矩陣的秩的性質以及矩陣運算和矩陣的秩的關系

高等代數第二次大作業

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周碧瑩 30011303班

矩陣的秩的性質

1.階梯型矩陣J的行秩和列秩相等，它們都等于J的非零行的數目；并且J的主元所在的列構成列向量的一個極大線性無關組。 2.矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩。

證明：設矩陣A的行向量第一文庫網組是a1，…,as.設A經過1型初等行變換變成矩陣B，則B的行向量組是a1，…,ai,kai+aj,…,as.顯然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as線性表處。由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a1，…,ai,kai+aj,…,as線性表處。于是它們等價。而等價的向量組由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。

同理可證2和3型初等行變換使所得矩陣的行向量組與原矩陣的行向量組等價，從而不改變矩陣的行秩。

3.矩陣的初等行變換不改變矩陣的列向量組的線性相關性。

證明 ：一是為什么初等行變換不改變列向量的線性相關性?二是列向量進行初等行變換后，

為什么可以根據行最簡形矩陣寫出不屬于極大無關組的向量用極大無關組表示的表示式? 第一個問題：

設α1，α2，…，αn是n個m維列向量，則它們的線性相關性等價于線性方程組AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn線性相關等價于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn線性無關等價于AX=0只有零解。而對A進行三種行初等變換分別相當于對線性方程組中的方程進行：兩個方程交換位置，對一個方程乘一個非零常數，將一個方程的常數倍對應加到另一個方程上。顯然進行三種變換后所得方程組與原方程組同解，若設所得方程組為BX=0，則B即為對A進行行初等變換后所得矩陣。B的列向量的線性相關性與BX=0是否有解等價，也就是與AX=0是否有解等價，即與A的`列向量的線性相關性等價!

第二個問題 以一個具體例子來說明。

例：設矩陣 ，求A的列向量組的一個極大無關組，

并把不屬于極大無關組的列向量用極大無關組線性表示。

解：對A施行初等行變換變為行階梯最簡形矩陣

顯然變換后矩陣的第1、2、4列是3個線性無關向量，而加入第3、5列中任何一列即變為線性相關了，故由行變換不改變列向量的線性相關性可知α1，α2，α4是A的列向量組的極大無關組。

那么將α3由α1，α2，α4的線性表示的系數即為非齊次線性方程組 (α1，α2，α4)(x1，x2，x3)T=α3的解，故對增廣矩陣進行行初等變換即為

所以α3=-α1-α2+0α4，此系數即為對A進行行初等變換后的第3列數字!

同理可得α5由α1，α2，α4線性表示的系數即為對A進行初等行變換后所得行最簡形矩陣的第5列對應數字。

綜上所述，對矩陣的行初等變換的理解均可以對應到以此矩陣為系數的線性方程組的同解操作，而討論線性方程組的解時又可以利用矩陣的相關理論進行簡化!

4.任一矩陣的行秩等于它的列秩。

證明：任取矩陣A，把它經過初等行變換化成階梯型矩陣J.據(2)、(3)得出：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩。 5.設矩陣A經過初等行變換成為階梯形矩陣J，則A的秩等于J的非零行數的。設J的主元所在的列是第j1，則A的第j1，‘’’jr列，‘’’jr列構成A的列向量組的一個極大線性無關組。

6.矩陣A的秩等于A的轉置的秩。 7.矩陣的初等列變換不改變矩陣的秩。

8.任一非零矩陣的秩等于它的不為零的子式的最高階數。 (任一非零矩陣A的行秩等于列秩，并且等于A的不為零子式的最高階數。) 9.一個n級矩陣A的秩等于n當且僅當|A|≠0 (滿秩矩陣)

10.設s*n矩陣A的秩為r，則A的不等于零的r階子式所在的行(列)構成A的列(行)向量組的一個極大線性無關組。

矩陣的秩與運算的關系

1.A≌B 則r(A)=r(B)

2.若PQ為可逆矩陣，則r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)=r(A) 3.r(A±B)≤r(A)+r(B)

4.對于任意n階方陣A A*A=A A*=|A|E

5.若A可逆則A-1=A*/|A| (A*)-1=(A-1)*=A/|A| 6.(kA)*=kn-1A*(n≥2)

7.A、B為同階方陣。(AB)*=B*A* (A*)*=|A|n-1A(n＞2)

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總結

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