时间序列之平稳时间序列预测、趋势型序列预测、复合型序列预测
時(shí)間序列是同一現(xiàn)象在不同時(shí)間的相繼觀察值排列而成的序列。研究時(shí)間序列的主要目的之一就是進(jìn)行預(yù)測(cè),主要是根據(jù)已有的時(shí)間序列數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)未來(lái)的變化。時(shí)間序列預(yù)測(cè)的關(guān)鍵是確定已有時(shí)間序列的變化模式,并假定這種模式會(huì)延續(xù)到未來(lái)(與馬爾可夫預(yù)測(cè)模型對(duì)比)。
時(shí)間序列的成分有趨勢(shì)、季節(jié)性、周期性、隨機(jī)性。
- 趨勢(shì)是時(shí)間序列在長(zhǎng)期內(nèi)呈現(xiàn)出來(lái)的某種持續(xù)上升或者持續(xù)下降的變動(dòng)。
- 季節(jié)性也稱(chēng)季節(jié)變動(dòng),它是時(shí)間序列在一年內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)的周期性波動(dòng)。
- 周期性也稱(chēng)循環(huán)波動(dòng),是時(shí)間序列中呈現(xiàn)出來(lái)的圍繞長(zhǎng)期趨勢(shì)的一種波浪型或者震蕩式變動(dòng)。
- 隨機(jī)性也稱(chēng)不規(guī)則波動(dòng),是時(shí)間序列中除去趨勢(shì)、周期性和季節(jié)性之后的偶然性波動(dòng)。
時(shí)間序列可以分為平穩(wěn)序列和非平穩(wěn)序列兩大類(lèi),平穩(wěn)序列是基本上不存在趨勢(shì)的序列。非平穩(wěn)序列是包含趨勢(shì)、季節(jié)性或周期性的序列,它可能只含有其中一種成分,也可能含有幾種成分。
?平穩(wěn)序列的預(yù)測(cè)
平穩(wěn)時(shí)間序列通常只含有隨機(jī)成分(時(shí)間序列成分不含趨勢(shì)、周期性和季節(jié)性),其與預(yù)測(cè)方法主要有簡(jiǎn)單平均法、移動(dòng)平均法和指數(shù)平滑法等,這些方法主要是通過(guò)對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行平滑以消除隨機(jī)波動(dòng),因而也稱(chēng)為平滑法。
簡(jiǎn)單平均法
簡(jiǎn)單平均法利用已有t期觀察值通過(guò)簡(jiǎn)單平均來(lái)與預(yù)測(cè)下一期數(shù)值,即用已有t期數(shù)值的平均作為t+1期預(yù)測(cè)值,
移動(dòng)平均法
移動(dòng)平均通過(guò)對(duì)時(shí)間序列逐期遞移求得平均數(shù)作為預(yù)測(cè)值的一種預(yù)測(cè)方法,其方法有簡(jiǎn)單移動(dòng)平均和加權(quán)移動(dòng)平均。
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簡(jiǎn)單移動(dòng)平均
簡(jiǎn)單移動(dòng)平均將最近k期數(shù)據(jù)加以平均作為下一期預(yù)測(cè)值。設(shè)移動(dòng)間隔為k(1<k<t+1),則t+1期移動(dòng)平均值為,
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加權(quán)移動(dòng)平均
在簡(jiǎn)單移動(dòng)平均中,所選的近期數(shù)據(jù)在預(yù)測(cè)計(jì)算中的比重是相同的,但是近期數(shù)據(jù)一般包含著關(guān)于未來(lái)的信息,因此給予更高的權(quán)重,類(lèi)似于加權(quán)平均數(shù),加權(quán)移動(dòng)平均公式為,
?即以第t期的加權(quán)移動(dòng)平均數(shù)作為第t+1期的預(yù)測(cè)值,其中為的權(quán)數(shù)。
指數(shù)平滑法
指數(shù)平滑法是通過(guò)對(duì)過(guò)去的觀察值加權(quán)平均進(jìn)行預(yù)測(cè)的一種方法,該方法使t+1期的預(yù)測(cè)值等于t期的實(shí)際觀察值與t期的預(yù)測(cè)值的加權(quán)平均值。指數(shù)平滑有一次指數(shù)平滑、二次指數(shù)平滑等。一次指數(shù)平滑將一段時(shí)期內(nèi)的預(yù)測(cè)值與觀察值的線(xiàn)性組合作為t+1期的預(yù)測(cè)值,其預(yù)測(cè)模型為,
?
