【參考資料】
【1】《模糊數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用》

1 經(jīng)典集合理論

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1.1 集合的特征函數(shù)

定義: 設(shè)$A\in F(U)$，U是論域（論域相當(dāng)于全集），具有如下性質(zhì):
$X_A:U\to (0,1)$

$x\to X_A(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in A\\ 0,& x\in /A\end{array}$
備注：經(jīng)典集合邏輯上可以表示為一個映射，屬于集合能映射到1，否則映射到0

1.2 映射的擴張

定義: 設(shè)$f:X\to Y$,則稱映射$f:X\to F(Y)$為x到y(tǒng)的點-集映射。

定義: 設(shè)$T:X\to Y$,稱這個映射為集合變換。

經(jīng)典的函數(shù)映射為點-點映射，即上圖中的x到y(tǒng)，而通常還有問題需要點-集映射，如x到集合B，以及集合到集合的映射，如A到B。

經(jīng)典擴張原理:

設(shè)映射$f:X\to Y,x?f(x)=y,?A\in F(X)$，令
$f(A)=\{y\in Y|y=f(x),x\in A\}$，則集合$f(A)\in F(Y)$稱為集合A在f下的像；對于$?B\in F(Y)$，令$f^{?1}(B)=\{x|x\in X|f(x)\in B\}$，則集合$f(B)\in F(X)$為B在f下的原像。

備注：這里的經(jīng)典擴張原理實際上是一個定義，將原來經(jīng)典集合論下點到點的函數(shù)定義擴展為集合到集合。如下圖所示:

1.3 二元關(guān)系

a. 等價關(guān)系

定義: 若集合X上的二元關(guān)系R具有自反性、對稱性和傳遞性，則稱R是X上的一個等價關(guān)系。

這個定義在抽象代數(shù)里有提過，等價關(guān)系代表著集合里的一個等價類劃分。
例如年齡相同是一個等價類，它把同學(xué)按照不同的年齡劃分群體。

b. 相似關(guān)系
定義: 若集合X上的二元關(guān)系R具有自反性、對稱性，則稱R是X上的一個相似關(guān)系。

相似關(guān)系不具備傳遞性，例如朋友關(guān)系、同學(xué)關(guān)系，舉例如下:

從相似類劃分可以看到，實際上在相似矩陣?yán)锎碇粋€全1的矩陣，能夠互相轉(zhuǎn)換。

1.4 格

定義：設(shè)集合L中規(guī)定了兩種運算$\vee$和$\wedge$，即$a\vee b=sup\{a,b\}$，$a\wedge b=inf\{a,b\}$，并且滿足如下性質(zhì):
冪等律:$a\vee a=a,a\wedge a=a$
交換律:$a\vee b=b\vee a,a\wedge b=b\wedge a$
結(jié)合律:$(a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c),(a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)$
吸收律:$(a\vee b)\wedge a=a,(a\wedge b)\vee a=a$
則稱L是一個格，記作$(L,\vee ,\wedge )$

2 模糊子集

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2.1 模糊子集的定義

這里從經(jīng)典集合論的特征函數(shù)衍生出去，對于經(jīng)典特征函數(shù)，其映射非0即1，代表某個元素要么屬于這個集合，要么不屬于這個集合。而模糊子集是一個模糊的概率，其特征函數(shù)是一個0到1的閉集，可以理解為有多少概率屬于某個集合。

定義: 設(shè)U是論域，稱映射${\mu }_A:U\to [0,1],x?{\mu }_A(x)\in [0,1]$，確定了U上的一個模糊子集A，稱${\mu }_A$為A的隸屬函數(shù)，${\mu }_A(x)$為x（這里可以這樣理解: x是論域U中的一個點，A是U的一個子集）對A的隸屬程度。若${\mu }_A(x)=0.5$時，稱該點為過渡點，此時最模糊。

舉例:

2.2 模糊集的表示方法

論域$U=\{x_1,x_2,...,x_n\}$，對于U上的任意一個模糊集A,存在隸屬函數(shù)$\underset{～}{A}(x_i)i=(1,2,3,...,n)$,表示如下:

扎德表示法

$\underset{～}{A}=\frac{\underset{～}{A}(x_1)}{x_1}+\frac{\underset{～}{A}(x_2)}{x_2}+...+\frac{\underset{～}{A}(x_n)}{x_n}$

注意這里的分號、加號都只是一個符號表示，不是運算意義上的分號和加號。

序偶表示法
$\underset{～}{A}=\{(x_1,\underset{～}{A}(x_1)),(x_2,\underset{～}{A}(x_2)),...,(x_n,\underset{～}{A}(x_n))\}$

向量表示法
$\underset{～}{A}=\{\underset{～}{A}(x_1),\underset{～}{A}(x_2),...,\underset{～}{A}(x_n)\}$

2.3 模糊集的基本運算

并 : $(\underset{～}{A}\cup \underset{～}{B})(x)?\underset{～}{A}(x)\vee \underset{～}{B}(x),?x\in U$

交 : $(\underset{～}{A}\cap \underset{～}{B})(x)?\underset{～}{A}(x)\wedge \underset{～}{B}(x),?x\in U$

余 : $\underset{～}{A}(x{)}^C?1?\underset{～}{A}(x)$

圖例:

圖例看不清，加幾句備注。圖a取交集等于取隸屬函數(shù)A和B中的大值，可以看到上面那條線粗一點；圖b取并集等于取隸屬函數(shù)A和B中的小值，可以看到下面那條線粗一點；圖c取余集等于每次用1減去當(dāng)前的隸屬函數(shù)值。

3 模糊集的幾個基本原理

3.1 $\gamma ?$截集

定義: 設(shè)$\underset{～}{A}\in F(U)$，對于$?\gamma \in [0,1]$,記作：$A_{\gamma }=\{x|\underset{～}{A}(x)\ge \gamma \}$。

簡單講就是把隸屬函數(shù)大于某一個值得元素找出來，它表述對模糊度（可信度）的一種篩選，即低于某個閾值則剔除。

3.2 分解定理

定義：數(shù)$\lambda$（屬于[0,1]）與模糊集$\underset{～}{A}$的乘積為$\lambda \wedge \underset{～}{A}(x)$。

分解定理：
設(shè)$\underset{～}{A}\in F(U)$，則$\underset{～}{A}=\underset{\lambda \in [0,1]}{\cup }\lambda A_{\lambda }$

上述分解定理表示一個模糊集可以分解成幾個$\lambda$及其截集的數(shù)乘。舉例如下:

3.3 擴張原理

根據(jù)之前的經(jīng)典擴展原理我們定義了一個集合到另外一個集合的映射。那么這個集合里的一個模糊子集在此映射下會產(chǎn)生什么樣的模糊子集，就是擴張原理要表述的問題。

定義: 設(shè)映射$f:U\to V$，稱映射
$f:F(U)\to F(V)$,
$\underset{～}{A}\to f(\underset{～}{A})$
為映射f擴張的模糊變換，其隸屬函數(shù)
$f(\underset{～}{A})(v)=\underset{f(u)=v}{\vee }\underset{～}{A})(u)$

舉例：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的模糊数学笔记-模糊集的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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