什么是模糊集呢？模糊集相對于普通集合而言，用隸屬度用函數表示，普通集合用特征函數表示。當然，他倆都是在論域下的。

支集($SuppA=\{x|x\in U,A(x)>0$)是F集合(模糊集，邊界不明顯的)中所有大于零的元素組成的集合(畢竟F集也是包含0的)

核($KerA=\{x|x\in U,A(x)=1$)是F集合中所有等于1的元素組成的集合(普通集了)

如果支集不為空，則稱為正規F集，注意冪集記作$\psi U$(實在打不出來，符號超級復雜)

特征函數就是在不在，$A$就是代表特征函數(它取值0~1之間)。

集合數積(乘上一個數$\lambda$)，輸出0到1，這里$\lambda$就是$[0,1]$(0到1之間某一個數)，這樣$\lambda A$就會限制到$[0,\lambda ]$。

曲線是隨便亂畫的，凡是出現的曲線屬于$SuppA$，$KerA$是最高的點。

經典集合的凸集

就是任意兩點之間的連線上的所有點都在集合內，這就是凸集。
凸F集的定義是任何中間的隸屬度($A(x_3)\ge min(A(x_1),A(x_2)),A(x_3)=A(x_1)\wedge A(x_2)$)，都要大于兩邊元素的隸屬度中的小者(對就是小者)，反應在曲線上是一個單峰A(x)函數

把實數域上的正規的，凸F集稱為正規實模糊數，簡稱模糊數，即把以某個實數值為核的，凸F集稱為F數(F數的本質是凸F集)。F數是一類特殊的F集合，是實數域上的F集合，它的性質和一般F集合完全相同，例如”20歲左右“(20就是A的核，20歲上下的隸屬度都小于20歲的1，這是沒問題的，這就是凸F集)，”1.8m上下“，既可以用F集合表示，也可以用F數表示(例如F數2，F數3，F數20)。靠近程度用隸屬度函數表示。隸屬度函數輸出的是隸屬度，一個事實一般有多個隸屬函數，這些隸屬函數有一部分相交(例如青年，中年，老年)。

模糊集的擴充，例如基本概念擴充法(實際上也是隸屬函數集的建立過程)，例如：${\mu }_{極大}(u)={\mu }_{大}^2(u)$(這實際上是另一個隸屬函數了)。這個非常非常好用(老師說的)。注意這是小數，平方后變小了(保留兩位就可以了，老師要求就這樣) 。最后的隸屬值會變小(用離散值舉例)。至今為止，確定隸屬函數的具體方法大多停留在經驗，實踐和實驗數據上，經常使用的經驗方法有以下幾種：模糊統計法，二元對比排序法，專家經驗法(教授還是吃香的。。。)，神經網絡法。無論哪種方法，都離不開人的主管參與和客觀實際的檢驗。F集合完全由隸屬函數所描述。

模糊函數(向量)的組合
設論域為$U$，如果任何一個$x$，有$A(x)=1$，則稱A為論域$U$上的全集(把年齡想象成離散的，一共1-100歲，這個隸屬函數全是1，說明它表示全年齡，這就是這樣的全集，$A(x)\equiv 1$)，同理，模糊空集為($A(x)\equiv 0$)，F全集與F空集都屬于經典集合。

模糊集合還有相等，
包含(均有$A(x)\le B(x)$)，
并集($C(x)=max[A(x),B(x)]=A(x)\vee B(x)$)，
交集($C(x)=min[A(x),B(x)]=A(x)\wedge B(x)$)，
補集($B(x)=1?A(x)$)(實際上是函數(映射關系)的組合)

模糊關系就是兩個模糊集之間的關系，也就是兩個隸屬函數之間的關系。模糊關系可以想象成不同廚師對一道菜色香味的評分。例如好吃與高分的關系，好吃與低分的關系。

模糊關系脫離模糊集而存在。是論域$U,V$的關系，其實也是$U\times V$的一個子集，即$R?U\times V$，對于其中的元素，如果$(u,v)\in R$則稱$u$與$v$有$R$關系，否則稱沒有關系。
$$U{\to }^{R}V$$

所謂直積，就是這個：
$$A\times B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}$$

若$A$與$B$有關系$R$，那也是$A\times B$的子集了。序偶$(a,b)$也會有隸屬度為${\mu }_R(a,b)$。它是一種新的模糊集。

序偶隸屬度與普通隸屬度的聯系在于：
下面是一條模糊規則：
$$\begin{gathered} A\to B或IFA(u)THENB(v) \\ R=A\times B={\int }_{U\times V}min({\mu }_A(u),{\mu }_B(v))/(u,v) \end{gathered}$$

那么$R$就是一個模糊矩陣。這時候算法就跟矩陣乘積一樣了。笛卡爾乘積就是可以形成序偶。
接下來就是模糊關系與模糊關系的關系，合成：
$$\begin{gathered} R_1°R_2 \\ {\mu }_{R_1°R_2}(u,w)=\vee \{{\mu }_{R_1}(u,v)\wedge {\mu }_{R_2}(v,w)\} \end{gathered}$$

什么意思呢？這是正常的矩陣操作，取大取小跟矩陣一模一樣。
$$R(x,z)=(P°Q)(x,z)=\{(x,z)|?y,(x,y)\in P,(y,z)\in Q\}$$
什么叫模糊變換呢？就是一個模糊集(向量)跟一個序偶模糊集(矩陣)相乘，的出來一個向量，這是模糊變換(也是模糊合成的一種)。
$$A°R=B$$

但在色香味例子中，$A$只是一個權重，$R$是評價矩陣，$B$為總和評價矩陣，反正也是從一個關系轉移到另一個關系了。另外最后還需要歸一化。

下面說明幾種清晰化方案：

模糊集合的截集，說白了，就是績點。當然，如果連續的模糊集合無限分層，或者大量相差很小的經典集合求并，會成為模糊集合，反之，F集合的截集合可以使F集合轉化為經典集合。截集的定義為：
$$A_{\lambda }=\{x|x\in U,A(x)\ge \lambda \}$$
稱$A_{\lambda }$為A的一個$\lambda$-截集，$\lambda$為闕值或置信水平。
稱集合$A_{\lambda }=\{x|x\in U,A(x)>\lambda \}$為F集A的一個$\lambda$-強截集。
$\lambda$-截集與$\lambda$-強截集都屬于經典集合，利用數積的概念，任何一個模糊集合A可以看作無限多截集$A_{\lambda }$的并($A={\cup }_{\lambda \in [0,1]}(\lambda A_{\lambda })$)，這就是模糊集合的分解定理。該定理反映了F集合與經典集合的相互轉化的關系。

模糊關系矩陣的截矩陣
關于一個哨兵$\lambda$，超過它就是1，沒超過就是0，就這樣。

模糊集合轉化為數值，挺重要的。這種轉換也稱為模糊集合的清晰化或反模糊化。

面積中心(重心)法，面積中心法直觀合理，言之有據，但計算略顯復雜。

面積平分法，將隸屬函數曲線面積平均分成兩半，找這條線，用該值代表該模糊集合。直觀合理，計算簡便，在模糊控制器中使用較多。

最大隸屬度法，通常模糊集合并非都是正規的和凸的，隸屬函數也并非一條連續直線。因此，用隸屬度最大點對應的元素值，代表這個模糊集合是一種簡便方法，稱為最大隸屬度法。但往往有以偏概全之嫌。說不定在多處隸屬度都取最大值。這樣還要用最大隸屬度平均值法，最大隸屬度最大值法，最小值法，這就是清晰化。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的模糊控制 之 模糊集，隶属函数，模糊关系的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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