前言：僅個人小記
秩一矩陣非常漂亮的五個性質(zhì)：
（1）秩一矩陣一定能夠拆解為兩個列向量$a$，$b$矩陣乘積的形式，具體為$A=a{b}^T$這種形式
（2）秩一方陣的特征值之和即矩陣的跡，即矩陣主對角線之和等于上述兩個向量的內(nèi)積，即$ab$
（3）秩一方陣的特征值可以一眼看出，即只有一個非零特征值為$\lambda =traA=\Sigma a_{ii}=ab$，其他即為零特征值。
（4）很好地從另一個角度詮釋了矩陣乘法，如下，
$u_i,v_i$都是列向量。
$$U{V}^T=([u_1,u_2,...,u_n])({[v_1,v_2,...,v_n]}^T)=u_1{v_1}^T+u_2{v_2}^T+...,u_n{v_n}^T$$

上式，右側(cè)為秩一矩陣之和。從列向量或者行向量的角度很容易理解$u{v}^T$是秩為一的矩陣。
（5）具備$A^2=kA$這種極好的可以用于解決高次冪矩陣乘法問題的性質(zhì)，具體推導(dǎo)如下，$$\begin{gathered} A=a{b}^T \\ {A}^2=AA=a{b}^{T}a{b}^T=a(b^{T}a)b^T=ka{b}^T=kA \\ {A}^2=kA \end{gathered}$$

關(guān)于第（3）點本人仍未能夠給出很好的證明。據(jù)本人目前的判斷，這一點是穩(wěn)定是成立的。本人現(xiàn)有如下解釋：r(A)=1，$(A?\lambda )x=0$，顯然，當(dāng)$\lambda =0$時，必然矩陣$A?\lambda$的秩為1，所以齊次線性方程組方程組必然有n-1個線性無關(guān)的解向量，而這正是完全符合特征向量的要求，n-1個特征向量撐起了n-1維的特征空間，我認為一個2重根的特征值可能只對應(yīng)一個特征向量，但是如果m個線性無關(guān)特征向量對應(yīng)的同一個特征值則必然這個特征值至少是m重特征根。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的秩一矩阵的优良性质的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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