其中為t期的實(shí)際觀察值,?為t期的預(yù)測(cè)值,為平滑系數(shù)。
趨勢(shì)型序列的預(yù)測(cè)
趨勢(shì)預(yù)測(cè)分為線(xiàn)性趨勢(shì)和非線(xiàn)性趨勢(shì)兩大類(lèi)(適用時(shí)間序列不含周期性和季節(jié)性)?,如果這種趨勢(shì)能夠延續(xù)到未來(lái),就可以運(yùn)用趨勢(shì)進(jìn)行外推預(yù)測(cè)。
線(xiàn)性趨勢(shì)預(yù)測(cè)
當(dāng)現(xiàn)象按線(xiàn)性趨勢(shì)發(fā)展變化時(shí),可以用下列線(xiàn)性趨勢(shì)方程來(lái)描述
其中?代表時(shí)間序列的預(yù)測(cè)值。
趨勢(shì)方程中的兩個(gè)待定系數(shù)和通常按回歸中的最小二乘法求得,公式為,
?趨勢(shì)預(yù)測(cè)的誤差可用線(xiàn)性回歸中的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤來(lái)衡量,計(jì)算公式為,
?其中m為趨勢(shì)方程中待確定的未知數(shù)的個(gè)數(shù)。
非線(xiàn)性趨勢(shì)預(yù)測(cè)
系列中的趨勢(shì)通常認(rèn)為是由于某種固定的因素作用于同一方向形成的。若這些因素隨著時(shí)間的推移呈現(xiàn)線(xiàn)性變化,則可以對(duì)時(shí)間序列擬合趨勢(shì)直線(xiàn);若呈現(xiàn)某種非線(xiàn)性趨勢(shì),則需要擬合適當(dāng)?shù)内厔?shì)曲線(xiàn),下面介紹幾種常見(jiàn)的趨勢(shì)曲線(xiàn)。?
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指數(shù)曲線(xiàn)
?一般的自然增長(zhǎng)及大多數(shù)經(jīng)濟(jì)序列都有指數(shù)變化趨勢(shì),指數(shù)曲線(xiàn)的趨勢(shì)方程為,
其中,為待定系數(shù)。
為確定指數(shù)曲線(xiàn)中的常數(shù)?和,可采取線(xiàn)性化手段將其化為對(duì)數(shù)直線(xiàn)形式,即兩端取對(duì)數(shù)得:
然后根據(jù)最小二乘法原理,的到求解?和的標(biāo)準(zhǔn)方程如下,
?求?和后,即求得了和。
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多階曲線(xiàn)
有些現(xiàn)象的變化形態(tài)比較復(fù)雜,在變化過(guò)程中有多個(gè)拐點(diǎn),這時(shí)就需要擬合多項(xiàng)式函數(shù)。只有一個(gè)拐點(diǎn)時(shí),可以擬合二階曲線(xiàn),即拋物線(xiàn);有兩個(gè)拐點(diǎn)時(shí),需要擬合三階曲線(xiàn);有k-1個(gè)拐點(diǎn)時(shí),需要擬合k階曲線(xiàn)。k階曲線(xiàn)線(xiàn)函數(shù)的一般形式為
?
函數(shù)中的系數(shù)任然可以根據(jù)最小二乘法求得,只需要將上式線(xiàn)性化,即可用最小二乘法求得。?
復(fù)合型序列的分解預(yù)測(cè)?
復(fù)合型序列是指含有趨勢(shì)、季節(jié)、周期和隨機(jī)成分的序列。由于周期成分的分析需要多年數(shù)據(jù),實(shí)際中很難得到多年的數(shù)據(jù),這里不考慮周期成分。?復(fù)合型序列的預(yù)測(cè)方法有多種,這里只考慮分解法預(yù)測(cè),該方法通常將時(shí)間序列的各個(gè)因素依次分解出來(lái),然后進(jìn)行預(yù)測(cè),分解法預(yù)測(cè)模型為,
采用分解法進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí),需要先找出季節(jié)成分并將其從序列中分離出去,然后建立預(yù)測(cè)模型再進(jìn)行預(yù)測(cè)。分解法的預(yù)測(cè)通常按下列步驟進(jìn)行:
? ? 1.確定并分離季節(jié)成分。
確定季節(jié)成分并求出季節(jié)指數(shù),然后將季節(jié)成分從時(shí)間序列中分離出去,即用序列的每一個(gè)觀測(cè)值除以相應(yīng)的季節(jié)指數(shù)。
? ? ?2.建立預(yù)測(cè)模型并進(jìn)行預(yù)測(cè)。
根據(jù)消除季節(jié)成分后的序列建立預(yù)測(cè)模型。當(dāng)消除季節(jié)成分后的序列為線(xiàn)性趨勢(shì),可用一元線(xiàn)性回歸模型預(yù)測(cè),為非線(xiàn)性模型時(shí),可選用適當(dāng)?shù)姆蔷€(xiàn)性模型預(yù)測(cè)。
? ? ?3.計(jì)算最后的預(yù)測(cè)值。
將第二步得到的預(yù)測(cè)值乘以相應(yīng)的季節(jié)指數(shù),得到最終的預(yù)測(cè)值。?
?
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的时间序列之平稳时间序列预测、趋势型序列预测、复合型序列预测的全部?jī)?nèi)容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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