現代控制理論（一）控制系統的狀態空間描述

• 一、系統數學描述的兩種形式
• • 1、基于輸入輸出模型的外部描述
  • 2、基于狀態空間模型的內部描述（屬于是時域模型上的描述）
• 二、狀態空間描述常用的基本概念
• • (一)基礎概念
  • • 1、松弛性
    • 2、因果性
    • 3、線性
    • 4、時不變性（定常性）
    • 5、狀態和狀態空間基本概念
  • (二)系統的狀態空間描述
  • • 1、狀態方程
    • 2、輸出方程
    • 3、動態方程
    • 4、線性系統
    • 5、利普希茨定理(Lipschitz)
  • (三)系統的傳遞函數矩陣（線性定常系統-多輸入多輸出）
• 三、線性定常系統動態方程建立(用的到的話有時間再補充)
• • 1、根據系統物理模型建立動態方程（單輸入單輸出）
  • 2、由高階微分方程建立動態方程（單輸入單輸出）
  • 3、由系統傳遞函數建立動態方程（單輸入單輸出）
  • 4、由差分方程和脈沖傳遞函數建立動態方程（單輸入單輸出）
  • 5、由傳遞函數矩陣建立動態方程（多輸入多輸出）

??前面的幾個博客組要總結的內容屬于是經典控制理論的范疇，系統的數學模型是線性定常微分方程、差分方程、傳遞函數、脈沖傳遞函數，主要的分析與綜合方法是時域法、根軌跡法和頻域法。經典控制理論常用于單輸入-單輸出線性定常系統，其缺點是只能反映輸入、輸出間的外部特性，難以揭示系統內部的結構和運行狀態，不能有效處理多輸入-多輸出系統、非線性系統、時變系統等復雜系統的控制問題。
??現代控制理論，是一套以狀態方程作為描述系統的數學模型，以最優控制和卡爾曼濾波為核心的控制系統分析設計的原理和方法。主要利用計算機作為系統建模分析、設計以及控制的手段，適用于多變量、非線性、時變系統。在航天技術和計算機的推動下現代控制理論開始發展，一個標志就是卡爾曼引入狀態空間概念。

一、系統數學描述的兩種形式

??系統泛指一些相互作用的部分構成的整體，可能是一個反饋控制系統，也可能是一個控制裝置或受控對象。所研究系統均假定有若干輸入端和輸出端。

1、基于輸入輸出模型的外部描述

??將系統看成一個黑箱，只是反映輸入與輸出之間的關系，二不去表征系統的內部結構和內部描述。如高階微分方程或傳遞函數。

2、基于狀態空間模型的內部描述（屬于是時域模型上的描述）

??狀態空間模型反映了系統的內部結構和內部變量，由狀態方程和輸出方程兩個方程組成。

狀態方程： 反映系統內部變量x和輸入變量u之間的動態關系，具有一階微分方程組或一階差分方程組的形式。
輸出方程： 表征系統輸出量y與內部變量x及輸入變量間的關系，具有代數方程的形式。

??外部描述雖然能反映系統的外部特性，卻不能反映系統的內部結構與運行過程，內部結構不同的兩個系統也可能有相同的外部描述，因此外部描述是不完整的，而內部描述則能全面、完整的反映出系統的一切動態特性。

二、狀態空間描述常用的基本概念

??系統狀態空間描述的優越性在于：能揭示處于系統內部的狀態信息并加以利用；一階微分方程組比高階微分方程適宜于在計算機上運算求解；采用向量-矩陣形式，當各種變量數目增加時，并不增加數學表達的復雜性；可適用于單變量或多變量、線性或非線性、定常或時變、確定性或隨機性各類系統的描述。

(一)基礎概念

1、松弛性

??系統在t0時刻是松弛的，當且僅當輸出y[0,oo)由輸入u[t0,oo)唯一確定。從能量觀點看，在t0時刻不儲存能量，即系統初始狀態能量為0,也即系統在 ?oo到t0這個時間段內系統的儲能為0。若系統不是松弛的，其輸出響應不僅由u[t0,oo)所決定，還與初始條件有關。
??在松弛性假設下，系統的輸入輸出描述有

