1 背景

比如要對一些身高數據進行分類，劃分出所有人身高高的集合，按照經典的集合論，一個成員要么屬于該集合要么不屬于。對于那種數值上與劃定的確切數據相差細微的身高顯然有些不太“人性”，在隸屬描述上沒有包含語義。

模糊集的方式就不存在上面所描述的問題，每一個成員都屬于這個集合，只是具有不同的程度[0,1]。模糊集合是普通（二值）集合的一個擴展，用于處理“部分為真”的概念，可以對自然語言的不確定性進行建模。

2 模糊集定義

模糊集的元素對該集合具有隸屬度，對一個模糊集的隸屬度代表該元素屬于該集合的確定性（或不確定性）。

正式定義如下：
假定X是論域（域），x∈X 是X的一個特定元素，則模糊集A由一個隸屬度映射函數刻畫：μA : X→[0,1]。因此，對于所有的x∈X，μA（x）代表元素屬于模糊集A的確定性。

對于不同類型的域（離散、連續），模糊集的表示有所不同。對于離散域X，模糊集既可以用一個nx維向量表示，也可以用求和符號表示。比如：X={x1,x2,x3...xn},使用集合符號可以表示為：A=μA(x1)/x1+μA(x2)/x3+……+μA(xn)/xn

要注意上面表達式中的與代數求和含義不同，僅表示A是一個有序對集合。

3 隸屬函數

隸屬函數是模糊集的本質，一個隸屬函數也被稱為模糊集的特征函數。隸屬函數的作用或者說代表的含義是：將域中的每一個元素的隸屬度關聯到一個對應的模糊集。模糊集的隸屬函數可以是任何形狀和類型，是由定義模糊集的領域的相關專家來確定的。

由于模糊集里隸屬函數的含義，雖然隸屬函數的形狀和類型可以很多樣，但是必須滿足一下約束：

• 一個隸屬函數必須有上下界0和1，即范圍在[0,1]
• 對于每一個x∈X，μA(x)必須是唯一的。即對于一個模糊集來說，一個元素只能對應一個隸屬度。

比如對于身高的隸屬函數圖形

這只是一個比較簡單地隸屬函數的例子，還有很多很復雜的離散或連續函數，“領域內的專家有責任定義能夠捕獲模糊集特征的函數”

4 模糊算子及關系

模糊集合的相等：集合元素相同并且隸屬函數也相同

模糊集合的包含：元素以及隸屬函數值都為包含

模糊集合的補（NOT）：一個集合A的補包含集合A的所有元素，但隸屬度變為1-原來的隸屬度值。即“實質是隸屬度的補”

模糊集合的交（AND）：實現交的算子被稱為t范數。t范數是的結果是包含兩個模糊集合的所有元素，隸屬度取決于特定的t-范數。t-范數有很多，最為常用的是最小算子和乘積算子（很容易理解，最小算子是取兩個集合中該元素中小的那個隸屬度，乘積算子是取其乘積）。

模糊集合的并（OR）：實現并的算子稱為s-范數，結果也是包含兩個模糊集合的所有元素，對于隸屬度來說最頻繁使用的是“最大算子”和“和算子”

二值集合可以通過文氏圖來觀察，模糊集可以通過最終的隸屬函數圖來觀察這些操作。（本質的區別還是模糊集有隸屬度）

5 模糊集的特性

模糊集由隸屬函數來進行描述，隸屬函數的特性：正規化、高度、支持、核、α截集、單峰性、基數、歸一化

• 正規化：一個模糊集是正規的，如果該集合含有隸屬度為1的元素；否則為次正規
• 高度：隸屬函數的上確界
• 支持：模糊集A的支持是論域X中所有以非零隸屬度屬于A的元素的集合
• 核：域中所有隸屬度為1的元素的集合
• α截集：隸屬度大于等于α的元素所構成的集合
• 單峰性：一個模糊集是單峰的，如果他的隸屬函數是單峰的，即函數僅有一個最大值
• 基數：模糊集的基數是該集合所有元素隸屬度的集合（有限域、無限域均是）
• 歸一化：用模糊集的高度除以隸屬函數，即對模糊集進行歸一化

6 模糊和概率的區別

很多人會弄混模糊和概率的概念，兩個詞都是描述事件發生的確定性（不確定性）程度，這也是這兩個詞僅有的共同點。

統計概率給出的確定性程度僅在相關事件發生前是由意義的，在事件過后，因為結果已經知道，概率不再適用。在一個時間發生后，模糊集的隸屬度仍舊是有意義的，屬于對應元素的程度仍然是相應的隸屬度。

概率假定事件之間相互獨立，模糊不基于該假設。概率假定任何事情均可知的一個封閉世界的模型，模型中的概率是基于發生事件的頻率度量。模糊是基于域的描述性度量（按照隸屬函數）而不是主觀的頻率度量。

概率和模糊集可以共同表達模糊事件的概率。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的模糊集的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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