模糊集（一型模糊）

在經典的集合理論中，一個元素要么屬于要么不屬于這個集合。相比之下，模糊集則通過隸屬度函數來評價一個元素對于一個集合的隸屬程度。因此，模糊集是對經典集合的一般化。在模糊集理論中，經典的二價集（bivalent sets）被稱作crisp sets。
模糊集通常先要劃分論域U，再定義一個隸屬度函數（membership function）來表示元素對U在[0, 1]上的映射。常用的隸屬度函數有高斯隸屬度函數，區間隸屬度函數，三角隸屬度函數，梯形隸屬度函數。

二型模糊

一型模糊通過隸屬度函數來刻畫對象的不確定性，而有時隸屬度函數本身就是不確定的。所以二型模糊引入了一個次隸屬度函數，來刻畫隸屬度函數的不確定性。根據對次隸屬度的取值不同，二型模糊集又被分為了廣義二型模糊集（General Type-2 Fuzzy Sets, GT2FS）和區間二型模糊集（Interval Type-2 Fuzzy Sets, IT2FS）。

GT2FS的隸屬度函數可以表示為三維圖像，其中第三維的值表示x在其二維域中的隸屬度，這個區域叫做 footprint of uncertainty (FOU)。

區間二型

區間二型是二型模糊集的一種簡化形式，其中將次隸屬度函數值定義為了固定值，使得計算過程更加簡單。也即是對應上圖中第三維的值處處相等，如都為1。所以對于區間二型來說，第三維度就不包含什么信息了，因此，第三維度可以被忽略，只有FOU用來刻畫一型模糊集的不確定信息，如下圖所示。其中這個FOU區域可以被兩個界限函數進行描述，其中每個界限函數都是一個一型模糊的隸屬度函數。這兩個界限函數分別稱作 lower membership function (LMF) 和 upper membership function (UMF)。因此，區間二型模糊集也稱作一階不確定模糊集（first-order uncertainty fuzzy set），而廣義二型模糊集被稱作二階不確定模糊集（second-order uncertainty fuzzy set）。

參考

Type-2 fuzzy sets and systems

總結

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