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• • Gram 矩陣
  • 6 大性質

Gram 矩陣

假設 $A$ 是一個 $m\times n$ 階矩陣,

列向量 Gram 矩陣
$A$ 由列向量 ${\alpha }_i$ 表示, 即
$$A=\left[\begin{array}{cccc}{\alpha }_1& {\alpha }_2& ?& {\alpha }_n\end{array}\right]$$
則

$$\begin{array}{rl}G& =A^{\mathsf{T}}A\\ & =?\begin{array}{c}{\alpha }_1^{\mathsf{T}}\\ {\alpha }_2^{\mathsf{T}}\\ ?\\ {\alpha }_n^{\mathsf{T}}\end{array}?\left[\begin{array}{cccc}{\alpha }_1& {\alpha }_2& ?& {\alpha }_n\end{array}\right]\\ & =?\begin{array}{cccc}{\alpha }_1^{\mathsf{T}}{\alpha }_1& {\alpha }_1^{\mathsf{T}}{\alpha }_2& ?& {\alpha }_1^{\mathsf{T}}{\alpha }_n\\ {\alpha }_2^{\mathsf{T}}{\alpha }_1& {\alpha }_2^{\mathsf{T}}{\alpha }_2& ?& {\alpha }_2^{\mathsf{T}}{\alpha }_n\\ ?& ?& & ?\\ {\alpha }_n^{\mathsf{T}}{\alpha }_1& {\alpha }_n^{\mathsf{T}}{\alpha }_2& ?& {\alpha }_n^{\mathsf{T}}{\alpha }_n\end{array}?\end{array}$$

行向量 Gram 矩陣
$A$ 由行向量 ${\beta }_i^{\mathsf{T}}$ 表示, 即
$$A=?\begin{array}{c}{\beta }_1^{\mathsf{T}}\\ {\beta }_2^{\mathsf{T}}\\ ?\\ {\beta }_m^{\mathsf{T}}\end{array}?$$
則

$$\begin{array}{rl}G& =A{A}^{\mathsf{T}}\\ & =?\begin{array}{c}{\beta }_1^{\mathsf{T}}\\ {\beta }_2^{\mathsf{T}}\\ ?\\ {\beta }_m^{\mathsf{T}}\end{array}?\left[\begin{array}{cccc}{\beta }_1& {\beta }_2& ?& {\beta }_m\end{array}\right]\\ & =?\begin{array}{cccc}{\beta }_1^{\mathsf{T}}{\beta }_1& {\beta }_1^{\mathsf{T}}{\beta }_2& ?& {\beta }_1^{\mathsf{T}}{\beta }_m\\ {\beta }_2^{\mathsf{T}}{\beta }_1& {\beta }_2^{\mathsf{T}}{\beta }_2& ?& {\beta }_2^{\mathsf{T}}{\beta }_m\\ ?& ?& & ?\\ {\beta }_m^{\mathsf{T}}{\beta }_1& {\beta }_m^{\mathsf{T}}{\beta }_2& ?& {\beta }_m^{\mathsf{T}}{\beta }_m\end{array}?\end{array}$$

6 大性質

下面只考慮列向量 Gram 矩陣

(1) $G=A^{\mathsf{T}}A$ 是對稱矩陣

$$G^{\mathsf{T}}=(A^{\mathsf{T}}A{)}^{\mathsf{T}}=A^{\mathsf{T}}A=G$$

(2) 對于實矩陣 $A$ $$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(A^{\mathsf{T}}A)=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(A)$$

證明 $\{\begin{array}{l}A\mathsf{x}=0\\ A^{\mathsf{T}}A\mathbf{x}=0\end{array}$ 同解即可.

證明過程詳見經典例題(第３小問)

(3) 若 $A^{\mathsf{T}}A=0$, 則 $A=0$

由上面性質
$$\begin{array}{rl}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(A^{\mathsf{T}}A)& =\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(A)\\ & =\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(0)=0\end{array}$$

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(4) 對于實矩陣 $A$, 則 $A^{\mathsf{T}}A$ 是半正定矩陣
$${\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}{A}^{\mathsf{T}}A\mathbf{x}=(A\mathbf{x}{)}^{\mathsf{T}}A\mathbf{x}\ge 0$$

(5) 對于任意 $n$ 階實對稱半正定矩陣 $M$, 存在矩陣 $A$ 使得 $M=A^{\mathsf{T}}A$ 成立.

因為矩陣 $M$ 實對稱, 所以 $M$ 可以正交對角化, 即$$M=Q\Lambda Q^{\mathsf{T}}$$ 又因為矩陣 $M$ 半正定, 所以其特征值 $\lambda_i \geq 0 $, 所以可記 $${\Lambda }^{1/2}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\sqrt{{\lambda }_1},\dots ,\sqrt{{\lambda }_n})$$ 且 KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 29: …2}Q^\{\mathsf T}? 則可得
$$\begin{array}{rl}M& =Q\Lambda Q^{\mathsf{T}}\\ & =({\Lambda }^{1/2}{Q}^{\mathsf{T}}{)}^{\mathsf{T}}{\Lambda }^{1/2}{Q}^{\mathsf{T}}\\ & =A^{\mathsf{T}}A\end{array}$$

(6) 若 $A=\left[\begin{array}{cccc}{\alpha }_1& {\alpha }_2& ?& {\alpha }_n\end{array}\right]$ 列滿秩, 則 $A^{\mathsf{T}}A$ 正定

• 由性質 (2), 知 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(A^{\mathsf{T}}A)=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(A)=n$
• 因為 $A\mathbf{x}=0$ 只有零解, 結合性質 (4), 對于非零 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$
  $${\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}{A}^{\mathsf{T}}A\mathbf{x}=(A\mathbf{x}{)}^{\mathsf{T}}A\mathbf{x}>0$$

原文鏈接
[1] matnoble.me/posts/gram
[2] 關注我吧

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Gram 矩阵及其主要性质的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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