矩陣相關定義性質全總結

0.前言

矩陣是線性代數(shù)中的核心內容，所以我寫這篇文章對矩陣（研究生以下階段）進行一個完整的敘述。雖然是主要說矩陣，但是我也會將行列式、向量、線性方程組三個方面也包含在內，不過是概述的形式，具體的敘述會另外展開寫。能夠見到的大多數(shù)文章還是以對矩陣的介紹為主，我想可能很多人最需要的是了解矩陣的有哪些細分（比如矩陣相似、矩陣合同），以及這些細分的充要、必要、充分條件，還有這些細分的性質。所以我會在整體介紹完之后，進行一個細分的總結。
本文適合考研或在學線代者復習線性代數(shù)。
本文是總結，一些費時而又用處不大的圖不會展示，見諒。

1.行列式、向量、線性方程組

將這三者寫在最前面，我不會咋此進行展開，但是會另寫文章敘述。
行列式、向量、線性方程組、特征值和特征向量
其中行列式是矩陣計算的基礎，內容不難，但是涉及一些計算技巧。向量是構成線性方程組的重要部分，而我們都知道，矩陣最開始就是為了表示線性方程組的。

2.概念

定義：m×n矩陣為m×n個數(shù)排成的m行n列的表格，當m=n時，矩陣A稱為n階方陣或者n階矩陣。

零矩陣：矩陣所有元素都為0。

同型矩陣：A矩陣為m×n矩陣，B矩陣為s×t矩陣，如果m=s,n=t，A和B即為同型矩陣。

A和B相等：兩個同型矩陣對應的元素都相等

|A|（detA）:n階方陣A構成的行列式。

#只有方陣才有行列式
#矩陣A是表格，而行列式|A|是數(shù)

3.運算

加法：兩個同型矩陣可以相加

數(shù)乘：k為數(shù)，數(shù)乘時是將k與矩陣中每一個元素進行乘積

乘法：設A是一個m×s矩陣，B是一個s×t矩陣（A的列數(shù)=B的行數(shù)），則A、B可乘，且乘積AB是一個m×t矩陣，記為C。其中C的第i行、第j列元素Cij是A的第i行s個元素和B的第j列s個對應元素兩兩乘積之和。（每個新元素等于原來兩個矩陣對應行元素逐個乘上對應列元素，再加和）

轉置：將m×n型矩陣A=[a_ij]_m×n的行列互換的到的n×m矩陣[a_ji]_n×m，稱為A的轉置矩陣。

矩陣多項式：設A是n階矩陣，f(x)=a_mx^m+……+a₁x+a₀是x的多項式，則稱 a_mA^m+a_m-1A^m-1+……+a₁A+a₀E為矩陣多項式，記為f(A)

#性質：
Ⅰ.加法

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

A+O=A (其中O是元素全為0的同型矩陣)

A+(-A)=O

Ⅱ.數(shù)乘

k(mA)=(km)A=m(kA)

(k+m)A=kA+mA

k(A+B)=kA+kB

1A=A

0A=O

Ⅲ.乘法

(AB)C=A(BC)

A(B+C)=AB+AC

(B+C)A=BA+CA（注意順序不可以顛倒）

Ⅳ.轉置

(A+B)^T=A^T+B^T

(kA)^T=kA^T

(AB)^T=B^TA^T

(A^T)^T=A

#注意：

AB≠BA

A≠O，B≠O，但有可能AB=O

AB=AC，A≠O不能推出B=C

(A+B)(A+B)=A²+AB+BA+B²

(A+E)²=A²+2A+E

(A+E)(A-E)=A²-E²

AB=O 可推出B的列向量是AX=0的解

4.伴隨矩陣

A^*由矩陣A的行列式|A|的所有代數(shù)余子式構成，列對應行。
AA^* = A^*A=|A|E
(A^*) ^-1=(A^-1)^*=（1/A）A(|A|≠0)
(KA)*=k^n-1A^*
(A^*)^T=(A^T)^*
|A^*|=|A|^n-1
(A^*)^*=|A|^n-2A(n>=2)
A^-1=(1/|A|)*A^*
(AB)^*=B^*A^*

對于伴隨矩陣的秩：

5.可逆矩陣

A、B為n階矩陣，且AB=BA=E，當A為可逆矩陣或非奇異矩陣，
B是A的逆矩陣，A^-1=B
5.1定理：

A可逆，則A的逆矩陣唯一

A可逆<=>|A|≠0（A滿秩）

設A和B是n階矩陣，且AB=E,則BA=E,A^-1=B

5.2n階矩陣A可逆的充分必要條件：

存在n階矩陣B，使AB=E（BA=E）.

|A|≠0，或者A滿秩，或者A的列（行）向量線性無關

齊次方程組Ax=0只有零解

任意b,非齊次線性方程組Ax=b總有唯一解

矩陣A的特征值全不為0

能表示成一些初等矩陣的乘積：P_N…P₂P₁A=E

5.3運算性質：

k≠0，(kA)^-1=(1/k)A^-1

如果A,B可逆，則(AB)^-1=B^-1A^-1，特別地(A²)^-1=(A^-1)²

A^T可逆，則（A^T)^-1=(A^-1)^T

(A^-1)^-1=A

|A^-1|=1/|A|

#即使A,B和A+B都可逆，一般的(A+B)^-1≠A^-1+B^-1
5.4求逆矩陣的方法

公式法：|A|≠0，則A^-1=（1/|A|）A^*

初等變化：(A|E)---->(E|A^-1)