??式中H是某一算在或函數，例如傳遞函數就是一種算子。

2、因果性

??系統在時刻t的輸出取決于時刻t及在t之前的輸入，而與t之后的輸入無關，系統就具有因果性。一般研究的實際物理系統都具有因果性，也稱為因果系統。如果系統不具有因果性，系統就能夠預測t之后的輸入并施加于系統而影響其輸出。

3、線性

??齊次性，可加性（這兩是線性的定義）

4、時不變性（定常性）

??輸入信號延遲時間a，輸出信號也對應的延遲a。線性時不變系統數學方程中各項的系數必為常數，只要有一項的系數是時間的函數時，則是時變的，

5、狀態和狀態空間基本概念

??狀態：系統在時間域中的行為或運動信息的集合。
??狀態變量：能夠唯一的確定系統時間域行為的一組獨立（數目最少的）變量。用這組變量，只要給定輸入系統能夠完全確定系統在任意時刻的狀態。選取方式可以不同，但同一系統狀態變量數量一致。數學解釋：他們是系統所有內部變量中線性無關的一個極大變量組，除選取的變量以外，其他的變量都與他們線性相關，
??狀態向量：狀態變量組成的向量。
??狀態空間：以狀態向量的n個分量作為坐標軸所組成的n維空間稱為狀態空間 。

(二)系統的狀態空間描述

1、狀態方程

??描述系統狀態變量與輸入變量之間關系的一階向量微分方程或差分方程稱為系統的狀態方程，它不含輸入的微積分項。狀態方程表征了系統由輸入所引起的狀態變化，一般情況下，狀態方程既是非線性的，又是時變的，可以表示為

2、輸出方程

??描述系統輸出變量與系統狀態變量和輸入變量之間函數關系的代數方程稱為輸出方程，當輸出由傳感器得到時，又稱為觀測方程。輸出方程表征了系統狀態和輸入的變化所引起的系統輸出變化。

3、動態方程

??狀態方程與輸出方程的組合，又稱為狀態空間表達式。

4、線性系統

??線性系統的狀態方程是一階向量線性微分方程或差分方程，輸出方程是向量代數方程，即需要 f[-] 和 g[-] 的諸元是x向量和u向量元素的線性函數。對于線性系統，狀態空間方程可以表現跟明顯的一般形式：
（1）對于一個復雜系統，狀態變量有n個，輸入有r個，輸出有m個。狀態方程：

（2）輸出方程，不僅是狀態變量的組合，在特殊情況下，也有輸入向量的直接傳送。輸出方程：

??上述的狀態空間方程寫成向量矩陣的形式為：

??式中的A(t)B(t)C(t)D(t)分別是系統矩陣(狀態陣)、輸入矩陣(控制矩陣)、輸出矩陣、耦合陣(前饋矩陣)。諸系數矩陣中只要有某元是時間函數，便是時變系統，如果是常數，便是定常系統。

5、利普希茨定理(Lipschitz)

??當所選狀態變量不同時，所得狀態方程也不同，故狀態方程也不是唯一的，為了保證狀態方程的解存在且唯一，
??解存在且唯一的充分條件是滿足利普希茨定理：

??對時變系統而言A(t)B(t)u(t)的元都是時間t的分段連續函數；
??對于線性定常系統，AB都是元為有限值的常數矩陣；
??狀態方程不含輸入u(t)的導數項。

(三)系統的傳遞函數矩陣（線性定常系統-多輸入多輸出）

??設初始條件為0，對線性定常系統的動態方程進行拉普拉斯變化，可以得到

三、線性定常系統動態方程建立(用的到的話有時間再補充)

1、根據系統物理模型建立動態方程（單輸入單輸出）

2、由高階微分方程建立動態方程（單輸入單輸出）

3、由系統傳遞函數建立動態方程（單輸入單輸出）

4、由差分方程和脈沖傳遞函數建立動態方程（單輸入單輸出）

5、由傳遞函數矩陣建立動態方程（多輸入多輸出）

總結

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