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证明矩阵的秩=行秩=列秩

發布時間：2023/12/31 编程问答 29 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了证明矩阵的秩=行秩=列秩小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

文章目錄

一、部分概念的定義
二、概念間的聯系
三、定理的推導與證明

一、部分概念的定義

維數：一個向量空間 $V$ 的基所含向量的個數叫做 $V$ 的維數
極大線性無關組：若向量組 ${α1,α2,…,αn}\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\}$ 的一個部分向量組 ${αi1,αi1,…,αir}\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\}$ 被稱為一個極大線性無關組，則需滿足以下條件：
- $αi1,αi1,…,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}$ 線性無關
- 每一個 $αj,j=1,…,n\alpha_j,j=1,\ldots,n$ ，都可以由 $αi1,αi1,…,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}$ 線性表示
向量組的秩：向量組 ${α1,α2,…,αn}\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\}$ 的一個極大線性無關組 ${αi1,αi1,…,αir}\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\}$ 中所含向量的個數 $r$ 稱為向量組的秩，記作 $rank(α1,α2,…,αn)=rrank(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)=r$ 或 $r(α1,α2,…,αn)=rr(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)=r$
矩陣的秩：一個矩陣中不等于零的子式的最大階數叫作這個矩陣的秩。若一個矩陣沒有不等于零的子式，就認為這個矩陣的秩為零。
矩陣的行秩：矩陣每一個行向量所構成的向量組的秩
矩陣的列秩：矩陣每一個列向量所構成的向量組的秩

二、概念間的聯系

? 設矩陣 $A$ 是一個 $m×nm\times n$ 的矩陣，令 ${α1,α2,…,αm}\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\}$ 是 $A$ 的行向量（這 $m$ 個向量所構成的一個向量空間稱之為矩陣 $A$ 的行空間），再令 ${αi1,αi1,…,αir}\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\}$ 是這組行向量的極大線性無關組。

? 根據定義可知，矩陣 $A$ 的行空間中的每一個向量均可以由向量組 ${α1,α2,…,αm}\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\}$ 線性表示出來，而根據極大線性無關組的定義， ${α1,α2,…,αm}\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\}$ 亦可由 ${αi1,αi1,…,αir}\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\}$ 線性表示出來，故矩陣 $A$ 的行空間中的每一個向量均可以由 ${αi1,αi1,…,αir}\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\}$ 線性表示出來，同時 ${αi1,αi1,…,αir}\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\}$ 是線性無關的，所以 ${αi1,αi1,…,αir}\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\}$ 就是矩陣 $A$ 的行空間中的一個基。根據維數的定義，可以知道此時矩陣 $A$ 的行空間的維數就是 $r$ ，再根據向量組秩的定義，此時向量組 ${α1,α2,…,αm}\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\}$ 的秩也是 $r$ ，而同時，矩陣 $A$ 的行秩就是矩陣 $A$ 的行向量組的秩，所以矩陣 $A$ 的行秩本質上就是和矩陣 $A$ 的行空間的維數是等價的。

? 與上面的定義類似，可以得出結論：矩陣 $A$ 的列秩本質上就是和矩陣 $A$ 的列空間的維數是等價的。所以在探求 “矩陣的秩=該矩陣的行秩=該矩陣的列秩” 這個問題上，可以換而言之，是在探求 “矩陣的秩=該矩陣的行空間的維數=該矩陣的列空間的維數” 這個問題，所以等式可以歸并為 “矩陣 $A$ 的秩(r( $A$ ))= $A$ 的行秩(矩陣 $A$ 的行空間的維數)= $A$ 的列秩(矩陣 $A$ 的列空間的維數)”。

三、定理的推導與證明

?首先看一個引理：設矩陣 $A$ 是一個 $m×nm\times n$ 矩陣。

?( i ) 如果 $B = P A$ ， $P$ 是一個 $m$ 階可逆矩陣，那么 $B$ 與 $A$ 有相同的行空間；

?( ii ) 如果 $C = A Q$ ， $Q$ 是一個 $n$ 階可逆矩陣，那么 $C$ 與 $A$ 有相同的列空間；

?證：

?定義 $A=(a_{ij})_{mn},P=(p_{ij})_{mn},B=(b_{ij})_{mn},C=(c_{ij})_{mn},Q=(q_{ij})_{nn}$ 。

?令 ${α1,α2,…,αm}\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\}$ 是 $A$ 的行向量， ${β1,β2,…,βm}\{\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_m\}$ 是 $B$ 的行向量。 $B$ 的第 $i$ 行等于 $P$ 的第 $i$ 行右乘以矩陣 $A$ ：
$βi=(bi1,bi2,…,bin)=(pi1,pi2,…,pim)A=(pi1,pi2,…,pim)(α1α2?αm)=pi1α1+pi2α2+?+pimαm(1)\begin{aligned} \beta_i & =(b_{i1},b_{i2},\dots,b_{in})=(p_{i1},p_{i2},\dots,p_{im})A \\ & =(p_{i1},p_{i2},\dots,p_{im}) \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_m \end{pmatrix} \\ &=p_{i1}\alpha_1 + p_{i2}\alpha_2 + \dots + p_{im}\alpha_m \end{aligned} \tag{1}$

