal(0,1,num) x_1 = np.empty(num) x_2 = np.empty(num) x_3 = np.empty(num) x_4 = np.empty(num) x_5 = np.empty(num) x_6 = np.empty(num)t=np.linspace(1,500,500) x_1[0]=0 for i in range(1,num):x_1[i]=0.5+0.3*t[i]+epsilon[i]rho = 1 x_2[0] = 0 for i in range(1,num):x_2[i] = 0.3+rho*x[i-1]+epsilon[i]plt.subplot(211) plt.plot(t,x_1,label='y_t=0.5+0.3t+epsilon') plt.plot(t,x_2,label='y_t=0.3+y_{t-1}+epsilon') plt.legend()x_3[0]=0 for i in range(1,num):x_3[i]=0.5+0.3*t[i]+epsilon[i]x_4[0]=0 for i in range(1,num):x_4[i] = 0.5+epsilon[i]x_5[0]=0 for i in range(1,num):x_5[i] = 0.3+rho*x[i-1]+epsilon[i]x_6[0]=0 for i in range(1,num):x_6[i] = 0.3+epsilon[i]plt.subplot(212) plt.plot(t,x_4,label='Trend stationary') plt.plot(t,x_6,label='Difference stationary')plt.legend() plt.show() CODE3: import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt%matplotlib auto num = 500 epsilon = np.random.normal(0,1,num) x_1 = np.empty(num) x_2 = np.empty(num)t=np.linspace(1,500,500) x_1[0]=0 for i in range(1,num):x_1[i]=0.5+0.3*t[i]+epsilon[i]rho = 1 x_2[0] = 0 for i in range(1,num):x_2[i] = 0.3+rho*x[i-1]+epsilon[i]plt.subplot(211) plt.plot(t,x_1,label='y_t=0.5+0.3t+epsilon') plt.legend() plt.subplot(212) plt.plot(t,x_2,label='y_t=0.3+y_{t-1}+epsilon') plt.legend() plt.show()

總結

以上是生活随笔為你收集整理的非平稳时间序列分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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