【參考資料】
【1】《模糊數學方法及其應用》

1 經典集合理論

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1.1 集合的特征函數

定義: 設$A\in F(U)$，U是論域（論域相當于全集），具有如下性質:
$X_A:U\to (0,1)$

$x\to X_A(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in A\\ 0,& x\in /A\end{array}$
備注：經典集合邏輯上可以表示為一個映射，屬于集合能映射到1，否則映射到0

1.2 映射的擴張

定義: 設$f:X\to Y$,則稱映射$f:X\to F(Y)$為x到y的點-集映射。

定義: 設$T:X\to Y$,稱這個映射為集合變換。

經典的函數映射為點-點映射，即上圖中的x到y，而通常還有問題需要點-集映射，如x到集合B，以及集合到集合的映射，如A到B。

經典擴張原理:

設映射$f:X\to Y,x?f(x)=y,?A\in F(X)$，令
$f(A)=\{y\in Y|y=f(x),x\in A\}$，則集合$f(A)\in F(Y)$稱為集合A在f下的像；對于$?B\in F(Y)$，令$f^{?1}(B)=\{x|x\in X|f(x)\in B\}$，則集合$f(B)\in F(X)$為B在f下的原像。

備注：這里的經典擴張原理實際上是一個定義，將原來經典集合論下點到點的函數定義擴展為集合到集合。如下圖所示:

1.3 二元關系

a. 等價關系

定義: 若集合X上的二元關系R具有自反性、對稱性和傳遞性，則稱R是X上的一個等價關系。

這個定義在抽象代數里有提過，等價關系代表著集合里的一個等價類劃分。
例如年齡相同是一個等價類，它把同學按照不同的年齡劃分群體。

b. 相似關系
定義: 若集合X上的二元關系R具有自反性、對稱性，則稱R是X上的一個相似關系。

相似關系不具備傳遞性，例如朋友關系、同學關系，舉例如下:

從相似類劃分可以看到，實際上在相似矩陣里代表著一個全1的矩陣，能夠互相轉換。

1.4 格

定義：設集合L中規定了兩種運算$\vee$和$\wedge$，即$a\vee b=sup\{a,b\}$，$a\wedge b=inf\{a,b\}$，并且滿足如下性質:
冪等律:$a\vee a=a,a\wedge a=a$
交換律:$a\vee b=b\vee a,a\wedge b=b\wedge a$
結合律:$(a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c),(a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)$
吸收律:$(a\vee b)\wedge a=a,(a\wedge b)\vee a=a$
則稱L是一個格，記作$(L,\vee ,\wedge )$

2 模糊子集

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2.1 模糊子集的定義

這里從經典集合論的特征函數衍生出去，對于經典特征函數，其映射非0即1，代表某個元素要么屬于這個集合，要么不屬于這個集合。而模糊子集是一個模糊的概率，其特征函數是一個0到1的閉集，可以理解為有多少概率屬于某個集合。

定義: 設U是論域，稱映射${\mu }_A:U\to [0,1],x?{\mu }_A(x)\in [0,1]$，確定了U上的一個模糊子集A，稱${\mu }_A$為A的隸屬函數，${\mu }_A(x)$為x（這里可以這樣理解: x是論域U中的一個點，A是U的一個子集）對A的隸屬程度。若${\mu }_A(x)=0.5$時，稱該點為過渡點，此時最模糊。

舉例:

2.2 模糊集的表示方法

論域$U=\{x_1,x_2,...,x_n\}$，對于U上的任意一個模糊集A,存在隸屬函數$\underset{～}{A}(x_i)i=(1,2,3,...,n)$,表示如下:

扎德表示法

$\underset{～}{A}=\frac{\underset{～}{A}(x_1)}{x_1}+\frac{\underset{～}{A}(x_2)}{x_2}+...+\frac{\underset{～}{A}(x_n)}{x_n}$

注意這里的分號、加號都只是一個符號表示，不是運算意義上的分號和加號。

序偶表示法
$\underset{～}{A}=\{(x_1,\underset{～}{A}(x_1)),(x_2,\underset{～}{A}(x_2)),...,(x_n,\underset{～}{A}(x_n))\}$

向量表示法
$\underset{～}{A}=\{\underset{～}{A}(x_1),\underset{～}{A}(x_2),...,\underset{～}{A}(x_n)\}$

2.3 模糊集的基本運算

并 : $(\underset{～}{A}\cup \underset{～}{B})(x)?\underset{～}{A}(x)\vee \underset{～}{B}(x),?x\in U$

交 : $(\underset{～}{A}\cap \underset{～}{B})(x)?\underset{～}{A}(x)\wedge \underset{～}{B}(x),?x\in U$

余 : $\underset{～}{A}(x{)}^C?1?\underset{～}{A}(x)$

圖例:

圖例看不清，加幾句備注。圖a取交集等于取隸屬函數A和B中的大值，可以看到上面那條線粗一點；圖b取并集等于取隸屬函數A和B中的小值，可以看到下面那條線粗一點；圖c取余集等于每次用1減去當前的隸屬函數值。

3 模糊集的幾個基本原理

3.1 $\gamma ?$截集

定義: 設$\underset{～}{A}\in F(U)$，對于$?\gamma \in [0,1]$,記作：$A_{\gamma }=\{x|\underset{～}{A}(x)\ge \gamma \}$。

簡單講就是把隸屬函數大于某一個值得元素找出來，它表述對模糊度（可信度）的一種篩選，即低于某個閾值則剔除。

3.2 分解定理

定義：數$\lambda$（屬于[0,1]）與模糊集$\underset{～}{A}$的乘積為$\lambda \wedge \underset{～}{A}(x)$。

分解定理：
設$\underset{～}{A}\in F(U)$，則$\underset{～}{A}=\underset{\lambda \in [0,1]}{\cup }\lambda A_{\lambda }$

上述分解定理表示一個模糊集可以分解成幾個$\lambda$及其截集的數乘。舉例如下:

3.3 擴張原理

根據之前的經典擴展原理我們定義了一個集合到另外一個集合的映射。那么這個集合里的一個模糊子集在此映射下會產生什么樣的模糊子集，就是擴張原理要表述的問題。

定義: 設映射$f:U\to V$，稱映射
$f:F(U)\to F(V)$,
$\underset{～}{A}\to f(\underset{～}{A})$
為映射f擴張的模糊變換，其隸屬函數
$f(\underset{～}{A})(v)=\underset{f(u)=v}{\vee }\underset{～}{A})(u)$

舉例：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的模糊数学笔记-模糊集的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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