?根據公式(1)可以得知 $B$ 的每一個行向量都是 $A$ 的行向量的線性組合，但 $P$ 是可逆的，所以 $A=P^{-1}B$ ，因此 $A$ 的每一個行向量都是 $B$ 的行向量的線性組合。因此可以得知，向量組 ${α1,α2,…,αm}\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\}$ 和 ${β1,β2,…,βm}\{\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_m\}$ 等價，所以它們生成了同一個向量空間，故 $B$ 與 $A$ 有相同的行空間，也即(i)得證。

?令 ${γ1,γ2,…,γn}\{\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n\}$ 是 $A$ 的列向量， ${η1,η2,…,ηn}\{\eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_n\}$ 是 $C$ 的列向量。 $C$ 的第 $i$ 列等于 $A$ 右乘以 $Q$ 的第 $i$ 列：
$ηi=(c1ic2i?cmi)=A(q1iq2i?qni)=(γ1,γ2,…,γn)(q1iq2i?qni)=q1iγ1+q2iγ2+?+qniγn(2)\begin{aligned} \eta_i & = \begin{pmatrix} c_{1i} \\ c_{2i} \\ \vdots \\ c_{mi} \end{pmatrix} =A \begin{pmatrix} q_{1i} \\ q_{2i} \\ \vdots \\ q_{ni} \end{pmatrix} \\ & =(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n) \begin{pmatrix} q_{1i} \\ q_{2i} \\ \vdots \\ q_{ni} \end{pmatrix} \\ &=q_{1i}\gamma_1 + q_{2i}\gamma_2 + \dots + q_{ni}\gamma_n \end{aligned} \tag{2}$
?根據公式(2)可以得知 $C$ 的每一個列向量都是 $A$ 的列向量的線性組合，但 $Q$ 是可逆的，所以 $A=CQ^{-1}$ ，因此 $A$ 的每一個列向量都是 $C$ 的列向量的線性組合。因此可以得知，向量組 ${γ1,γ2,…,γn}\{\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n\}$ 和 ${η1,η2,…,ηn}\{\eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_n\}$ 等價，所以它們生成了同一個向量空間，故 $C$ 與 $A$ 有相同的列空間，也即(ii)得證。故引理得證！

? 根據矩陣的初等變換性質，對于任意一個 $m×nm\times n$ 矩陣 $A$ ，總存在 $m$ 階可逆矩陣 $P$ 和 $n$ 階可逆矩陣 $Q$ ，使得
$\begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \\ \end{pmatrix} \tag{3}$
? 公式(3)中的 $r$ 等于 $A$ 的秩。兩邊各乘以 $Q^{-1}$ 得
$\begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \\ \end{pmatrix}Q^{-1} \tag{4}$
? 假設 ${α1,α2,…,αn}\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\}$ 是 $Q^{-1}$ 的行向量，則根據矩陣乘法的規則，可得
$\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_r \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \tag{5}$
?根據公式(5)可以得知 $P A$ 只保留了 $Q^{-1}$ 的前 $r$ 行，且由于 $Q^{-1}$ 可逆，所以它的行向量線性無關（若線性相關，對矩陣進行行初等變換必會出現至少一行的元素全為0，矩陣的行列式不可能非零），因為它的前 $r$ 行也線性無關。于是 $P A$ 的行空間的維數等于 $r$ 。由上面的引理可知 $A$ 的行空間的維數等于 $r$ ，也即 $A$ 的行秩等于 $r$ 。另一方面，將等式(3)左乘以 $P^{-1}$ 得
$AQ=P?1(IrOOO)(6)AQ=P^{-1} \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \\ \end{pmatrix} \tag{6}$
?與上面的推導類似，可以得知 $A Q$ 的列空間的維數等于 $r$ ，從而 $A$ 的列空間的維數也等于 $r$ ，也即 $A$ 的列秩等于 $r$ 。這樣就可以得出結論：矩陣 $A$ 的秩(r( $A$ ))= $A$ 的行秩(矩陣 $A$ 的行空間的維數)= $A$ 的列秩(矩陣 $A$ 的列空間的維數)。

?若再結合向量組的秩的概念以及行秩就是矩陣的行向量組的秩這一本質，亦可得出矩陣 $A$ 的秩(r( $A$ ))=矩陣 $A$ 的行向量組的極大無關組所含向量的個數=矩陣 $A$ 的列向量組的極大無關組所含向量的個數。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的证明矩阵的秩=行秩=列秩的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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