用定義求B：使AB=E或BA=E，則A可逆，且A^-1=B

分塊矩陣：對角線直接求逆矩陣，副對角線求逆矩陣之外還好交換位置。

6.初等矩陣

6.1.1初等變換：設A是m×n矩陣，進行初等倍乘、互換、倍加行（列）變換，統(tǒng)稱為初等變換。

倍乘：用某個非零常數(shù)k(k≠0)乘A的某行（列）的每個元素。

互換：互換A的某兩行（列）的位置。

倍加行（列）：將A的某行（列）元素的k 倍加到另一行（列）。

6.1.2初等矩陣：單位矩陣經一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。如：

E(2(k)):對第二行倍乘

E(1,2):第一、二行（或一、二列）互換

E(13(k)):第一行的k倍加到第三行，或者第三列的k倍加到第一列

6.1.3等價矩陣：矩陣A經過有限次初等變換變成矩陣B，則稱A與B等價（可能有多個矩陣與A等價，其中等價的最簡矩陣被稱為A的等價標準型）

6.2性質：

初等矩陣的轉置仍然是初等矩陣

初等矩陣均是可逆矩陣（|A|≠0，滿秩），且其逆矩陣仍是初等矩陣。

用初等矩陣P左乘（右乘）A，其結果PA(AP)相當于對A作相應的初等行（列）變換。

6.3行階梯矩陣，行最簡矩陣
6.3.1行階梯矩陣：

如果矩陣有零行（即這一行元素全是0），則零行在最底部

每個非零元素的主元（即該行的最左邊的第一個非零元），它們的列指標隨著行指標的遞增而嚴格增大。
6.3.2行最簡矩陣：

是行階梯矩陣

非零行的主元都是1

主元所在的列的其他元素都是0

7.分塊矩陣

后補

8.方陣的行列式

|A^T|=|A|

|kA|=kⁿ|A|

|AB|=|A||B|(特別的|A²|=|A|²)

|A^*|=|A|^n-1

|A^-1|=|A|^-1

對角矩陣正對角：|A||B|,副對角:|A^-1|=|A|^-1

9.矩陣的秩

9.1.1k階子式：在m×n矩陣A中，任取k行與k列（k<=m,k<=n），位于這些行與列的交叉點上的k²個元素按其在原來矩陣A中的次序可構成一個k階行列式，稱其為矩陣A的一個k階子式。
9.2矩陣的秩：設A為m×n矩陣，若A中存在r階子式不等于0，r階以上子式均等于0，則稱矩陣A的秩為r，記為r(A).零矩陣的秩規(guī)定為0.
性質：

r(A)=0 <=> A=O

A≠O <=>r(A)>=1

A是n階矩陣，r(A)=n <=>|A|≠0 <=>A可逆，r(A)<n <=>|A|≠0 <=>A不可逆

若A是m×n矩陣，則r(A)<=min(m,n)

經過初等變換矩陣的秩不變。

設A是m×n矩陣，將A以行及列分塊，得則有r(A)=A的行秩=A的列值

公式：

r(A)=r(A^T)；r(AA^T)=r(A)

當k≠0時，r(kA)=r(A)；r(A+B)<=r(A)+r(B)

r(AB)<=min(r(A),r(B)),max(r(A),r(B))<=r(A,B)<=r(A)+r(B)

若A可逆，則r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)

若A時m×n矩陣，B是n×s矩陣，AB=O,r(A)+r(B)<=n

10.正交矩陣

定義：設A為n階矩陣，若AA^T=A^TA=E，則稱A為正交矩陣。
性質：

A^T=A^-1

A的行（列）向量都是單位向量且兩兩正交

|A|=±1

11.相似矩陣

11.1定義：

設A,B都是n階矩陣，若存在可逆矩陣P，使得P^-1AP=B，則稱B是A的相似矩陣，或A相似于B，記為A∽B

若A∽λ，其中λ為對角陣，則稱A可相似對角化，λ是A的相似標準形。

11.2性質：

A∽A

若A∽B => B∽A

若A∽B,B∽C =>A∽C

n階方陣 A可對角化的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量。（可得若n階矩陣A有n個不同的特征值λ₁、λ₂……λ_n，則A可相似對角化，且對角矩陣元素一一對應特征值。）

n階矩陣 A可相似對角化的充分必要條件是A的每個特征值中，線性無關的特征向量的個數(shù)恰好等于該特征值的重數(shù)。

11.3相似的必要條件：

特征多項式相同：|λE-A|=|λE-B|

r(A)=r(B)

A,B有相同的特征值

|A|=|B|=特征值之積

A的跡=B的跡=特征值之和

A²∽B²(Aⁿ∽Bⁿ)

A+KE∽B+KE

如果A可逆，A^-1∽B^-1

12.實對稱矩陣

12.1定義：除了主對角線，兩側相對應的數(shù)相同的矩陣
12.2性質：

實對稱矩陣必可相似對角化

實對稱矩陣的屬于不同特征值對應的特征向量相互正交

設A為n階實對稱矩陣，則必存在正交陣Q，使得Q^-1AQ=Q^TAQ=λ

13.矩陣合同

13.1定義：設A,B是兩個n階方陣，若存在可逆陣C，使得C^TAC=B，則稱A合同于B，記成A
13.2性質：

反身性

對稱性

傳遞性

r(A)=r(B)

正負慣性指數(shù)相等

14.相似、合同、等價區(qū)分

可得：

相似矩陣必為等價矩陣，等價矩陣未必為相似矩陣，滿足 PQ=E 的等價矩陣是相似矩陣。

合同矩陣必為等價矩陣，等價矩陣未必為合同矩陣，滿足 p_A=p_B,q_A=q_B的等價矩陣是合同矩陣。

相似矩陣未必合同，合同矩陣未必相似。

正交相似矩陣必合同，正交合同矩陣必相似。

實對稱矩陣相似必合同，實對稱矩陣合同未必相似。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵相关定义性质全总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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